简谐运动、回复力与能量

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先找到平衡位置，再检查整个往返过程的回复规律。“有周期”不等于“简谐”，回复力也不是受力图上新增的一种力。

一、知识点概念与依据

1. 两个判据与一个原点

机械振动是物体在平衡位置附近的往复运动。以平衡位置为原点、选定正向，理想简谐运动的位移满足

x=A\sin(\omega t+\varphi).

$A$ 为振幅，即离平衡位置的最大距离，单位m； $t$ 用s；角频率 $\omega$ 用rad/s；初相位 $\varphi$ 记录开始计时时的位置和运动方向。相位增加 $2\pi$ ，运动状态才完整重复。正弦与余弦形式只是计时起点不同。振幅、频率须为常量，不能只见曲线来回起伏就叫简谐。

动力学判据是整个研究范围内，振动方向的回复力满足 $F_{\text{回}}=-Kx$ ， $K>0$ 且恒定，单位N/m。负号表示方向与位移相反。由牛顿第二定律，

a=-\frac Km x=-\omega^2x,\qquad \omega=\sqrt{K/m}.

正弦位移的二阶变化率正好为 $-\omega^2x$ ，因此与此加速度规律一致；也可用匀速圆周运动在直径上的投影理解。加速度随位移变，一般不是匀变速运动。这里只讨论自由振动的线性回复模型；阻尼、持续驱动、弹性限度或接触关系改变时须重新检查。

2. 回复力来自实际受力

回复力是“使物体返回平衡位置”的作用名称，可能是某个实际力、几个实际力的合力，或合力在振动方向的分量。不能在重力、弹力等之外再画一根“回复力”。一般系数 $K$ 不一定等于某一根弹簧的劲度系数 $k$ 。

光滑水平轻弹簧振子：重力与支持力抵消，沿杆只有弹力， $F=-kx$ ，于是 $K=k$ 。
竖直轻弹簧振子：向下为正，静止伸长量 $\Delta l_0$ 满足 $mg=k\Delta l_0$ 。相对该平衡位置再偏移 $x$ 时，实际伸长 $\Delta l_0+x$ ，所以

F=mg-k(\Delta l_0+x)=-kx.

平衡位置仍同时有重力、弹力，通常不是弹簧原长位置。上式要求弹簧始终在适用胡克定律且保持相应连接的范围内。

单摆：轻线拉力沿半径，回复力为重力的切向分量。弧长 $x=l\theta$ 与偏角正向一致， $F_{\text{切}}=-mg\sin\theta$ ；小角度用弧度计， $\sin\theta\approx\theta$ ，才有 $F_{\text{切}}\approx-(mg/l)x$ 。

3. 位置、速率与加速度的对应

位置	直线振动的回复力与加速度	速率
平衡位置	零	最大
两端最大位移处	大小最大，指向平衡位置	零
关于原点对称两点	等大反向	相同

向平衡位置运动，回复力做正功，速率增加；越过平衡位置后，惯性使物体继续前进，回复力做负功，直到另一端停下再返回。同一位置往返两次的速率相同，速度却可能相反。

单摆要另看法向分量：最低点切向回复力为零，但径向加速度 $v^2/l$ 不为零，线拉力大于重力；两端速率为零、径向加速度为零，切向回复力大小却最大。竖直直线弹簧振子没有这项向心加速度，平衡位置的总加速度确实为零。

4. 理想水平振子的能量账

取球与轻弹簧为系统，以原长处弹性势能为零。弹簧始终在线性弹性范围、忽略阻力时，只有弹力使动能与弹性势能互相转化，

E_p=\frac12kx^2,\qquad E=E_k+E_p=\frac12kA^2,

E_k=\frac12k(A^2-x^2),\qquad |v|=\sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)}.

$k$ 用N/m， $x,A$ 用m，能量用J，速率用m/s。端点 $x=\pm A$ 时动能零、弹性势能最大；平衡位置动能最大、弹性势能最小。对称两点 $x$ 异号但 $x^2$ 相同，能量相同，回复力反向。动能、弹性势能每 $T/2$ 重复，位置与速度状态每 $T$ 重复。

只取球，弹簧力对球做功，球的动能并不守恒。竖直弹簧总势能还须计入重力势能；单摆主要比较重力势能；阻尼使机械能减少，不能沿用同一常量 $E$ 比较多轮振动。

二、考点方法与例题

1. 判模型：平衡位置—真实力—全范围

选系统与振动方向，找该方向合力为零的位置作原点。
先列实际力，再把合力或切向分量写成相对平衡位置的位移函数；竖直弹簧先用静止平衡条件消去常量项。
检查整个往返范围，有无自由区、脱离、碰撞、变劲度系数或明显阻力。局部满足 $-Kx$ 不足以证明全程简谐。
有时间图像时，再核峰高与峰间距是否不变，是否为正弦/余弦；小角度或短时间近似须写明。

