重力功与重力势能

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求势能数值需要零平面，求势能变化与重力功只需要初末高度差。负势能不是“没有能量”，而是比选定零值低。

一、知识点概念与依据

近地面、重力加速度 $g$ 可视为恒定，选某水平面为零势能面，向上为高度正方向：

E_p=mgh.

$m$ 单位kg、 $g$ 单位 $\mathrm{m/s^2}$ 、 $h$ 单位m， $E_p$ 单位J。 $h$ 是相对零平面的有符号高度：上方正，下方负。通常简称“物体的重力势能”，实际是物体与地球由于相对位置具有的能量，包含双方重力相互作用。

零势能面是人为选择，不是能量的绝对下限。势能可以为负，也可以因改选零平面而改变数值；经典质点动能非负的性质不能搬到选定零值后的势能上。

恒重力竖直向下，沿每个小段做功只取竖直位移分量。把分段竖直位移相加，中间高度抵消，只剩初末高度差：

W_G=mg(h_1-h_2)=E_{p1}-E_{p2}=-\Delta E_p.

上升： $W_G<0$ 、 $\Delta E_p>0$ ；下降： $W_G>0$ 、 $\Delta E_p<0$ 。势能变化总是末减初，“势能减少量”在下降时通常指正的减少大小，不要与负的变化量混用。

可以先以势能差等于重力功的相反数定义相对能量，再选零面，得到 $mgh$ 的数值表达。换零面相当于给所有位置的势能加同一个常数，初末差不变，因而重力功与运动结果都不改变。

先下后上、反弹或曲线路径，都不改变近地重力功只看起终点的特点。总路程可能很长，重力功仍取净高度变化；但碰撞、阻力等其他作用的功与能量变化不能随之忽略。

求势能数值必须明确零平面，求变化或重力功只需同一基准下的初末高度。若物体尺寸不可忽略，均匀重力下要用重心的高度，不是支架最高点；若远离地面导致 $g$ 显著变化， $mgh$ 不再是通用精确表达，需要相应的引力势能模型。

题目

如图所示，质量为1kg的小球（视为质点）从距桌面高度为1.2m处的A点下落到水平地面上的 $B$ 点，与地面碰撞后恰好能上升到与桌面等高的 $C$ 点， $C$ 点距地面的高度为0.8m。取重力加速度大小 $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ 。下列说法错误的是（　　）

A．在小球从A点经 $B$ 点运动到 $C$ 点的过程中，重力对小球做的功为12J

B．在小球从 $B$ 点运动到 $C$ 点的过程中，重力对小球做的功为-8J

C．以桌面为重力势能的参考平面，小球在A点时的重力势能为12J

D．以桌面为重力势能的参考平面，小球在 $B$ 点时的重力势能为零

答案与解析

答案：D，本题选错误项。若以地面为高度零，A高 $1.2+0.8=2.0\,\mathrm m$ ，B高0，C高 $0.8\,\mathrm m$ 。

A项从A经B至C，起终点仍为A、C， $W_{AC}=1\times10\times(2.0-0.8)=12\,\mathrm J$ ，正确。下落再反弹的总路程不能代替净下降高度1.2m。

B项从B到C上升0.8m， $W_{BC}=1\times10\times(0-0.8)=-8\,\mathrm J$ ，正确。

C、D指定桌面为零面，须改用相对桌面的有符号高度。A在桌面上方1.2m， $E_{pA}=12\,\mathrm J$ ，C正确；B在桌面下方0.8m， $E_{pB}=-8\,\mathrm J$ ，D错误。C处才有 $E_{pC}=0$ 。

从B到C， $\Delta E_p=0-(-8)=+8\,\mathrm J$ ，正好对应 $W_G=-8\,\mathrm J$ 。题目有碰撞，不能由重力功只看高度顺带推断全程机械能守恒。

本题结论

D；负势能正常参与相减，零平面不能在初末状态间偷换。