变轨过程与宇宙速度

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升到较高圆轨道，最终速率更小，为什么仍要点火加速？关键是把局部点火、椭圆滑行和最终圆轨道分开，而不是把不同阶段的速度混为一个量。

一、知识点概念与依据

1. 两次升轨点火与两个圆轨道的比较

理想瞬时点火中，位置来不及明显变化，速度改变；点火后轨道可变为椭圆，不能因为还在原半径就仍套该半径的圆轨道速率。考虑同一颗卫星由低圆轨道Ⅰ，经相切转移椭圆Ⅱ，到高圆轨道Ⅲ：近地点A的地心距 $r_A$ 小于远地点B的 $r_B$ 。

阶段	速率关系	比较依据
两个最终圆轨道	$v_{\mathrm I}=\sqrt{GM/r_A}>v_{\mathrm{III}}=\sqrt{GM/r_B}$	同一中心，圆轨道半径越大速率越小
A点由Ⅰ进入Ⅱ	$v_{\mathrm{II},A}>v_{\mathrm I}$	沿运动方向点火加速，使轨道向外扩展
椭圆A到B无动力飞行	速率减小	近地点快，远地点慢
B点由Ⅱ进入Ⅲ	$v_{\mathrm{II},B}<v_{\mathrm{III}}$	再次沿运动方向加速，圆化到高轨道

合并得到 $v_{\mathrm{II},A}>v_{\mathrm I}>v_{\mathrm{III}}>v_{\mathrm{II},B}$ 。两次加速发生在不同位置，不表示全程速度单调增加。以上是指定的两圆轨道相切转移模型，不是所有变轨方式都只有两次点火。

2. 同一点不同速率，仍可有同一引力加速度

发动机关闭、主要只有引力时，加速度大小 $a_{\text{引}}=GM/r^2$ ，方向指向地心。因此在同一个B点，椭圆与圆轨道的引力加速度相同，尽管速度不同。点火过程中还有推力，总加速度不必相同。

椭圆上的地心距离不是当地曲率半径，不能把 $GM/r^2$ 沿途写成 $v^2/r$ 。圆轨道公式不适用，不等于当地引力定律不适用。

3. 动能减少与机械能增加不矛盾

同一卫星质量 $m$ 不变，稳定圆轨道中

E_k=\frac12mv^2=\frac{GMm}{2r}.

高圆轨道的 $r$ 更大，动能更小；升轨时发动机做正功，卫星机械能增加，引力势能的增大必须计入。不能把“点火加速”的局部结论当成整个升轨过程动能变化的结论，也不能把动能变化当成机械能变化。

4. 三个宇宙速度回答三种任务

名称	教材近似数值	任务与条件
第一宇宙速度	$7.9\,\mathrm{km/s}$	忽略阻力、自转等时近地表理想圆轨道速率
第二宇宙速度	$11.2\,\mathrm{km/s}$	地面附近脱离地球束缚的理想最小初速度
第三宇宙速度	$16.7\,\mathrm{km/s}$	从地面附近出发，利用地球公转并选择有利方向，脱离太阳系束缚的理想最小初速度

这些不是同一轨道的三个速率，也不是任意地点的逃逸阈值。脱离束缚意为能够持续远离，不是引力消失。第二宇宙速度涉及随距离变化的引力，不能拿恒定地表 $mg$ 乘“无穷高”，也不是将圆轨道半径换大就得到。

第三宇宙速度同时涉及太阳引力和地球公转速度，含有出发地点与有利方向条件；不能把它作为任意发射方向都能逃逸的保证。本章使用源资料的第二、第三宇宙速度近似值，不把圆周运动推导冒充完整逃逸能量推导。

5. 第一宇宙速度的推导与“最大”的范围

地球质量 $M$ （kg）、半径 $R$ （m），卫星质量 $m$ （kg）。近地理想圆轨道忽略自转和阻力，

G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v_1^2}{R}\quad\Rightarrow\quad v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}.

忽略自转时地表引力近似等于重力， $GMm/R^2=mg$ ，所以 $GM=gR^2$ ，得到

v_1=\sqrt{gR}=\sqrt{9.8\times6.4\times10^6}\,\mathrm{m/s}\approx7.9\times10^3\,\mathrm{m/s}.

