力的合成与共点力平衡

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多个力不是按大小直接相加。先确定研究对象与真实作用，再用矢量合成或正交分解表达同一作用效果；只有模型允许平衡时，才把矢量和写成零。

一、知识点概念与依据

1. 共点力、合力与分力是怎样的关系

几个力作用于同一点，或各力的作用线相交于同一点，称为共点力。作用线是沿箭头方向延伸的直线，不仅是图上短箭头。质点模型忽略尺寸，常将各力画在同一代表点；对于有尺寸的物体，即使作用点不同，作用线也可能共点。

若一个力单独作用的效果与几个力共同作用的效果相同，这个力是它们的合力，原来的几个力是分力。合成与分解是等效替代，不是增加真实作用：把斜向推力分解为水平、竖直两分量后，不可再把原推力一起加进同一个方程。

多个力可先合成其中两力，再与其余力合成，合成顺序不改变最后的矢量和。若不指定分解方向，一个力有无数组分力；须给定方向或等效作用要求后，分解才有确定意义。

共点不表示等大、同向或平衡；有非零加速度时，共点力的合力仍可非零。扩展物体若各作用线不共点，还须考虑转动，不能只凭合力零就认定整个物体完全平衡。

2. 平行四边形定则与两力合成公式

以两共点力 $\boldsymbol F_1,\boldsymbol F_2$ 为邻边作平行四边形，从共同起点指向对角顶点的对角线表示合力 $\boldsymbol F$ ，即 $\boldsymbol F=\boldsymbol F_1+\boldsymbol F_2$ 。不是连接两箭头端点的另一条对角线。

自绘矢量图：F1与F2从O出发作邻边，绿色F从O指向对角顶点，虚线补全平行四边形

图为合成规律的自绘示意，不以线段长度代替题目未给的数值。

实验可用两只测力计共同拉橡皮条到同一结点位置，再用一只测力计复现该位置。橡皮条长度和方向相同，使两种作用效果相同；统一标度画出力的大小、方向，检查单力是否与平行四边形对角线一致。这是等效替代的实验依据。

设两力大小为 $F_1,F_2$ ，共同起点处夹角为 $\theta$ 。矢量三角形的内角是 $180^\circ-\theta$ ，由余弦定理

F^2=F_1^2+F_2^2-2F_1F_2\cos(180^\circ-\theta)=F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta.

两力等大 $F_1=F_2=F_0$ 时，对称轴就是合力方向，可用沿轴投影得 $F=2F_0\cos(\theta/2)$ 。这里的半角不能误用为原夹角。

3. 合力大小范围与可达条件

两力大小固定，夹角可从0°连续变化到180°，合力大小满足

|F_1-F_2|\le F\le F_1+F_2.

同向取最大值，反向取最小值；其他夹角给两端之间的值。若两个非零分力大小固定，夹角在该范围增大， $\cos\theta$ 减小，合力大小随之减小。

但改变的是某个分力大小时，不能照搬这条单调结论。若两力反向且 $F_1>F_2$ ，适当增大较小的 $F_2$ 会使 $F_1-F_2$ 减小。合力可大于、小于或等于某个分力，甚至为零；零合力不等于各力都消失。

三力最小合力可先把两力合成，检查第三力能否与它反向抵消。范围结论假定方向可以自由选择；实际绳、斜面和固定夹角限制下，某个数学端点可能不可达到，必须再核几何条件。

4. 平衡条件与正交分解

在惯性参考系中，质点静止或做匀速直线运动，速度大小和方向均不变，称为平衡状态，有

\sum\boldsymbol F=\boldsymbol0.

在平面内选相互垂直的 $x,y$ 轴，矢量为零等价于两个分量分别为零： $\sum F_x=0$ 、 $\sum F_y=0$ 。分量带正负号，单位仍为N。二力平衡要求同一对象上的两力等大反向共线；三共点力平衡，任意两力的合力应与第三力等大反向，首尾相接可形成闭合矢量三角形。

在图示锐角投影三角形中， $F$ 与水平轴所夹锐角为 $\theta$ 时，水平、竖直投影的大小分别为 $F\cos\theta$ 、 $F\sin\theta$ ；如果所给锐角改为与竖直轴夹角，两者就互换。先画投影直角三角形，沿所标角的邻边对应余弦，不背“水平永远用cos”。分量的正负还由实际方向决定。

选轴的目的，是让尽量多的力与轴重合。水平地面常选水平、竖直；斜面常选沿面、垂直面。分解之后仍只是在计算原来的真实力，不能增加力的数量。

5. 动态平衡是有条件的准静态近似

绳角、支点位置缓慢变化，若题设允许忽略加速度，可在每个时刻近似使用平衡方程，称为动态平衡分析。先找恒定量和变化参数，再由平衡式研究力的变化；不因某股力变大就说净合力变大。

“慢”本身不是一切情况下的严格证明，若实际加速度不可忽略，须改用动力学。匀速圆周运动虽然速率不变，方向改变，不能按平衡；匀速圆周运动有向心加速度；上抛最高点瞬时速度零，加速度仍向下为 $g$ ，也不平衡。扩展物体完整静止还需转动条件，不能将共点质点的充分条件无界推广。

