自由落体与竖直上抛

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自由落体和竖直上抛共用近地面的重力加速度，区别在初始速度和所选运动阶段。先画清抛出点、最高点与地面的高度关系，再决定统一计算还是分段。

一、知识点概念与依据

1. 重力加速度不等于当前速度

在选定地点，物体只受重力时的加速度称为重力加速度，方向竖直向下，大小记为 $g$ ，单位m/s²。地面附近常用 $g\approx9.8\,\mathrm{m/s^2}$ ，计算题若给10 m/s²就按题给值。 $g$ 说的是每单位时间速度如何改变，不是物体已经具有多少速度。

地球附近的 $g$ 随地点而变化，通常纬度较高处较大、离地面更高时较小；短距离运动可近似视为常量，但不能把地面常用值用于所有星球或极大高度。月面题应使用题给月面 $g$ 。

忽略空气阻力时，同地点不同质量的物体具有相同重力加速度。上抛最高点虽然瞬时速度为零，重力并未消失，加速度仍向下。运动中测得 $v=gt$ 或 $h=gt^2/2$ ，可以反求当地 $g$ ；这并不表示人为改变计时或高度就能随意改变当地重力。

怎样从测量支持常量模型

在忽略阻力的自由下落实验中，向下为正，测相等时间间隔 $T>0$ 内的速度增量，可由 $g=\Delta v/T$ 估计重力加速度。若用纸带记录连续相等时间间隔的位移 $x_n$ 、 $x_{n+1}$ ，匀加速关系 $x_{n+1}-x_n=gT^2$ 给出

g=\frac{x_{n+1}-x_n}{T^2}.

位移用m、时间用s，所得单位为m/s²；这里必须是相邻、等时长的位移差，不能用任意两点位置差除 $T^2$ 。对多个时段测量得到近似相同的 $g$ ，是在实验误差内支持近地面常加速度模型的证据，不是单凭写下公式就证明 $g$ 恒定。测量装置的摩擦、阻力与读数误差仍须考虑。

2. 自由落体必须同时满足初始与受力条件

自由落体指物体从静止开始，仅在重力作用下下落。既要 $v_0=0$ ，也要仅受重力；“正在下降”“没有风”都不足以保证这两点。轻薄树叶、开伞后的跳伞员常有不可忽略的空气阻力；向下抛出则有初速度，不是本章定义的自由落体。真空排除了空气阻力；在同地点、同高度同时由静止释放时，不同质量的物体按该模型同时到达。实际重物短距离下落，只有阻力相对重力足够小时才能近似采用。

近地面 $g$ 近似恒定，向下为正，从自由释放时起算，代 $v_0=0,a=g$ 进入匀变速公式：

v=gt,\qquad h=\frac12gt^2,\qquad v^2=2gh.

其中 $h\ge0$ 是向下位移的大小，单位m， $t\ge0$ 为经历时间，单位s。给定高度求时间，应取非负根 $t=\sqrt{2h/g}$ ；不能用 $h/g$ 当时间，它的单位是s²。

例如，从静止自由下落45 m，取 $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ ，则 $t=3\,\mathrm s$ 、末速30 m/s。这只描述自由下落阶段；随后若制动、受绳牵拉或开伞，必须另用该阶段的规律。

3. 竖直上抛可以全过程使用同一个加速度

物体以竖直向上的初速度抛出，离手后只受重力，称为竖直上抛。选抛出点为位移零点、向上为正， $v_0>0$ 、 $a=-g$ ，有

v=v_0-gt,\qquad y=v_0t-\frac12gt^2,\qquad v^2=v_0^2-2gy.

$y$ 是相对抛出点的有向位移，上方为正、下方为负。上升时 $v>0$ ，最高点 $v=0$ ，下降时 $v<0$ ，但 $a$ 始终向下，不在最高点改变。

令最高点速度为零，得到上升时间和最大升高：

t_\text{上}=\frac{v_0}{g},\qquad H_\text{升}=\frac{v_0^2}{2g}.

回到抛出点时 $y=0$ ，解 $t(v_0-gt/2)=0$ ，除起始 $t=0$ 外，得到 $t_\text{回}=2v_0/g$ ，此时 $v=-v_0$ 。

同一高度的两次经过满足同一个 $v^2=v_0^2-2gy$ ，所以速度大小相同、方向相反；关于最高点前后的时间也对称。这要求忽略空气阻力、 $g$ 恒定，并比较同一高度。落地点低于抛出点时，不能把落地总时间写成 $2v_0/g$ 。

4. 分段不改变重力，只改变起算点

全过程取向上为正，直接令落地位移为负，可以一次求总时间；也可在最高点分段，上升用末速度零，下降从静止开始用自由落体。分段是为了简化已知条件，不表示重力或加速度在顶点突变。

