变压器与远距离输电

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理想变压器内部不耗能，不代表整条输电线路无损耗。先找绕组端，再找线路段，电压、电流和功率才不会串位。

一、知识点概念与依据

理想变压器：电压正比，电流反比

原、副线圈由共同变化的磁通联系。理想模型忽略绕组电阻、铁芯损耗、漏磁和励磁电流； $n_1,n_2$ 为匝数， $U_1,U_2$ 为绕组端电压有效值（V）， $I_1,I_2$ 为绕组电流有效值（A），不是任意支路的值。

两绕组共享单匝磁通变化率，由 $e=-n\,d\Phi/dt$ 得感应电动势大小与匝数成正比；理想绕组端电压大小等于感应电动势大小，因此电压也成正比。纯电阻负载下理想功率守恒进一步给出电流反比：

\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}=a,\qquad U_1I_1=U_2I_2,\qquad \frac{I_1}{I_2}=\frac1a.

由 $U_1/I_1$ 得负载折合到原边的电阻 $R_{\rm in}=a^2R_L$ 。升压并不放大能量，而是以减小电流换取高电压。多个副绕组先求各电压，再令输入功率等于各路输出功率之和；不能对每路套同一双绕组逆电流比，也不能随意相加不同相位电流大小。含非电阻负载还应考虑交流功率相位。

变压器不改变频率；稳恒直流不能持续变压，但刚接通或断开可有暂态感应。实际器件的铜损、涡流、磁滞与漏磁使理想模型有偏差。

负载变化：电源端不一定是绕组端

若 $U_1$ 固定且匝数比不变， $U_2=U_1/a$ 固定； $R_L$ 减小使副电流、原电流增大。若原边另串 $R_s$ ，固定的是电源 $U$ 而不是 $U_1$ ，则

I_1=\frac{U}{R_s+a^2R_L},\qquad U_1=U-I_1R_s.

负载减小，原电流变大、串联压降变大，绕组端电压反而降低。开关短接电阻须先重画负载；“电压由匝数决定”还需要原端电压条件。

输电线路：高电压降低的是同功率电流

线路总电阻 $R_{\text{线}}$ （Ω）、线路电流有效值 $I_{\text{线}}$ （A）决定热损耗功率 $P_{\text{损}}$ （W）。纯电阻输电模型且忽略变压器损耗时，

P_{\text{损}}=I_{\text{线}}^2R_{\text{线}}=\left(\frac{P_{\text{送}}}{U_{\text{送}}}\right)^2R_{\text{线}},

U_{\text{收}}=U_{\text{送}}-I_{\text{线}}R_{\text{线}},\qquad P_{\text{收}}=P_{\text{送}}-P_{\text{损}}.

同发送功率、同线路电阻时，发送电压提高 $k$ 倍，线路电流降为 $1/k$ ，损耗降为 $1/k^2$ 。不是把高电压全加在线路电阻两端；电阻两端只是线路压降。

一般交流线路有电抗，上述电压大小直接相减需改用相位关系。题给“总电阻”已包含实际去回线路，不再乘2；只给单根长度时按实际回路算总长度。比较方案必须核固定条件，不能同时暗加题目没有固定的用户电阻。

二、考点方法与例题

方法一：先解副边串并联，再跨绕组

先看图像是哪一个元件的电压，正弦峰值换有效值。副边串联同电流、并联同电压；绕组端电压与总电流齐全后再代匝比，最后用输入输出功率复核。频率需可读周期或题给频率，不能凭横轴单位猜数值。

例题 01 含并联负载的理想变压器

题目

一含有理想变压器的电路如图甲所示，图中的电阻 ${R}_{1}=30Ω$ ， ${R}_{2}=10Ω$ ， ${R}_{3}=20Ω$ ，A为理想交流电流表，V为理想电压表， ${R}_{3}$ 两端电压随时间变化的图像为图乙所示，电源的输出电压为2.5V，则下列说法正确的是（　　）

A．电流表示数为0.6A

B．电压表示数为 $28V$

C．原线圈、副线圈匝数比为 $1:6$

D．输入电压频率为 $100Hz$

答案与解析

$R_3$ 峰值 $10\sqrt2\,\mathrm V$ ，有效值10 V，电压表也读10 V，B 错。 $I_3=10/20=0.5\,\mathrm A$ ； $R_2,R_3$ 串联，副端 $U_2=0.5(10+20)=15\,\mathrm V$ 。

$R_1$ 并联支路电流 $15/30=0.5\,\mathrm A$ ，副总电流1 A。匝比 $n_1:n_2=2.5:15=1:6$ ，原电流6 A，C 对、A 错。功率核对 $2.5\times6=15\times1=15\,\mathrm W$ 。时间轴只有单位、没有可读周期刻度，D 的100 Hz 没有依据。