地球外部圆轨道 $r\ge R$ ， $v_{\text{圆}}=\sqrt{GM/r}\le v_1$ 。因此“最大环绕速度”在这里仅限地球外部圆轨道，不是所有有界椭圆轨道的最大瞬时速度；同步圆轨道更高，速率小于 $v_1$ 。

“最小发射速度”也是理想初速度模型的教材用语，不能理解为实际火箭全过程必须一次达到的通用起飞速度。持续推力、自转、空气阻力与发射方向会改变真实过程。代公式时km/s须换成m/s。

二、考点方法与例题

方法：在轨道图上分别写位置、阶段和力

标近地点A、远地点B和Ⅰ/Ⅱ/Ⅲ轨道身份。
先比两个圆轨道，再把各点的点火前后速度接入不等式。
同位置比加速度，先查发动机是否关闭；仅引力时用 $GM/r^2$ 。
涉及静止轨道，先令周期等于地球自转周期，再用 $r^3=GMT^2/(4\pi^2)$ 。
问动能只算 $mv^2/2$ ；问机械能还须计势能，不能相互替代。

例题 01 两次变轨进入静止轨道（原题）

题目

（多选）如图所示，人造卫星的发射过程要经过多次变轨后方可到达预定轨道。在发射地球静止轨道卫星的过程中，卫星从近地圆形轨道Ⅰ的A点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在远地点B变轨进入地球静止轨道Ⅲ。下列说法正确的是（　　）

A．卫星在Ⅱ轨道上经过A点的速度小于在Ⅲ轨道上的速度

B．卫星在Ⅱ轨道和Ⅲ轨道上经过B点时的加速度大小相等

C．若地球自转加快，静止轨道Ⅲ离地面的高度应增大

D．卫星在Ⅲ轨道上运行的动能小于在Ⅰ轨道上的动能

答案与解析

答案：BD。 A点先加速进入椭圆，所以 $v_{\mathrm{II},A}>v_{\mathrm I}$ ；两圆轨道又有 $v_{\mathrm I}>v_{\mathrm{III}}$ ，故A的不等号方向错误。

B比较同一B点变轨前后的无动力轨道状态，仅有引力时均 $a=GM/r_B^2$ ，正确；若比较正在点火时的总加速度则须加推力。

静止轨道动力学给 $(R+h)^3=GMT^2/(4\pi^2)$ ，所以 $h=[GMT^2/(4\pi^2)]^{1/3}-R$ 。地球自转加快， $T$ 减小且其他量不变， $h$ 减小，C错误。

同一卫星在Ⅲ轨道半径更大， $E_k=GMm/(2r)$ 更小，D正确。两次局部加速与最终动能更小并不矛盾。

本题结论

BD；同点比当地引力加速度，跨圆轨道比最终动能。

三、坑点辨析与纠错

1. “高轨道慢”不等于升轨应在原处减速

“高轨道慢”比较两个已稳定的圆轨道，点火加速比较同一点先后时刻。将两个比较揉成一个结论，就会漏掉中间的椭圆滑行阶段。

2. 宇宙速度先核单位，再核发射条件

先区分圆轨道运行与逃逸，检查km/s是否被写成km/h，再看第三宇宙速度是否保留有利方向等条件。原题缺少条件时，不把教材预期选项当成无条件的严格结论。

辨析 01 三个宇宙速度的表述边界（原题，条件性辨析）

题目

关于地球的三个宇宙速度，下列说法正确的是（　　）

A．第一宇宙速度大小为7.9 km/h，是发射卫星所需的最小速度

B．绕地球运行的同步卫星的环绕速度必定大于第一宇宙速度

C．第二宇宙速度为11.2 km/s，是绕地飞行器最大的环绕速度

D．在地面附近发射的飞行器速度等于或大于第三宇宙速度时，飞行器就能逃出太阳系了

答案与解析

原资料预期答案：D，限于其约定的理想有利发射模型；按选项字面无条件理解，D并不严谨。题干没有明写有利方向等条件，这里不静默补入原题。

A的单位错：第一宇宙速度约 $7.9\,\mathrm{km/s}$ ，不是km/h。B错误：同步圆轨道半径 $r_{\text{同}}>R$ ， $v_{\text{同}}/v_1=\sqrt{R/r_{\text{同}}}<1$ 。C把地球逃逸门槛说成最大环绕速度； $11.2\,\mathrm{km/s}$ 不是地球外部圆轨道最大速率。

D在教材约定的从地面附近、忽略阻力并利用地球公转的有利方向条件下表达第三宇宙速度的作用。单独达到这个速率，不足保证所有方向或发射方式都能脱离太阳系。因此该题用于条件辨析，不把D作为无条件正确陈述。

本题结论

教材约定条件下预期D；若要求字面严格性，须指出D缺少发射方向等条件。