从哪里开始算下降	初速度	下降高度怎么量
从最高点	零	最高点到终点
从再次经过抛出点	向下 $v_0$	抛出点到终点

两段时间取正相加；全过程有向位移按统一方向代数合成，路程则把上升、下降长度相加。平台高度、抛出点相对平台高度、抛后升高，应先统一相对地面的基准，不能混用。

二、考点方法与例题

1. 已知升高，先锁定初速度再分段求时间

用最高点 $v=0$ 与相对抛出点的升高求初速度；算上升时间；再把最高点到地面的高度列清，从顶点按自由落体求下降时间。最后可用全过程位移方程独立复核正时间根。

例题 01 平台上方抛出，不是在地面起跳

题目

如图所示，一同学从一高为H＝10 m的平台上竖直向上抛出一个可以看成质点的小球，小球的抛出点距离平台的高度为 $h_{0}$ ＝0.8 m，小球抛出后升高了h＝0.45 m到达最高点，最终小球落在地面上。g＝10 m/ $\mathrm{s}^{2}$ ，不计空气阻力，求：

(1)小球抛出时的初速度大小 $v_{0}$ ；

(2)小球从抛出到落到地面的过程中经历的时间t。

答案与解析

升高 $h=0.45\,\mathrm m$ 后速度为零，所以 $v_0=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times0.45}=3\,\mathrm{m/s}$ 。上升时间 $t_1=v_0/g=0.3\,\mathrm s$ 。

最高点距地面为 $H+h_0+h=10+0.8+0.45=11.25\,\mathrm m$ ，从顶点静止下落到地面的时间 $t_2=\sqrt{2\times11.25/10}=1.5\,\mathrm s$ 。总时间 $t=0.3+1.5=1.8\,\mathrm s$ 。

全过程复核：抛出点高于地面10.8 m，向上为正，落地时 $y=-10.8\,\mathrm m$ ，故 $-10.8=3t-5t^2$ ，两根为1.8 s、−1.2 s，物理时间取1.8 s。图只概括平台高度H，文字另外给出的 $h_0$ 和 $h$ 同样是必要条件，不能因图上未标便漏算。

本题结论

初速度3 m/s，总时间1.8 s。

2. 相同初速度，不同重力加速度

先写最高点条件，再比较 $H=v_0^2/(2g)$ 中的不变量。初速度相同才能由高度与 $g$ 成反比得出倍率；题目改变初速度时须同时考虑分子，不能把星球名称直接换成固定高度倍数。

例题 02 月面起跳的理想高度比较

题目

月球表面的重力加速度约为地球表面的六分之一，某同学在地球上起跳，上升的最大高度为H，若该同学以相同的初速度在月球上起跳，则上升的最大高度约为(　　)

A. $\frac{H}{6}$

B. $\sqrt{6}H$

C. $6H$

D. $36H$

答案与解析

忽略阻力并采用题设相同起跳初速度 $v_0$ ，地面和月面最大升高分别为

H=\frac{v_0^2}{2g_{\text{地}}},\qquad H'=\frac{v_0^2}{2g_{\text{月}}}.

题给 $g_{\text{月}}=g_{\text{地}}/6$ ，故 $H'=6H$ 。A错把反比例当正比例；B引入了不属于该高度关系的平方根；D又把倍率平方，均不符合公式。原解析部分把初速度简写为 $v$ ，此处统一 $v_0$ ，避免与最高点零末速度混淆。

本题结论

选C，理想模型下最大升高约6H。

3. 同地点向上、向下发射：相同下降段相消

同一高度以相同速率分别向上、向下抛出，忽略阻力时，向上抛的物体回到发射高度后，向下速度恰与直接向下抛的初速度相同。此后的运动相同，时间差就是“上去再回原高度”的时间 $2v_0/g$ 。还要检查是否忽略声音传播、发射高度是否相同。

例题 03 向上打出多花的一秒在哪里

题目

为了测一口枯井的深度，用一把玩具小手枪从井口竖直向下打出一颗弹珠，1.5s后听到弹珠撞击井底的声音，然后再用玩具小手枪从井口竖直向上打出另一颗弹珠，2.5s后听到弹珠从井口落回井底撞击的声音，假设弹珠从枪口射出速度大小不变，忽略声音传播时间，g取10 m/ $\mathrm{s}^{2}$ ，则（）

A．枯井的深度为18.25m

B．向下打出一颗弹珠，运动过程平均速度为12.5 m/s

C．弹珠从枪口射出速度大小为10 m/s

D．两种打出弹珠方式，弹珠到达井底的速度都为25 m/s

答案与解析

题目允许忽略声音传播时间，两次飞行时间相差 $2.5-1.5=1.0\,\mathrm s$ 。这1秒包括上升和回到井口两段，各0.5 s，故 $v_0=g\times0.5=5\,\mathrm{m/s}$ ，C错误。

直接向下发射并非自由落体，有向下初速度5 m/s。井深

h=5\times1.5+\frac12\times10\times1.5^2=18.75\,\mathrm m,

A的18.25 m错误。该段平均速度大小 $18.75/1.5=12.5\,\mathrm{m/s}$ ，方向向下，B正确。

井底速度大小 $5+10\times1.5=20\,\mathrm{m/s}$ 。向上发射回井口后有相同向下初速度，因此到井底也是20 m/s，不是D的25 m/s。