本题结论

C。

方法二：折合负载后再求变化

由已知电流或功率先定匝比，副负载乘 $a^2$ 折合到原边，与原串电阻一同分压。求得原电流、绕组端电压后再返回副边。不要只因匝比不变就说副端电压不变。

如图，理想变压器原线圈匝数为 ${n}_{1}$ ，接有一阻值为 ${R}_{1}=6R$ 的定值电阻和理想交流电电流表 $A$ ，副线圈匝数为 ${n}_{2}$ ，接有阻值 ${R}_{2}=R$ 和 ${R}_{3}=5R$ 的两个定值电阻。 $U$ 为正弦交流电电压源，输出电压的有效值恒定，频率为 $50Hz$ 。当开关 $S$ 断开时，电流表的示数为 $I$ ，且 ${R}_{2}$ 的电功率为 $9{I}^{2}R$ ，则（）

A．流经 ${R}_{2}$ 的交变电流的频率为 $150Hz$

B．该变压器原、副线圈匝数比 ${n}_{1}:{n}_{2}=2:1$

C．当开关 $S$ 闭合时，原线圈两端的电压增大

D．当开关 $S$ 闭合时， ${R}_{2}$ 的电功率变为 $144{I}^{2}R$

答案与解析

断开时由 $I_2^2R=9I^2R$ 得 $I_2=3I$ ，故 $a=I_2/I_1=3$ ，B 错；变压器不变频，A 错。

原来的副边负载为 $R+5R=6R$ ，折合 $54R$ ，加原串联 $6R$ ，所以电源 $U=60RI$ 。闭合后 $R_3$ 短接，副负载 $R$ 、折合 $9R$ ，原电流 $60RI/(6R+9R)=4I$ ，副电流 $12I$ ， $R_2$ 功率 $144I^2R$ ，D 对。

原绕组端电压从 $54RI$ 降到 $4I\times9R=36RI$ ，所以 C 所称增大错误。

本题结论

D。

方法三：四端电压分名，线路单独扣损

按发电端 $U_1$ 、发送端 $U_2$ 、接收端 $U_3$ 、用户端 $U_4$ 命名。升压求 $U_2$ ，线路电流由发送功率除 $U_2$ ，再扣线路压降与损耗，最后降压求 $U_4$ 。不能用发电端或用户端电流替代线路电流；相反匝比不能跨过有损线路直接抵消。最后核损耗非负且未超可供功率，用户电压低于无损目标。

例题 03 两种输电方案完整比较

题目

一小型水电站为某企业供电，发电机输出功率为66kW，输出电压为220V，输电线的总电阻为0.2Ω．

（1）若由发电机经输电线直接送电，求企业得到的电压和功率是多少？

（2）若用1：10升压变压器先升压，再用10：1的降压变压器降压，企业得到的电压和功率是多少？

答案与解析

按题意两方案均保持发电功率66 kW、发电端220 V，并将变压器视为理想、线路作纯电阻模型，不额外要求两种方案用户电阻相同。

(1) 直接输电， $I=66000/220=300\,\mathrm A$ 。线路压降 $IR=60\,\mathrm V$ ，损耗 $I^2R=18000\,\mathrm W$ ，用户得到160 V、48 kW。

(2) 升压后 $U_2=2200\,\mathrm V$ ，线路 $I_2=30\,\mathrm A$ ，压降6 V，损耗180 W。 $U_3=2194\,\mathrm V$ ，降压后 $U_4=219.4\,\mathrm V$ ；用户功率 $66000-180=65820\,\mathrm W=65.82\,\mathrm{kW}$ 。

电流降为十分之一，损耗为原来的百分之一。原答案简表漏列电压，本处按题问完整作答。

本题结论

(1) $160\,\mathrm V$ 、 $48\,\mathrm{kW}$ ；(2) $219.4\,\mathrm V$ 、 $65.82\,\mathrm{kW}$ 。

三、坑点辨析与纠错

坑点一：电流不能照抄电压匝比

例题01 副端15 V、1 A，输出15 W；原端2.5 V 必须输入6 A 才是15 W。若误写同匝比得到 $1/6$ A，立刻破坏功率守恒。比值两侧应属于同一个双绕组变压器，电流用绕组总电流、电压用绕组端电压。

坑点二：线路损耗不是发送电压平方除线路电阻

辨析 01 找出错误的电压对象（自编辨析）

题目

某纯电阻输电模型发送电压 $1000\,\mathrm V$ 、线路电流 $2\,\mathrm A$ 、线路总电阻 $5\,\Omega$ 。有人用 $1000^2/5$ 求线路损耗。指出错误并求接收电压、线路损耗。

答案与解析

1000 V 是发送端电压，不是线路电阻两端压降。线路压降 $\Delta U=IR=10\,\mathrm V$ ，接收电压990 V，损耗 $I^2R=20\,\mathrm W$ ；也可用 $(\Delta U)^2/R=20\,\mathrm W$ 。

本题结论

接收990 V，损耗20 W。