电学实验：测电动势与内阻

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先从实际接线列电流与电压关系，再解释拟合直线。原题数据与图完整保留，理想模型、仪表修正和源解析勘误分开说明。

一、知识点概念与依据

先认清两只表测的是谁

把电源视为恒定电动势E（V）和内阻r（Ω）串联，电流I用A、端电压U用V，稳定放电时 $U=E-I_{\text{源}}r$ 。电压表跨源两端而电流表只测负载电流时，源电流还包含电压表分流；不能直接把两个表读数代入理想关系后，又称没有系统误差。

甲接法：V跨电源，A读负载电流 $I_A$ ， $I_{\text{源}}=I_A+U/R_V$ 。整理得

U=\frac{ER_V}{R_V+r}-\frac{rR_V}{R_V+r}I_A.

把截距、斜率绝对值当作E、r时，两者均偏小，横轴截距仍为E/r。

乙接法：A读源电流，V不含A两端电压， $E=U+I(r+R_A)$ 。拟合截距为E，斜率绝对值为 $r+R_A$ ，内阻偏大。

比较 $r/R_V$ 与 $R_A/r$ 等相关误差量级，再决定接法。选定接法后，甲可增大 $R_V$ 减少分流，乙可减小 $R_A$ 减少附加压降。本章小内阻干电池宜甲，不意味着任何电源都必须甲。理论横截距E/r是外推值，不应实际短路电池测量。

把未知量放进直线系数

忽略电表影响时，伏阻法的U必须是完整端电压。由 $E=U+(U/R)r$ ，两边除以 $EU$ 得：

\frac1U=\frac rE\frac1R+\frac1E.

纵轴1/U、横轴1/R，若斜率k、截距b，则 $E=1/b,r=k/b$ 。安阻法由 $E=I(R+r)$ ，两边除以 $EI$ ，得

\frac1I=\frac1E R+\frac rE,

纵轴1/I、横轴R，故 $E=1/k,r=b/k$ 。串联保护电阻 $R_s$ 、表内阻 $R_A$ 若未计入横轴R，截距成为 $(r+R_s+R_A)/E$ ，应先由拟合总量扣除已知项。

二、考点方法与例题

方法一：接线、取点和误差图一起核

断开开关接线，先核电表量程、正负端和滑动变阻器有效接入端，限流电阻由最大开始。取分散、稳定的工作点；避免大电流长时间通电导致温升、电池状态改变。作U-I拟合直线时不要逐点折线连接，也不必强迫直线过任一测量点。

误差图要从真实方程推出：甲接法实测线纵截距较低、斜率绝对值较小，两线外推到同一横截距。提高 $R_V$ 可减小分流；重复平均不能消除该系统偏差。

例题 01 干电池的接线与真实直线

题目

某实验小组利用电流表和电压表测定一节干电池的电动势和内阻，实验器材如下：

干电池一节（电动势约为1.5V；内阻约为 $0.5\,\Omega$ ）；

电压表V（量程为0~3V，内阻约为 $3\,\mathrm{k\Omega}$ ）；

电流表A（量程为0~0.6A，内阻约为 $0.2\,\Omega$ ）；

滑动变阻器（最大阻值为 $20\,\Omega$ ）；

开关、导线若干。

(1)实验电路图选择（选填“甲”或“乙”）。

(2)用笔画线代替导线将图中的器材连成实验电路。

(3)完成实验后，某同学利用图像分析由电表内阻引起的实验误差。在下图中，实线是根据实验数据描点作图得到的 $U-I$ 图像；虚线是该电源真实的路端电压U随真实的干路电流I变化的 $U-I$ 图像．本次实验分析误差的 $U-I$ 图像是________。

A．

B．

C．

D．

(4)为减小电表内阻引起的实验误差，在电表量程不变的情况下，可以采取的措施是________．

A．换用内阻更小的电流表

B．换用内阻更大的电流表

C．换用内阻更小的电压表

D．换用内阻更大的电压表

答案与解析

(1) 本题 $r\approx0.5\,\Omega$ ， $R_A=0.2\,\Omega$ ，若乙接法，r的附加量相对达40%；甲接法 $r/R_V\approx1.7\times10^{-4}$ ，故选甲。

