一维碰撞：动量、能量与分离条件

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碰撞不是“两条守恒”口诀。先查外冲量，再查动能是否保持，最后核对碰后状态能否真正分离。

一、知识点概念与依据

1. 碰撞类型由初末动能关系区分

这里的碰前、碰后指相互作用开始前和已经完成后的状态，不是碰撞过程任意两时刻。

类型	动能条件	其他特点
弹性碰撞	初末总动能相等	过程中可暂时转为形变势能，非每刻动能恒定
普通非弹性碰撞	初末总动能减少	转为内能、形变等，仍遵守总能量守恒
完全非弹性碰撞	最终同速或粘连	固定初条件下动能损失最大，不表示末态都静止

上述各类只有外冲量可忽略时，才满足系统动量近似守恒；弹性碰撞再额外使用动能守恒。无额外储能释放的普通碰撞要求末动能不增加；爆炸、预压弹簧释放或超弹性碰撞可将内部储能转为动能，不能套用这个限制。

2. 弹性一维碰撞的方程与相对速度

固定两物体系统，质量 $m_1,m_2$ （kg），在同一惯性系、同一轴上记录初速度 $v_1,v_2$ 与末速度 $u_1,u_2$ （m/s）。外冲量可忽略、弹性碰撞时：

m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2,

\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2.

动量式移项得 $m_1(v_1-u_1)=m_2(u_2-v_2)$ ；能量式乘2并作平方差分解：

m_1(v_1-u_1)(v_1+u_1)=m_2(u_2-v_2)(u_2+v_2).

确有速度交换时，除以动量式两边相同的非零项，得 $v_1+u_1=u_2+v_2$ ，即 $v_1-v_2=u_2-u_1$ ，碰前接近相对速度等于碰后分离相对速度。无速度变化的零项不能直接约去；是否发生实际碰撞还须看位置与接近条件。

若第二物体初静止 $v_2=0$ ， $u_2=v_1+u_1$ ，代回动量式得到

u_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1,\qquad u_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1.

只有等质量等相应条件才出现常见的速度交换，不能向不同质量的一般碰撞照搬口诀。

3. 完全非弹性与条件不足的普通碰撞

完全非弹性时 $u_1=u_2=V$ ，由动量守恒直接得

V=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}.

再用初动能减末动能求损失。在相同总动量、质量及初始状态下，最终同速时剩余动能最小，动能损失最大。可由分解

E_{k,\text{末}}=\frac{P^2}{2(m_1+m_2)}+\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(u_1-u_2)^2

看出：第一项固定，第二项非负，同速时为零。此为手册补充的代数解释， $P$ 是总动量的一维分量。

一般非弹性碰撞若未给恢复系数、能量损失或其他条件，仅动量一式通常不能唯一求两未知速度；速度候选可用约束筛选，不应擅自加动能守恒凑方程。

4. 碰后能分离，是独立的运动学条件

同向追碰中A在后、B在前，取前进方向为正，碰撞结束应有 $u_A\le u_B$ 。若 $u_A>u_B$ ，后球仍追近前球，不能作为已完成碰撞、正在分离的末态；同速可对应粘连或刚好不再接近。此规则针对不穿透的两球一维模型，穿透、碎裂等需题目另说明。

二、考点方法与例题

方法：候选速度经过三道检查

写清物体前后位置、质量和有符号速度，求初总动量与初总动能。
代入每组候选，先查动量是否相同。
无额外释能的普通碰撞，查末动能是否不大于初值。
最后查是否能分离；一个代数等式成立不等于碰后状态可实现。
若要唯一求速度，再根据明确给出的碰撞类型补方程。

例题 01 同向两球正碰后的速度（原题）

题目

如图所示两个小球 $A$ 、 $B$ ，在光滑水平面上沿同一直线同向做匀速直线运动，已知它们的质量分别为 ${m}_{A}=2kg$ ， ${m}_{B}=4kg$ ， $A$ 球的速度是 $5\,\mathrm{m/s}$ ， $B$ 球的速度是 $2\,\mathrm{m/s}$ ，则它们发生正碰后，其速度可能分别为( )

A. ${{v}_{A}}^{\prime}=1\,\mathrm{m/s}$ ， ${{v}_{B}}^{\prime}=4\,\mathrm{m/s}$

B. ${{v}_{A}}^{\prime}=4\,\mathrm{m/s}$ ， ${{v}_{B}}^{\prime}=2.5\,\mathrm{m/s}$

C. ${{v}_{A}}^{\prime}=2\,\mathrm{m/s}$ ， ${{v}_{B}}^{\prime}=3\,\mathrm{m/s}$

D. ${{v}_{A}}^{\prime}=-1\,\mathrm{m/s}$ ， ${{v}_{B}}^{\prime}=5\,\mathrm{m/s}$

答案与解析

答案：A。初总动量 $P=2\times5+4\times2=18\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ，初动能 $E_k=2\times5^2/2+4\times2^2/2=33\,\mathrm J$ 。

选项	末动量（kg·m/s）	末动能（J）	分离及结论
A：1、4	18	33	$1<4$ ，可分离，满足弹性碰撞
B：4、2.5	18	28.5	后球仍更快，尚接近，不能作为结束状态
C：2、3	16	22	违反动量守恒
D：−1、5	18	51	超过初33J，题无额外释能，不允许

B说明只查动量与动能仍不够；D说明只查动量与分离也不够。负速度按方向保留，不能丢符号。

本题结论

A；动量、能量、分离三个条件同时满足。

例题 02 根据守恒与能量条件筛选碰后速度（原题）

题目

A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动， ${m}_{A}=1kg$ ， ${m}_{B}=4kg$ ， ${v}_{A}=8\,\mathrm{m/s}$ ， ${v}_{B}=4\,\mathrm{m/s}$ ，当A追上B并发生碰撞后，A、B两球速度的可能值是（）

A. ${v}_{A}^{\prime}=5\,\mathrm{m/s},{v}_{B}^{\prime}=5\,\mathrm{m/s}$

B. ${v}_{A}^{\prime}=4\,\mathrm{m/s},{v}_{B}^{\prime}=5\,\mathrm{m/s}$

C. ${v}_{A}^{\prime}=0\,\mathrm{m/s},{v}_{B}^{\prime}=6\,\mathrm{m/s}$

D. ${v}_{A}^{\prime}=-2\,\mathrm{m/s},{v}_{B}^{\prime}=\sqrt{31}\,\mathrm{m/s}$

答案与解析

答案：B。初动量 $P=1\times8+4\times4=24\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ，初动能 $E_k=1\times8^2/2+4\times4^2/2=64\,\mathrm J$ 。

A的末动量 $5+4\times5=25$ ，不守恒。D的末动量 $-2+4\sqrt{31}\approx20.27$ ，也不守恒。

C的末动量为24且 $0\le6$ 可分离，但末动能 $4\times6^2/2=72\,\mathrm J$ 超过初值，题目未给额外释能，不成立。

B的末动量 $4+4\times5=24$ ，末动能 $4^2/2+4\times5^2/2=58\,\mathrm J<64\,\mathrm J$ ，且 $4\le5$ 可分离，故正确。损失6J进入题目未逐项指定的内能等，不凭空求温升。