磁场力不直接增减粒子动能，却能不断改变速度方向。用向心力确定半径和周期，用切线与边界确定圆弧，二者结合才能正确计时。

01 · 知识点概念、联系与适用条件02 · 考点方法与例题03 · 坑点查条件、方向与模型边界

一、知识点 概念与依据

磁场力改变方向，不直接改变速率

本章的洛伦兹力专指磁场对运动电荷的力，大小为 $F_B=|q|vB\sin\theta$，θ为速度与B的夹角。正电荷按左手四指沿速度，负电荷沿速度反向；静止或沿B平行、反平行运动时，磁力为零。

实验表明，磁场力的大小与电荷量大小、垂直磁场的速度分量、磁感应强度分别成正比。这里q为电荷量（C），v为速率（m/s），B为磁感应强度（T），所得力的单位为N。速度可分为平行和垂直B两部分，只有 $v_\perp=v\sin\theta$ 贡献磁力。非零磁力始终垂直瞬时速度，故瞬时功率 $\boldsymbol F_B\cdot\boldsymbol v=0$。只受磁力时动能与速率不变，速度方向却可变，仍有加速度。电场、重力、阻力或穿越介质造成的能量变化，要归因于相应作用，不能说是磁力做功。

判断必须用当前位置的B和此刻速度，转弯后不能一直沿初始力方向。若同时有电场，另求qE再合成。宏观导线整体的安培力可以做功，这不与单个电荷磁力不做功矛盾，不能将两个研究对象混为一谈。

圆周运动公式来自向心力

在静态匀强磁场中垂直入射、只受磁力且处于非相对论范围时，轨迹是垂直B平面内的圆。m为粒子质量（kg），r为轨道半径（m），T为周期（s）。由 $|q|vB=mv^2/r$ 约去v，得到

$$r=\frac{mv}{|q|B},\qquad T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}.$$

同一粒子同一B中，速率增加使半径增大，周期却不变；若跨入不同B的区域，周期可能改变，不能只因“还是同一个粒子”就判定两段时间相同。电荷正负改变转向，不使半径、周期为负。走过圆心角φ弧度时

$$t=\frac{r\varphi}{v}=\frac{\varphi}{2\pi}T.$$

若角度用度，改用φ/360°。有界磁场常只走一段圆弧，不能一律取整周期或半周期。若斜入射，平行B分量保持匀速，垂直分量绕圈，合成螺旋轨迹，不是所有入场运动都是平面圆。

圆心在切线的垂线上

速度沿轨迹切线，磁力指向圆心。先由电性、速度和B找弯曲侧，排除错误侧的圆心；再过入点、出点作速度垂线，交点即圆心。若只有一个速度方向和两个位置，则用该速度垂线与两点弦的中垂线确定圆心。

找出圆心后才用几何求半径。边界宽度通常是半径投影，不是半径或弧长；“垂直射出边界”也不等于轨迹与边界相切。计时须看实际转向、短弧或长弧及是否先碰别的边界，再按圆心角占整周的比例计算，最后用弧长/v复核。场外直线、电场加速和穿板阶段的时间必须另计。

二、考点 方法与例题

两种手则分步用，方向与速率分别判

若磁场由直导线产生，先用右手判粒子所在处B，再对负电子用左手反向规则。方向看磁力，速率看做功，两项不能捆绑猜测。

例题 01 示波器旁的通电直导线

题目

如图所示，在示波器下方有一根与示波器轴线平行放置的通电直导线，直导线中的电流方向向右，在该电流的影响下，关于示波器中的电子束的下列说法正确的是（示波器内两个偏转电场的偏转电压都为零，不考虑地磁场的影响）（　　）

示波器与通电直导线

A．电子束将向下偏转，电子的速率保持不变

B．电子束将向外偏转，电子的速率逐渐增大

C．电子束将向上偏转，电子的速率保持不变

D．电子束将向里偏转，电子的速率逐渐减小

答案与解析

导线电流向右，电子束位于导线上方，右手定则给当地B向纸外。电子向右运动且带负电，磁力向上，电子束上偏。本题偏转电场电压为零、忽略地磁且只讨论磁作用，磁力不做功，速率不变。A只说对速率、方向错；B、D均不符。