(2) 按甲接线：V并联电池两端，A与开关、变阻器构成负载支路，正接线柱朝高电势端；变阻器只选一上一下有效接线柱，闭合前使串联阻值最大。完整接线如下。

(3) 甲的实测线为知识部分所列方程，E与r的拟合值都偏小，同一横截距，故A。

(4) 误差来自V的分流，增大 $R_V$ 才减小这部分误差，故D。改变 $R_A$ 不是本接法该系统误差的对应修正。

本题结论

(1)甲；(2)见解析接线图；(3)A；(4)D。

方法二：改装表先还原端电压

扩大电压表量程n倍时，原表满偏电流不变，增加的 $(n-1)$ 倍电压由串联电阻分担，因此需串联 $(n-1)R_V$ ，改装总内阻为 $nR_V$ 。若U仍是原表刻度读数，完整端电压为nU，不能一面用改装量程，一面仍按端电压等于U求E。

伏阻图若仍画1/U对1/R，忽略分流时截距 $b=n/E$ 、斜率 $k=nr/E$ ，因此 $E=n/b,r=k/b$ 。分流支路电流是 $U/R_V=nU/(nR_V)$ ，两个写法相等，但内阻符号不能混用。

例题 02 十倍改装中的截距与分流

题目

新能源汽车使用的电源大多数由锂离子电池串联而成，某物理实验小组想通过实验测量某个新型锂电池组的电动势和内阻，具体进行了以下操作：

(1)为完成本实验，需要将实验室内量程为4V、内阻为4kΩ的电压表改装成量程为40V的电压表使用，则需串联一个阻值为 kΩ的定值电阻 $R_0$ 。

(2)该小组设计了如图1所示电路图进行实验，正确进行操作，利用记录的数据进行描点作图得到如图2所示的 $\frac1U-\frac1R$ 的变化图像，其中U为图1中电压表的读数，R为电阻箱的读数，图中 $a=1.0$ ，b=0.3， $c=2.0$ 。若忽略电压表分流带来的影响，由以上条件可以测出电池组的电动势 $E=$ V，内阻 $r=$ $\Omega$ （计算结果均保留一位小数）。

(3)若考虑电压表分流带来的影响，则上述第（2）问中的测量值与真实值相比：电池组电动势的测量值（填“偏大”、“偏小”或“无影响”），内阻的测量值（填“偏大”、“偏小”或“无影响”）。

答案与解析

(1) 串联电阻 $(10-1)\times4=36\,\mathrm{k\Omega}$ 。

(2) 原表读数U对应端电压10U。由 $1/U=10/E+(10r/E)(1/R)$ ，截距 $b=0.3\,\mathrm{V^{-1}}$ ，斜率 $k=(1.0-0.3)/2.0=0.35\,\Omega/\mathrm V$ ，所以 $E=10/b=33.3\,\mathrm V$ ， $r=k/b\approx1.2\,\Omega$ 。

(3) 保留分流， $R_V=4\,\mathrm{k\Omega}$ 指原表内阻：

10U=E_{\text{真}}-\left(\frac{10U}{R}+\frac U{R_V}\right)r_{\text{真}},

\frac1U=\frac{10}{E_{\text{真}}}\left(1+\frac{r_{\text{真}}}{10R_V}\right)+\frac{10r_{\text{真}}}{E_{\text{真}}}\frac1R.

所以 $E_{\text{测}}=E_{\text{真}}/[1+r_{\text{真}}/(10R_V)]$ ， $r_{\text{测}}=r_{\text{真}}/[1+r_{\text{真}}/(10R_V)]$ ，均偏小。原解析括号内漏分母10，现依电流方程纠正；方向答案不变。若用总内阻40 kΩ才可把括号写成 $1+r_{\text{真}}/R_{V,\text{总}}$ 。

本题结论

36 kΩ；33.3 V，1.2 Ω；偏小，偏小。

答案与解析

$E=1/k=2.0\,\mathrm V$ ； $b/k=2.0\,\Omega$ 是电池内阻、保护电阻和表内阻之和，故 $r=2.0-1.0-0.2=0.8\,\Omega$ 。

本题结论

E=2.0 V，r=0.8 Ω。

电学实验：测电动势与内阻

一、知识点概念与依据

先认清两只表测的是谁

把未知量放进直线系数

二、考点方法与例题

方法一：接线、取点和误差图一起核

例题 01 干电池的接线与真实直线

方法二：改装表先还原端电压

例题 02 十倍改装中的截距与分流

三、坑点辨析与纠错

坑点：认图像外形，不认变量定义

辨析 01 安阻图像的参数辨认（自编辨析）