LC 振荡与调谐频率

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先守住“哪块板带什么电荷、哪种能量正在增加”，再用周期式和四分之一周期定位。振幅变化不等于频率变化。

一、知识点概念与依据

电场能与磁场能往复交换

理想 LC 回路由固定线性电容 $C$ （F）与电感 $L$ （H）组成，忽略电阻和辐射损耗。电容器先充满，再接上线圈：电场驱动电流，线圈自感使电流从零逐渐增大；电容器放电完毕时电流最大，电感继续维持原方向电流，使电容器反向充电。反向充满、电流降为零后才开始反向流动。

W_E=\frac{q^2}{2C}=\frac12Cu^2,\qquad W_B=\frac12Li^2,\qquad W_E+W_B=\text{常量}.

式中 $q$ 是所选极板的带符号电荷（C）， $u$ 是电容器两端电压（V）， $i$ 是回路电流（A），两种能量单位均为 J。自感阻碍的是电流变化，不是阻止电流流动。

充电看 $|q|$ 增大，放电看 $|q|$ 减小，不看负电荷的代数值是否“变大”。 $|i|$ 增大时磁场能增大，电容器放电； $|i|$ 减小时磁场能减小，电容器充电。仅给电流方向还不够，须知它流向哪种电荷的极板。

从上板正电荷最大、零电流出发，每 $T/4$ 依次为：正向放电到 $q=0$ → 反向充满 → 反向放电到 $q=0$ → 恢复原极性充满。电流在放电完毕处不立刻反向。实际回路有衰减，维持等幅需外界补能；电阻过大可不再振荡，有二极管或外电源持续作用时也不能硬套这四阶段。

固有频率由 L、C 决定，不由振幅决定

取某极板带符号电荷为 $q$ ，流入该板的电流为正，则 $i=dq/dt$ 。理想回路满足 $L\,di/dt+q/C=0$ ，因此

\frac{d^2q}{dt^2}=-\frac{q}{LC}.

这是与简谐振动同型的关系。代 $q=Q_m\cos\omega t$ ，得 $\omega^2=1/(LC)$ ，从而

T=2\pi\sqrt{LC},\qquad f=\frac1{2\pi\sqrt{LC}}.

周期 $T$ 单位 s，频率 $f=1/T$ 单位 Hz，角频率 $\omega$ 单位 rad/s。微分推导为理解公式的拓展，高中计算可直接用周期式。增大初始电压使 $Q_m=CU_m$ 、 $I_m=U_m\sqrt{C/L}$ 和总能量增大，不改变固有频率。 $q,i$ 的周期为 $T$ ，平方后的电场能、磁场能却每 $T/2$ 重复一次。电感饱和、电容随电压变、强阻尼或外部驱动时需重看模型条件。概念核对：OpenStax

调谐频率：先看装置怎样改变 LC

接收回路固有频率接近目标载波时响应较强。固定 $L$ ， $T\propto\sqrt C$ 、 $f\propto1/\sqrt C$ ；最高频率对应最小电容，最低频率对应最大电容。

可变电容动片旋出使正对面积减小、 $C$ 减小、频率升高；通常插入铁芯使 $L$ 增大、频率降低。同类结构条件下减少线圈匝数可减小电感、提高频率。增加充电电压不等于换频道；发送端调频与接收端调谐也不是同一操作，通信流程见无线电调制与接收。

二、考点方法与例题

方法一：电场定极性，磁场定电流，再判充放电

电场从正板指负板；沿实际线圈绕向用右手螺旋定则定电流。正电荷流入正板使 $|q|$ 增大，流入负板则使其负电荷绝对值减小。若给图像， $|q|$ 看充放电， $q$ 斜率看电流， $|i|$ 看磁场能。