本题结论

选C。向上偏转是速度方向改变，不是速率增加。

先几何定半径，再分段连速度

碰撞或穿板处先算动能与速率变化，进入各自纯磁场区域后分别用r=mv/(|q|B)。不能把“动能减半”当成“速率减半”，也不能只凭图高低估半径。

例题 02 穿过铝板前后的两段半圆

题目

如图所示，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)。一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为( )

铝板两侧圆轨迹

A．1∶2

B．2∶1

C．$\sqrt2$∶2

D．$\sqrt2$∶1

答案与解析

上方半圆直径PQ，下方半圆直径QO，O为PQ中点，所以r₁/r₂=2。穿板后动能减半，$v_2=v_1/\sqrt2$，不是v₁/2。各段用B=mv/(|q|r)：

$$\frac{B_1}{B_2}=\frac{v_1}{v_2}\frac{r_2}{r_1}=\sqrt2\times\frac12=\frac{\sqrt2}{2}.$$

能量损失发生在与铝板的相互作用中，不是上下磁场做负功。A、B只看几何，D只看速率，都漏掉另一个因素。

本题结论

选C，B₁∶B₂=√2∶2。

用实际圆心角计时

由入出切线画半径，确定实际走过的角度，再把场宽写成半径投影。时间用弧长除速率，不能把水平宽度除以恒定速率，因为水平分速度不是恒定的。

例题 03 电子穿越条形磁场

题目

【变式3-2】如图所示，一个电子（电荷量为e）以速度${v}_{0}$垂直射入磁感应强度为B，宽为d的匀强磁场中，穿出磁场的速度方向与电子原来的入射方向的夹角为30°（电子重力忽略不计），求：

电子穿越条形磁场题图

（1）电子的质量是多少？

（2）穿过磁场的时间是多少？

答案与解析

电子向右入射，B向纸里，负电荷向下弯曲，圆心在入点下方。入出速度夹角30°，对应所走圆心角30°：

电子穿越条形磁场圆心

$$d=r\sin30^\circ,\quad r=2d.$$

由 $ev_0B=mv_0^2/(2d)$ 得 $m=2Bed/v_0$。所走弧为整周的1/12，故

$$t=\frac{T}{12}=\frac{2\pi r}{12v_0}=\frac{\pi d}{3v_0}.$$

以弧长r×π/6再除v₀得到同一结果。原材料sin30⁰是角度标注，此处规范为sin30°。

本题结论

质量m=2Bed/v₀；时间t=πd/(3v₀)。

三、坑点 辨析与纠错

把不做功误读成没有加速度

常见错法： 洛伦兹力不做功，所以粒子速度不变，或不受力。

错因与检查： 不变的是速率，圆周运动有向心加速度。若观察速率改变，查电场、重力或介质作用，不能归因于磁力；穿板题就是分段能量模型。

负电荷反向两次，或不反向

常见错法： 所有粒子四指都沿速度，或四指已反向后又反转拇指。

错因与检查： 选一种做法：负电荷四指沿速度反向，然后不再反向；或者先按正电荷求力，再反转一次。平行B时先判零力，不给零力硬找方向。完整四选项对照已列于磁场与安培力例题03，不再重复同题。

辨析 01 同粒子速率加倍（自编辨析）

题目

同一非相对论粒子在同一匀强磁场中垂直入射，仅受磁力。若入射速率变为原来的2倍，半径、周期和走过同样90°圆心角所需时间分别如何变化？

答案与解析

r=mv/(|q|B)随v变为2倍；T=2πm/(|q|B)不含v，保持不变；走同样90°需T/4，也不变。弧长增大2倍，同时速率增大2倍，两者抵消。

本题结论

半径2倍；周期与90°圆弧时间均不变。

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