2. 判过程：先看距离，再看力做功

力和加速度的大小看 $|x|$ ，水平振子势能看 $x^2$ ，不能用坐标代数值替代距离。向原点运动，势能减、动能增；离开原点则相反。求速度先由端点确定总能量，再减当前位置势能。分段接触的振动应分别计算自由运动与弹簧作用时间，而不是硬套同一个振子周期。

例题 01 从释放过程检验简谐判据

题目

如图所示，我们将弹簧振子从平衡位置O拉开一段距离到位置B再放开，它会在A、O、B之间做振动。

(1)分别从运动学和动力学的角度来看，如何判定物体的运动是简谐运动呢？

(2)完成1次全振动的时间内，振子运动的路程是多少？ $\frac14$ 周期振子走过的路程等于振幅吗？

(3)弹簧振子系统在振动过程中，有哪些能量在发生变化？一个周期内，这些能量是如何变化的？有什么联系？

答案与解析

（1）运动学上检查相对平衡位置的位移是否为固定振幅、固定角频率的正弦或余弦；动力学上检查整个振动范围的回复力是否满足 $F=-kx$ ，其中 $k>0$ 恒定。

（2）设振幅为 $A$ （不是图中的端点字母A），从B开始一个全振动依次为 $B\to O\to A\to O\to B$ ，总路程 $4A$ 、净位移零。由端点或平衡位置开始的 $T/4$ 路程为 $A$ ；任意起点的 $T/4$ 不一定为 $A$ ，不能按时间比例匀分路程。

（3）在题示理想水平模型中，球的动能与弹簧弹性势能互相转化。B到O弹力做正功、动能增；O到A弹力做负功、弹性势能增，返回时同理。两者之和不变，每种能量每半周期重复一次。端点动能零、弹性势能最大；O处动能最大、弹性势能最小。

本题结论

判据是线性回复或正弦位移；全周期路程 $4A$ ，机械能守恒。

例题 02 两弹簧之间留有自由区

题目

如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则（）

A．小球做简谐运动

B．小球动能的变化周期为T

C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为 $\frac{T}{2}$

D．小球的初速度为 $\frac{v}{2}$ 时，其运动周期为2T

答案与解析

答案：C。

A错：中央自由区内，小球偏离中点而合力仍为零，做匀速直线运动，已否定全程 $F=-kx$ 。

两侧完全对称，右侧压缩返回与左侧压缩返回的能量变化相同。动能和两弹簧总弹性势能的最小正重复时间为 $T/2$ 。原选择题按高中通常“周期指最小正重复时间”的口径判B错、C对；若把“周期”仅理解为任一重复时间， $T$ 作为 $T/2$ 的整数倍也成立，B便不能排除。原题字义不够严谨，这里保留选项并明示判题口径。

D错：此题 $x$ 是两自由端间距，不是判据中的振动位移。一个全周期在中央区累计走 $2x$ ；每侧“压缩到最深再返回”占理想弹簧周期 $T_0=2\pi\sqrt{m/k}$ 的一半，两侧共 $T_0$ 。因此

T=\frac{2x}{v}+T_0,\qquad T_{\text{新}}=\frac{4x}{v}+T_0<2T.

减半初速只把自由区的用时加倍，不改变每次弹簧作用的时间。

本题结论

C。周期性往返不自动满足简谐判据。

例题 03 水平振子的力与能量

题目

如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧中心轴线与细杆平行，弹簧与细杆间无接触，小球沿杆在水平方向做简谐运动，小球在A、B间振动，O为平衡位置，如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．小球振动的振幅等于A、B间的距离

B．小球在A、B位置时，动能和加速度都为零

C．小球从B到O的过程中，弹簧振子振动的机械能保持不变

D．小球从O到B的过程中，回复力做负功，弹簧弹性势能减小

答案与解析

答案：C。

A错：振幅是AO或BO，两端间距为振幅的两倍。B错：端点速度、动能确为零，但回复力和加速度大小最大。C对：从B到O弹力做正功，弹性势能减、动能增，球与弹簧系统机械能不变。D错：O到B弹力做负功，动能减小、弹性势能增加，不是减少。

本题结论

C。总能量不变不等于各项能量不变。

简谐运动、回复力与能量

一、知识点概念与依据

1. 两个判据与一个原点

2. 回复力来自实际受力

3. 位置、速率与加速度的对应

4. 理想水平振子的能量账

二、考点方法与例题

1. 判模型：平衡位置—真实力—全范围

2. 判过程：先看距离，再看力做功

例题 01 从释放过程检验简谐判据

例题 02 两弹簧之间留有自由区

例题 03 水平振子的力与能量

三、坑点辨析与纠错

1. 原点错了，判据就会错

2. 回复力零，不必总加速度零

3. 不要把状态周期、能量周期与路程混在一起