从同一个引力加速度推出速度、角速度、周期，再反求中心天体质量。轨道半径决定运动，天体自身半径决定体积，二者不能互换。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 圆轨道的四个运动量来自一个方程

假设中心天体近似球形、质量$M$，卫星质量$m\ll M$，主要受中心引力并作匀速圆周运动。中心天体近似固定，轨道半径$r$从球心量起。质量用kg，长度用m，时间用s。

$$G\frac{Mm}{r^2}=ma_{\text{向}}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2r}{T^2}.$$

约去$m$，依次解得

$$a_{\text{向}}=\frac{GM}{r^2},\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}},\quad\omega=\sqrt{\frac{GM}{r^3}},\quad T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}.$$

$a_{\text{向}}$单位$\mathrm{m/s^2}$，$v$单位m/s，$\omega$单位rad/s，$T$单位s。质量被约掉意味着同一半径圆轨道的这些运动量不依赖卫星质量，不意味着引力也不依赖质量。

2. 比较半径之前，先确认什么固定

同一中心天体下，令$q=r_2/r_1$，有

量	第二轨道与第一轨道之比
线速率	$v_2/v_1=q^{-1/2}$
角速率	$\omega_2/\omega_1=q^{-3/2}$
向心加速度	$a_2/a_1=q^{-2}$
周期	$T_2/T_1=q^{3/2}$
引力	$F_2/F_1=(m_2/m_1)q^{-2}$

所以稳定圆轨道越高，速率、角速率、加速度越小，周期越大。比较力须补查卫星质量；绕不同中心天体时还须保留$M$，不能只看半径。这套比值不描述发动机点火瞬间，也不能用于椭圆沿途任意点。

3. 用卫星测中心天体质量与密度

圆轨道一周路程为$2\pi r$，所以$v=2\pi r/T$；代入$mv^2/r$，得到向心力$4\pi^2mr/T^2$。由引力提供向心力，约去卫星质量$m$。

已知$r,T$时，从$GM/r^2=4\pi^2r/T^2$乘以$r^2$再除以$G$：

$$M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}.$$

已知$r,v$时，从$GM/r^2=v^2/r$得$GM=v^2r$，所以$M=v^2r/G$。选已知量对应的式子，不必人为引入未知量。

解出的是中心天体质量：木卫二运动测木星，月球运动测地球。卫星质量$m$被约掉，不能仅凭它的$r,T$反求它自己多重。

若中心天体自身半径为$R$、近似球形，体积$V=4\pi R^3/3$，平均密度为

$$\rho=\frac M V=\frac{3\pi r^3}{GT^2R^3},\qquad[\rho]=\mathrm{kg/m^3}.$$

仅当近地表圆轨道允许$r\approx R$，才有$\rho\approx3\pi/(GT^2)$。通常只知轨道半径和周期，不足求中心天体密度，还须知道中心天体体积或自身半径。椭圆给半长轴和周期可用第三定律，但不能把沿途任意球心距离塞进圆周向心力公式。

4. 由图线同时提取质量和半径

圆轨道高度$h$从表面量起，$r=R+h$。代入动力学方程：

$$G\frac{Mm}{(R+h)^2}=m\frac{v^2}{R+h}\quad\Rightarrow\quad v^2=\frac{GM}{R+h}.$$

取倒数并拆开分子：

$$\frac1{v^2}=\frac1{GM}h+\frac R{GM}.$$

因此$1/v^2$对$h$是有非零纵截距的直线。若斜率$k$、截距$b$，则$k=1/(GM)$、$b=R/(GM)$，故$M=1/(Gk)$、$R=b/k$。这里$k$是图线斜率，不是开普勒第三定律的常量；单位为$\mathrm{s^2/m^3}$，$b$单位$\mathrm{s^2/m^2}$。原图标出的数值单位若非SI，必须先换算。

二、考点 方法与例题

方法一：先找真实向心力来源，再比较变量

先核对同一中心、稳定圆轨道及卫星质量是否相同；将高度换成球心距。用引力方程确定$v$随$r$怎样变，不能在$F=mv^2/r$中任意固定$v$。

例题 01 半径加倍，向心力怎样改变（原题）

题目

a同学根据向心力公式 $F=mv^2/r$ 说，如果人造地球卫星的质量不变，当轨道半径增大到2倍时，人造地球卫星需要的向心力减小为原来的 $1/2$；b同学根据卫星的向心力是地球对它的引力推断，当轨道半径增大到2倍时，人造地球卫星需要的向心力减小为原来的 $1/4$，你认为（　　）