本题结论

选B。初速度5 m/s，井深18.75 m，井底速率20 m/s。

三、坑点辨析与纠错

1. 向下运动不等于自由落体

常见错法：只见下降就令 $a=g$ ，把受阻力或制动的下降也算作自由落体。

错在何处：向下只是速度方向，受力决定加速度；自由落体还要求从静止开始。速度向下，加速度完全可以向上。

自查：先检查初速度和受力，再读 $v-t$ 斜率。在向下为正、从静止释放时起算的约定下，通过原点且斜率恒为 $g$ 的直线才符合所选近地面自由落体模型，曲线不会自动变成恒加速度。

辨析 01 跳伞的速度为正，加速度却可以为负

题目

“钓鱼岛事件”牵动着军民爱国之心，我国空军某部为捍卫领土完整，举行了大规模的跳伞保岛演练，图甲是战士从悬停在高空的直升机中无初速度跳下后运动过程中的画面，图乙是战士从跳离飞机到落地过程中的 $v-t$ 图像，若规定竖直向下为正方向，忽略水平方向的风力作用，关于战士的运动过程，下列说法正确的是(　　)

A. $0∼10\,\mathrm{s}$ 内做加速度逐渐增大的加速运动

B. $0∼15\,\mathrm{s}$ 内做自由落体运动， $15\,\mathrm{s}$ 末开始做匀速直线运动

C. 在 $10\,\mathrm{s}$ 末打开降落伞，随后做匀减速运动至 $15\,\mathrm{s}$ 末

D. $10∼15\,\mathrm{s}$ 内加速度方向竖直向上，加速度的大小逐渐减小

答案与解析

0—10 s速度图在轴上方且逐渐升高，但切线斜率越来越小，所以速率增大、加速度大小减小，A错误。0—15 s曲线斜率不断变化，不是加速度恒为 $g$ 的自由落体，B错误。

10—15 s速度仍正，物体继续下降；图线斜率为负，说明加速度向上。负斜率逐渐接近零，带符号的 $a$ 在增大，但其大小 $|a|$ 在减小，D正确。该段是曲线而非直线，不能称匀减速，C错误。15 s后图线水平且速度非零，表示向下匀速，不是静止。

原资料把10—15 s“斜率减小”混用了大小与代数值，本解按图澄清为负斜率绝对值减小；题干背景不参与运动学判断。

本题结论

选D。向下减速时加速度向上；负加速度的代数值和大小要分开。

2. 原题漏写恒加速度，不能替它默默补条件

常见错法：已知制动初末速度与用时，就把制动距离写成端点平均速度乘时间，甚至断言每一时刻加速度相同。

错在何处：初末速度与时间只能直接给平均加速度。若制动过程的加速度如何变化未定，速度图下面积一般也未定。以下保留原题，并将原答案所需的附加模型公开说明。

辨析 02 原题条件辨析：自由下降之后怎样制动

题目

有一种巨型娱乐器械，可乘坐二十多个人的环形座舱套装在竖直柱子上，由升降机送上高处，然后让座舱自由落下。落到一定位置时，制动系统启动，到地面时刚好停下，整个下降过程用时9s。已知座舱自由下落的高度为45m，g取10m/ $\mathrm{s}^{2}$ ，下列说法正确的是（　　）

A．座舱自由下落的时间为4.5s

B．制动后每个人的加速度大小都是5m/ $\mathrm{s}^{2}$

C．制动系统启动时座舱的速度为45m/s

D．下降的总高度为90m

答案与解析

第一段自由下落45 m，确定有 $t_1=\sqrt{2\times45/10}=3\,\mathrm s$ 、末速度 $v_1=30\,\mathrm{m/s}$ ，所以A、C错误。第二段从30 m/s向下运动到停止，用时 $9-3=6\,\mathrm s$ ，向下为正可确定平均加速度

\bar a=\frac{0-30}{6}=-5\,\mathrm{m/s^2}.

但题干未说明制动匀减速。因此不能仅据这些条件保证B所说的制动后加速度大小始终为5 m/s²，也不能唯一确定制动段位移。原资料选择B，并进一步给出总高度135 m，实际沿用了未在题干明写的匀减速模型。

若明确增补“制动阶段做匀减速直线运动”，才有 $v_{\text{平均}}=(30+0)/2=15\,\mathrm{m/s}$ 、制动距离 $15\times6=90\,\mathrm m$ 、总高度 $45+90=135\,\mathrm m$ ，此时选B且D错误。若B本意仅指平均加速度，应在题面改写为“平均加速度大小”，而不能把这层含义静默塞回原题。

本题结论

原题条件不足以支持无条件的标准答案；附加匀减速制动模型下才按原解选B，总高度135 m。

3. 最高点速度零，不能删掉重力或剩余下降

常见错法：到最高点就令 $a=0$ ；平台题直接用 $2v_0/g$ 当落地时间；井口时间差只算一次上升。

错在何处：顶点重力一直存在。对称比较只适用于相同高度，地面低于抛出点还会多一段下降；向上抛回发射高度则包含上升和下降两个对称部分。

自查：图上标出抛出点、最高点、终点三个高度。平台例题下降从11.25 m高处开始，井口例题的1秒要平分为上下各0.5秒。每换起算点，都重新写该点初速度。