例题 01 同一电流方向也要结合极板正负

题目

在理想 $LC$ 振荡电路中的某时刻，电容器极板间的电场强度 $E$ 的方向、线圈电流产生的磁场方向如图所示，灵敏电流计电阻不计．下列说法正确的是（）

A．流过电流计的电流方向向右

B．电容器的电荷量正在减小

C．线圈中的磁感应强度正在减小

D．电容器两板间的电场强度正在减小

答案与解析

场强向下，上板正、下板负。由图中线圈向上磁场及绕向，电流计中电流向左，A 错。正电荷流向已带正电的上板，正在充电： $|q|$ 、电场强度和电场能增大，电流大小与磁场强度减小，所以 B、D 错、C 对。

本题结论

C。

例题 02 先确定初态，再分四个区间

题目

LC振荡电路通过调整电感和电容的值，可以控制振荡频率。这种电路常被用在调频收音机、无线通信设备中，用于产生本机振荡信号。一LC振荡电路如图所示，单刀双掷开关S先拨至触点1，使电容器与电源 $E$ 接通。再将 $S$ 拨至触点2并开始计时，若振荡周期为 $T$ ，不计能量损失，下列说法正确的是（　　）

A． $t=\frac{T}{2}$ 时刻，两极板所带电荷量为零

B． $\frac{T}{4}∼\frac{T}{2}$ 时间内，线圈 $L$ 中电流逐渐增大

C． $\frac{3T}{4}∼T$ 时间内，线圈 $L$ 中磁场能逐渐减小

D． $t=\frac{6T}{7}$ 时刻，电容器上极板带负电

答案与解析

初始上板接电源正极，带最大正电。 $T/2$ 时上板反向充满，电荷绝对值最大，A 错。 $T/4\sim T/2$ 正在反向充电，电流大小减小，B 错。 $3T/4\sim T$ 磁场能转为电场能，磁场能减小，C 对。 $6T/7$ 在第四区间，上板已带正电，D 错。

本题结论

C。

方法二：周期求元件，电荷变化求平均电流

先由周期式反求元件；平均电流用所研究极板电荷变化，不用峰值或有效值。前半周期由 $+Q_m$ 到 $-Q_m$ ，外电路通过电荷大小为 $2Q_m$ 。某时刻极性先定位在第几个四分之一周期，再按初态追踪。

例题 03 三问分别使用周期、净电荷和相位

题目

如图所示，一LC振荡电路，线圈的电感L=0.25H，周期T=9.42× $10^{-3}$ s，电容器两极板间电压最大为10V，以电容器开始放电的时刻为零时刻，上极板带正电，下极板带负电。

(1)求电容器的电容；

(2)在前 $\frac{T}{2}$ 内的平均电流为多大？

(3)当t=4.0× $10^{-3}$ s时，电容器上极板带何种电荷？电流方向如何？

答案与解析

(1) $C=T^2/(4\pi^2L)\approx9.0\times10^{-6}\,\mathrm F=9.0\,\mathrm{\mu F}$ 。

(2) $Q_m=CU_m=90\,\mathrm{\mu C}$ 。前半周期上板从正满电变为负满电，电流方向不变，通过电荷大小 $180\,\mathrm{\mu C}$ ，故

|\bar i|=\frac{2Q_m}{T/2}\approx3.8\times10^{-2}\,\mathrm A.

(3) $T/4=2.355\,\mathrm{ms}$ ， $T/2=4.71\,\mathrm{ms}$ ，4.0 ms 位于第二阶段，正在反向充电，上板负，图中电流仍沿逆时针。

本题结论

(1) 约 $9\,\mathrm{\mu F}$ ；(2) 约 $3.8\times10^{-2}\,\mathrm A$ ；(3) 上板负，逆时针。

方法三：最高频率配最小电容

固定 $L$ ， $C=1/(4\pi^2f^2L)$ ，所以 $C_{\max}/C_{\min}=(f_{\max}/f_{\min})^2$ 。波长另用真空 $\lambda=c/f$ ，kHz 先换为 Hz；传播波长不是回路线长。