二、考点方法与例题

1. 先判断可达范围，再用反例检验“一定”

两力先算差与和，再检查夹角限制；变化题分清究竟改变夹角还是分力。三力先合两力，若第三力落在其合力大小范围内，可调方向反向抵消。反例只需满足原条件，就能推翻“一定”的断言。

例题 01 三股3、6、7 N的力，最小合力不是2 N

题目

下面关于合力和分力关系的叙述中，正确的是（　　）

A．两个力的合力一定大于其中任意一个分力

B．两个分力 $F_1$ 和 $F_2$ 的夹角 $\theta$ 不变， $F_1$ 大小不变，只要 $F_2$ 增大，合力 $F$ 就一定增大

C．两个分力的大小不变，夹角在 $0^\circ\text{—}180^\circ$ 之间变化，夹角越大，其合力越小

D． $3\,\mathrm N$ 、 $6\,\mathrm N$ 、 $7\,\mathrm N$ 三个共点力的合力的最小值为 $2\,\mathrm N$

答案与解析

A可用等大反向两力反驳：合力可为零，小于任一分力。B也不成立，例如 $F_1=10\,\mathrm N$ 与反向 $F_2=4\,\mathrm N$ 合力为6 N，把 $F_2$ 增至5 N时夹角和 $F_1$ 都不变，合力却减为5 N。

C在两个非零力大小固定时符合余弦公式，夹角0°至180°增大，合力减小，因此正确。D先合3 N与6 N，合力大小可在3至9 N连续取值，其中包含7 N；让该7 N合力与第三股7 N反向，三力合力为零。不能只挑共线方向算 $|3+6-7|=2$ 作为所有方向的最小值。

本题结论

选C。三股3、6、7 N可合成零；方向是不可删掉的条件。

2. 总接触作用、法向支持和反作用力分开读

先明确研究苹果而非盘。盘对苹果的总作用可以是支持与摩擦的合力；苹果对盘的压力作用于另一个对象，不画进苹果受力图。再依据静止、匀速或减速决定能否令合力零。

例题 02 餐盘倾斜时，向上的是总接触作用

题目

某餐厅工作人员给顾客送餐情景如图所示。假设餐盘保持水平，盘中的物品四周都留有一定的空间，并与餐盘保持相对静止，则下列说法正确的是（）

A．匀速向前行走时，盘对苹果的作用力水平向前

B．减速向前行走时，苹果受到4个力的作用

C．苹果对餐盘的压力和餐盘对苹果的支持力是一对平衡力

D．若餐盘稍微倾斜，但盘和苹果仍静止，则苹果受盘的作用力方向竖直向上

答案与解析

匀速前行时苹果平衡，盘对苹果的总接触作用竖直向上、与重力平衡，不是水平向前，A错误。减速前行时，苹果受重力、盘的支持力及水平向后的摩擦力，共3股真实力；不能再添加盘的“总作用”当第四力，B错误。

C的压力是苹果对盘，支持力是盘对苹果，属于同一次接触的相互作用力，分别作用于两个对象，不是单个苹果上的平衡力。D中盘和苹果仍静止，盘对苹果的支持与静摩擦合力必须与重力等大反向，故总作用竖直向上，D正确。倾斜时单独的法向支持不必竖直，也不必等于重力。

本题结论

选D。总作用与分作用等效，不可重复计力；力对不在单个苹果上抵消。

3. 先画真实力，再按选轴写两个方程

隔离受力对象，按重力、接触逐项找来源。以水平前进方向为 $x$ 正向、竖直向上为 $y$ 正向，给每个分量带符号。先用平衡求支持与摩擦，再用接触规律求动摩擦因数。若算出负支持或静摩擦超过上限，应回头检查接触与平衡模型。

（8分）拖地的时候，遇到顽固污渍的地方，我们会使劲向下压拖把并前后滑动拖把，就有可能把污渍清除。如图所示，某人沿拖把杆方向以恒力 $F=10\,\mathrm N$ 沿拖把杆推拖把头时，拖把头在地板上匀速移动。已知拖把杆与水平方向的夹角为 $\theta=37^\circ$ ，拖把头的质量为 $m=0.4\,\mathrm{kg}$ ，拖把杆质量可忽略，（ $\sin37^\circ=0.6$ ， $\cos37^\circ=0.8$ ，取 $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ ）求：

(1)地面对拖把头的支持力大小；

(2)拖把头与水平地板间的摩擦力；

(3)拖把头与水平地板间的动摩擦因数 $\mu$ 。

答案与解析

拖把头受四股真实力：重力 $mg$ 、地板支持 $N$ 、地板滑动摩擦 $f$ 、杆沿自身方向的推力 $F$ 。原图未另标速度箭头；沿杆推力的水平分量向左，结合题设匀速滑动，可判前进方向向左，选它为 $x$ 正方向； $y$ 向上。

自绘拖把头受力图：N向上、mg向下、推力F斜向左下、滑动摩擦f向右，前进方向向左

受力图只示各力方向，箭长不按大小比例绘制。

匀速直线运动给两个分量平衡式：

F\cos37^\circ-f=0,\qquad N-mg-F\sin37^\circ=0.