A．a同学对，b同学错

B．a同学错，b同学对

C．两个同学都对

D．两个同学都错

答案与解析

答案：B。 同一地球、相同卫星质量，$F_2/F_1=[GMm/(2r)^2]/[GMm/r^2]=1/4$，b同学正确。

a同学暗中把$v$当成常量。实际$v_2=\sqrt{GM/(2r)}=v_1/\sqrt2$，代回另一公式仍有

$$F_2=\frac{mv_2^2}{2r}=\frac{m(v_1^2/2)}{2r}=\frac14F_1.$$

因此a错、b对，A、C、D均不符合。两公式没有冲突，错的是固定了错误变量。

本题结论

B；比较的是两个稳定圆轨道，不是一次点火瞬间。

方法二：先比质量，再比体积

写清“哪颗卫星绕哪颗中心天体”。质量比使用轨道半径的三次方与周期的反平方；体积比使用中心天体自身半径的三次方，最后用质量比除以体积比。

例题 02 由木卫二与月球估算平均密度（原题）

题目

题目中的发现史、大小排序和近似数据按原材料转述，不作当前实测数据或历史事实的独立核验。

木卫二是伽利略发现的木星第四大卫星，月球是地球最大的卫星。测得木卫二的公转周期约为月球公转周期的 $1/8$ 倍，轨道半径约为月球轨道半径的 $3/2$ 倍。已知木星的半径约为地球半径的10倍，卫星的轨道可近似为圆轨道，则由此估算出木星的平均密度约为地球平均密度的（　　）

A．0.22倍

B．0.40倍

C．0.60倍

D．1.80倍

答案与解析

答案：A。 将木卫二和月球各自的$r,T$用于其中心天体：

$$\frac{M_{\text{木}}}{M_{\text{地}}}=\left(\frac32\right)^3\left(\frac{T_{\text{月}}}{T_{\text{木卫}}}\right)^2=\frac{27}{8}\times8^2=216.$$

木星自身半径为地球10倍，体积比是$10^3=1000$，而非10。因此

$$\frac{\rho_{\text{木}}}{\rho_{\text{地}}}=\frac{216}{1000}=0.216\approx0.22.$$

A符合；B、C、D数值均不等于由题给近似数据得到的密度比。不为错误选项臆造原资料没有说明的计算来源。

本题结论

A；轨道半径比用于测质量，天体半径比用于算体积。

三、坑点 辨析与纠错

1. 高度漏加半径，会把截距一起丢掉

错写$v^2=GM/h$会得到$1/v^2=h/(GM)$，图线被迫经过原点。正确模型在$h=0$仍有$r=R$，纵截距正好提供了中心天体半径信息。

辨析方法：先按纵轴形式整理直线，再比较斜率与截距的物理表达式；分别求$M,R$后才求密度，不把$b$直接当成半径。

辨析 01 从速率平方倒数图像求地球密度（原题）

题目

卫星在不同轨道上绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数 $1/v^2$ 与轨道到地面的高度 $h$ 的关系图像如图所示。已知图线的纵截距为 $b$，斜率为 $k$，引力常量为 $G$，则地球的密度可表示为（　　）

速度平方倒数与轨道高度的关系图像

A．$\displaystyle\frac{3b^3}{4\pi Gk^4}$

B．$\displaystyle\frac{3k^2}{4\pi Gb^3}$

C．$\displaystyle\frac{3Gk^2}{4\pi b^3}$

D．$\displaystyle\frac{3k^3}{4\pi Gb^2}$

答案与解析

答案：B。 正确关系$1/v^2=h/(GM)+R/(GM)$与$y=kh+b$比较，得$k=1/(GM)$、$b=R/(GM)$。由此$M=1/(Gk)$、$R=b/k$。

$$\rho=\frac{3M}{4\pi R^3}=\frac{3}{4\pi Gk(b/k)^3}=\frac{3k^2}{4\pi Gb^3}.$$

B完全一致。A的$b,k$幂次不符；C把$G$移到分子，不满足质量关系且量纲不对；D的幂次不符。漏掉$R$便失去非零截距，无法用该图提取半径与密度。

本题结论

B；先取倒数识别直线，再由截距除以斜率求半径。

2. 卫星模型不能直接套到地面物体或变轨过程

地面物体随地球自转并受到支持力，并非只受引力的自由卫星；不能把$r=R$代入圆轨道公式，便说地面物体具有近地卫星速度。发动机开动时还存在推力，进入椭圆后也不是匀速圆周运动，须另建模型。

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