例题 04 广播频率范围与线圈调整

题目

某收音机中的 $LC$ 电路，由固定线圈和可调电容器组成，能够产生535kHz到1605kHz的电磁振荡。已知 $LC$ 电路的周期 $T$ 与电容 $C$ 、电感 $L$ 的关系为 $T=2\pi \sqrt{LC}$ ，光速 $c=3\times {10}^{8}m/s$ 。

(1)求频率为535kHz的电磁波的波长 $λ$ 。

(2)求可调电容器的最大电容和最小电容之比 $k$ 。

(3)某学校无线电小组的同学绕制天线线圈制作了一个简易收音机，用来收听无线电广播。他们发现某一高频率的电台接收不到，但可以接收到其他低频率的电台。为了接收到这一高频率的电台，请分析说明应如何调整绕制的天线线圈。

答案与解析

(1) $\lambda=3\times10^8/(535\times10^3)\approx561\,\mathrm m$ 。

(2) $L$ 固定， $C\propto1/f^2$ ，故 $k=(1605/535)^2=9$ 。

(3) 按原解析采用的“高频台超出当前调谐范围”模型，需要降低 $L$ 提高固有频率，在同类线圈其他结构条件相同下减少匝数。这是原解析选取的接收受限原因，题干没有逐一排除信号强弱等其他原因，不应把该模型说成已明确给出的题设。原详解将535 kHz、1605 kHz 写成 Hz 是单位笔误；比值不受影响，波长计算不能漏 $10^3$ 。

本题结论

(1) 约561 m；(2) 9；(3) 在上述调谐范围模型下，减少线圈匝数以减小电感。

三、坑点辨析与纠错

坑点一：电荷最大处，电流恰为零

辨析 01 电荷图像与能量变化

题目

（多选题）如图所示为LC振荡电路中电容器两极板上的电荷量q随时间t变化的图线，由图可知（　　）

A．在 $t_{1}$ 时刻，电路中的磁场能最小

B． $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 电路中的电流值不断变小

C．从 $t_{2}$ 到 $t_{3}$ 电容器不断充电

D．在 $t_{4}$ 时刻，电容器的电场能最小

答案与解析

$t_1$ 为正电荷峰值，斜率零、电流零、磁场能最小，A 对。 $t_1\to t_2$ 放电，斜率绝对值增大，电流大小增大；原解析据此把 B 按“电流大小”理解而判错。 $t_2\to t_3$ 为负电荷绝对值增大，即反向充电，C 对。 $t_4$ 电荷零，电场能最小，D 对。

原解析图的虚线对应 $i=dq/dt$ ，即流入被选极板为正。按这个符号约定， $t_1\to t_2$ 的代数电流从零减至负峰，确实“不断变小”，而电流大小不断增大。因此原答案 ACD 只适用于把 B 的“电流值”理解为大小的口径；若把它理解为图中带符号电流，B 也成立。题面未指定电流正方向，这里保留原文并揭示歧义，不暗改 B。负区间原解析“q增加”也应指电荷绝对值，不能读成代数值增加。

本题结论

按原解析的电流大小口径选 A、C、D；若按所附虚线的带符号电流理解，B 也成立，不将两种口径混作唯一判分。

坑点二：提高初始电压只改变振幅

辨析 02 接收更高频率该调什么

题目

有一个 $LC$ 接收电路，原来接收较低频率的电磁波，现在要想接收较高频率的电磁波，下列调节正确的是（　　）

A．增加电源电压

B．使用调频的调制方式

C．把可动电容器的动片适当旋出一些

D．在线圈中插入铁芯

答案与解析

A 增电压不改变线性理想 LC 的频率。B 调频是信号调制方式，未改变接收电路 LC。C 旋出动片减小正对面积和电容，频率升高，正确。D 插铁芯通常增大电感，频率反而降低。真实元件若非线性则需另析，不用于推翻本题理想模型。

本题结论

C。