康普顿散射：光子的能量与动量

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光子没有静止质量，却有能量和动量。散射变向必须同时记能量账与矢量动量账。

一、知识点概念与依据

1. 观察到什么

X 射线经物质散射，除了原波长成分，还会出现波长更长的成分，这种现象称康普顿效应。光子与近似自由电子相互作用，转移能量与动量；对初始静止自由电子的非零角散射，散射光子能量减小、频率降低、波长增大。

原波长成分涉及束缚电子等情形，不能说每个光子都同样损失能量，也不能将“散射后仍有光子”解释成完全吸收后同一个光子继续存在。该现象支持光的粒子性，单纯经典波描述不足以解释波长的这种变化。

2. 光子关系与实物粒子关系

真空中光子的动量大小及能量为

p_\gamma=\frac h\lambda=\frac{E_\gamma}{c},\qquad E_\gamma=h\nu=\frac{hc}{\lambda}.

$p$ 用 $\mathrm{kg\cdot m/s}$ ， $E$ 用 J， $\lambda$ 用 m；动量方向沿光子的传播方向。光子静止质量为零，真空速度为 $c$ ；不能用非相对论实物粒子的 $p=mv$ 或 $E_k=p^2/(2m)$ 去计算光子。

电子有非零静止质量，高能反冲时也不能擅自用 $p^2/(2m_e)$ 。这里使用光子失去的能量直接求初始静止电子获得的动能，不需要作低速近似。

3. 散射角与波长位移

拓展：初始静止、无约束自由电子模型，由总能量和矢量动量守恒得到

\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta).

$\theta$ 是入射与散射光子方向的夹角， $m_e$ 是电子静止质量。零转角时波长位移可为零；给定初始能量后，角度和末态不是任意独立量。这一式不能不辨初态直接套移动电子或任意束缚体系。模型核对：OpenStax 康普顿效应。

二、考点方法与例题

方法：先画矢量关系，再用能量差

明确电子是否初始静止，忽略外界冲量时写 $\boldsymbol p_0=\boldsymbol p'_\gamma+\boldsymbol p_e$ 。
对变向散射按两个方向分解，不把动量大小直接相加。题给末动量互相垂直时，可用直角三角形投影。
初始静止电子获得动能 $E_{ke}=E_{\gamma0}-E'_\gamma=c(p_0-p'_\gamma)$ ；不要把能量守恒误写成两种动量大小相等。
检查量纲： $h/\lambda$ 是动量， $hc/\lambda$ 是能量。两者混写往往能在代数前发现错误。

例题 01 光子与自由电子的垂直末态（原题，多选）

题目

（多选）康普顿在研究石墨对射线的散射时，发现在散射的射线中，除了与入射波长 $\lambda_0$ 相同的成分外，还有波长大于 $\lambda_0$ 的成分。如图所示，在某次碰撞中，入射光子与静止的无约束自由电子发生弹性碰撞，碰撞后光子的方向与原入射方向成 $\alpha$ 角，与电子碰后的速度方向恰好垂直，已知普朗克常量为h，光速为c。下列说法正确的是（　　）

A．入射光的光子动量大小为 $\frac{\lambda_0}{h}$

B．入射光的光子能量为 $\frac{hc}{\lambda_0}$

C．碰撞后电子的动能为 $\frac{hc}{\lambda_0}-\frac{hc\cos\alpha}{\lambda_0}$

D．碰撞后光子的动量大小为 $\frac{h\sin\alpha}{\lambda_0}$

答案与解析

按题设末态选 BC。初始动量 $p_0=h/\lambda_0$ ，初始能量 $E_0=hc/\lambda_0$ ，所以 A 错、B 对。

末动量互相垂直，而入射动量为其矢量和，故

p'_\gamma=p_0\cos\alpha=\frac{h\cos\alpha}{\lambda_0},\qquad p_e=p_0\sin\alpha=\frac{h\sin\alpha}{\lambda_0}.

也可按原图坐标列 $p_0=p'_\gamma\cos\alpha+p_e\sin\alpha$ 、 $0=-p'_\gamma\sin\alpha+p_e\cos\alpha$ 再联立。由能量守恒，

E_{ke}=cp_0-cp'_\gamma=\frac{hc}{\lambda_0}-\frac{hc\cos\alpha}{\lambda_0}.

C 对。D 的正弦项是电子动量，不是光子动量。

来源勘误： KB 所保留的原解析一处把 $h/\lambda=h\cos\alpha/\lambda_0$ 的右边多写了 $c$ ，量纲不符；这里独立用矢量投影复算并纠正，保留原选项不变。题设“弹性碰撞”按光子—电子总能量守恒理解，不套两小球牛顿碰撞公式；其指定垂直末态还需满足相对论能量—动量约束，不是任取初始频率和任取 $\alpha$ 都能实现。

本题结论

光子末动量取余弦项，电子末动量取正弦项；能量损失不意味着真空光速降低。