所以 $N=0.4\times10+10\times0.6=10\,\mathrm N$ ， $f=10\times0.8=8\,\mathrm N$ ，方向与拖把头相对地板的运动方向相反，即图中向右。因其正在滑动， $\mu=f/N=8/10=0.8$ 。

若漏去推力向下分量，误用 $N=mg=4\,\mathrm N$ ，会算出错误的 $\mu=2$ ；错误在受力方程，不是“摩擦因数不能大于1”这类不成立的附加规则。

本题结论

支持力10 N，摩擦力8 N且与相对运动反向，动摩擦因数0.8。

4. 角度变化先写函数，再看增减与极限

先声明准静态模型，找出恒定重力与变化角度；理想轻绳松弛则张力取零。分别用竖直、水平平衡表达未知力，再在实际角度范围讨论增减。图解可核方向和趋势，但不能替代必要的模型条件。

例题 04 国旗绳角变化：两力增大，净合力仍可为零

题目

在一次学校的升旗仪式中，小明观察到拴在国旗上端和下端各有一根绳子，随着国旗的徐徐升起，上端的绳子与旗杆的夹角在变大，下端的绳子几乎是松弛的，如图所示。设风力水平，两绳重力忽略不计，由此可判断在国旗升起的过程中（　　）

A．风力在逐渐增大

B．上端的绳子的拉力先减小后增大

C．上端的绳子的拉力在逐渐增大

D．国旗受到的合力增大

答案与解析

按原详解把“徐徐升起”处理为可忽略加速度的准静态模型，并把几乎松弛的下绳理想化为张力零。国旗作为质点受重力 $G$ 、上绳张力 $T$ 及水平风力 $W$ 。设上绳与竖直旗杆夹角 $\alpha$ ，图示范围为 $0\le\alpha<90^\circ$ 。

竖直与水平方向平衡分别给

T\cos\alpha=G,\qquad W=T\sin\alpha,

所以 $T=G/\cos\alpha$ 、 $W=G\tan\alpha$ 。随着 $\alpha$ 增大， $\cos\alpha$ 减小且为正， $T$ 增大； $\tan\alpha$ 增大， $W$ 也增大。故A、C正确，B没有所说先减后增的阶段，D错误，准静态净合力始终近似零。

原资料动态图解：固定竖直重力对应高度，绳更偏向水平时，张力矢量和水平风力矢量均增长

图解中固定竖直分量 $G$ ，斜边越偏水平，须越长才能保持同一竖直高度，与分量式一致。若 $\alpha$ 趋近90°，有限张力不能提供所需竖直分量，不能把图示规律越过其适用极限。

若实际升旗有不可忽略的竖直加速度，应改为 $T\cos\alpha-G=ma_y$ ，仅由绳角增大不能无条件判定张力怎样变化。因此这里的AC明确依赖原资料的准静态近似，不静默推广到突然加速的升旗过程。

本题结论

沿用准静态、下绳张力忽略的题源模型选AC。风力与上绳张力增大，净合力仍近似零。

三、坑点辨析与纠错

1. 合力不是一袋正数之和，增加分力也可能减小合力

常见错法：把所有N数相加，说合力必大于分力；或看一股力变大就判合力变大。

错在何处：力是矢量，反向作用会抵消。大小相同的两力可同向合成两倍，也可反向合成零；方向不完整，大小关系就不完整。

自查：先画方向，再检验 $|F_1-F_2|\le F\le F_1+F_2$ 。例题01的反向反例即可排除“一定”，三力最小值还要考虑两力合成的连续范围。

2. 平衡力在同一对象，反作用力在另一个对象

常见错法：在苹果受力图中同时画“苹果压盘”和“盘支持苹果”，把它们抵消后说苹果不受盘作用。

错在何处：压力作用于盘，不属于苹果受力图。若改研究苹果与盘整体，双方接触力才成为内部力，可在整体方程中消去，不表示接触力消失。

自查：每股力写成谁对谁。摩擦的反作用是受力物体给另一接触物的摩擦；重力在忽略自转的近地面引力模型中，其反作用是物体对地球的引力，而非桌面支持力。苹果平衡时，与重力相抵的是盘对苹果的总接触作用；倾盘时支持和摩擦共同完成这个效果，不能只留支持一股。

3. 分量不另加，角度不凭口诀，慢变也要查前提

常见错法：同时列 $F$ 、 $F_x$ 、 $F_y$ ，或一律“水平cos、竖直sin”，或见“慢”便删去所有加速度。

错在何处：分量替代原力而非新力；正弦余弦由所给角相对哪条轴决定；准静态是明确近似，不是运动中的普遍平衡。

自查：原受力图先数真实力，方程再投影；逐个角标出邻边；检查若加速度存在，哪个零右端需要改成 $ma$ 。