分子运动统计与气体压强

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温度、压强连接的是大量粒子的统计规律。先区分平均量与单次随机碰撞，再分清总粒子数、数密度和分布比例。

一、知识点概念与依据

1. 平均动能不是每个分子的动能

分子平均热运动动能是大量分子的统计平均，单位J，不是某一分子的瞬时动能，也不包括物体整体平动的动能。在经典理想气体中，平均平动动能满足

\overline{E_k}=\frac32k_BT.

$T$ 用K， $k_B$ 用J/K。比例不能直接代摄氏温度，0℃不等于 $T=0$ 。该式不是所有物态每分子全部内部能量的通用式；多原子分子的转动、振动等自由度还可贡献能量。

同温下理想气体平均平动动能相同，但

\overline{v^2}=\frac{3k_BT}{m_0},\qquad v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}}.

$m_0$ 为单分子质量kg，均方根速率用m/s。质量越大，同温典型速率越小，平均动能相同不等于平均速率相同。对应总平动动能需再乘粒子数 $N$ ，温度较高不自动意味着整个物体内能较多。

温升使统计平均动能增加，不保证每个分子都加速；碰撞可使某个分子瞬时减速。同温相变中，教材平均热运动动能不变，但内能还可因相互作用与排列改变。

2. 分布图的峰高、峰位和总比例

同温下不同分子速率不同，单分子速率也不断因碰撞改变；大量分子在各速率区间的比例却具有稳定统计规律。经典平衡气体通常中间速率区间多、两端少。

若纵轴是等宽速率区间所占百分比，各区间比例和为100%；若纵轴是连续概率密度 $f(v)$ ，则小区间比例约为 $f(v)\Delta v$ ，整条曲线面积为1， $f(v)$ 单位为s/m。两种纵轴不能混用。精确单个速率点与一个有限速率区间的概率也不是同一概念。

同种气体升温，分布峰向较高速率移动，变宽变矮，总比例保持；峰降低不表示总分子数减少。峰对应最概然速率，不等于平均速率或均方根速率，更不是所有分子都具有的速率。平衡气体方向统计均匀时，平均速度矢量可为零，而平均速率和动能仍非零。

不同气体同温时因分子质量不同，峰位也可不同，不能跨物质只看峰位排序温度。归一化及最概然速率区别已核OpenStax 速率分布。

3. 压强来自分子对器壁的平均冲量

气体压强 $p=F/S$ 是单位面积所受平均力，单位Pa。单次碰撞间断，大量碰撞统计平均使宏观压强稳定。为避免与物质的量 $n$ 混淆，以下数密度记作 $n_N=N/V$ ，单位m⁻³。

取边长 $l$ 立方容器，单分子质量 $m_0$ ，垂直某面的速度分量为 $v_x$ 。理想弹性碰撞给该壁冲量大小 $2m_0|v_x|$ ，再次碰同一面的间隔 $2l/|v_x|$ ，平均力为 $m_0v_x^2/l$ 。对全部分子求和、除面积 $l^2$ ，再用各方向统计对称

\overline{v_x^2}=\frac13\overline{v^2},

得到

p=\frac13n_Nm_0\overline{v^2}=\frac23n_N\overline{E_k}.

与经典理想气体 $p=n_Nk_BT$ 对照，可得到前述 $\overline{E_k}=3k_BT/2$ 。该推导的平衡、近似理想、弹性碰撞和各向同性条件，与OpenStax 压强微观模型一致。高密度相互作用明显或非平衡时须另核模型。

4. 比压强须同时看数密度和温度

固定粒子数、体积升温： $n_N$ 不变，平均动能增大，单位面积单位时间总碰撞冲量增大，压强增大。
定温、固定粒子数压缩：平均动能不变，数密度增大，碰撞频度增加，压强增大。
不同理想气体同温同数密度：压强相同。轻分子速率大，但单次动量还取决于质量，不能只比较速率。
完全失重：仍有热运动碰撞，密闭气体压强不会因此归零。大气可由气柱重力作宏观平衡解释，器壁受压的微观机制仍是分子碰撞。

若 $n_N,T$ 同时变化，缺少它们的乘积信息不能只凭一项判断 $p$ 。体积不同可以总分子数不同而数密度相同。

二、考点方法与例题

1. 速率图先核物质与统计口径

先确认同种气体、区间宽度和纵轴是比例还是总数。由峰位和典型速率比较温度，不用峰高直接当平均动能；检查总比例是否归一。“每个”“所有”往往超出平均温度所能保证的结论。中间温度的最概然速率应在两端之间，但不能泛称整条分布曲线每一点都夹在两曲线之间。

2. 互通后重新列平衡条件

打开通道足够久，先看最终是否达热平衡、力学平衡，再比较最终 $T,p$ ，不能保留初始大小关系。同种理想气体由 $n_N=p/(k_BT)$ 得数密度。单位面积平均力、单位面积单位时间收到的总冲量都等于压强，不要把平均量误作单次碰撞脉冲。

例题 01 不同温度下的氧气速率分布

题目

题干科学史背景为原材料转述，本页未独立核验人物与年份；判断仅依据给定分布图。

1934年我国物理学家葛正权定量验证了麦克斯韦的气体分子速率分布规律。氧气在不同温度下的分子速率分布规律如图所示，图中实线1、2对应氧气的温度分别为 $T_1$ ， $T_2$ ，下列说法正确的是（）

A． $T_1$ 小于 $T_2$

B．同一温度下，氧气分子的速率分布呈现出“中间少，两头多”的分布规律

C．实线1与横轴围成的面积大于实线2与横轴围成的面积

D．温度为 $\frac{T_1+T_2}{2}$ 的氧气的分子速率分布规律曲线可能是图中的虚线

答案与解析

答案：A。

同种氧气中，曲线1峰位较靠左，曲线2峰位右移且分布更宽，故 $T_1<T_2$ ，A对。B将“中间多、两头少”说反。

C错：图纵轴是各速率区间分子数所占百分比，按原题统一分组口径，完整各组百分比和相同；原解析称“面积相等”，应理解为同一分组统计的归一性，而非把百分比本身当连续概率密度。

D错：图中虚线峰位在曲线1左侧，比低温 $T_1$ 的典型速率还低，不可能对应介于 $T_1,T_2$ 之间的温度。原源“中间温度曲线在两曲线之间”的话应限定为峰位、典型速率等比较，不是逐点夹在两条曲线之间的普遍定理。

峰的位置是最概然速率，不是平均速率，也不表示每个氧分子都具有该速率。

本题结论

A。以同种气体的峰位判断温度，保留统计口径。

例题 02 两部分气体互通后的平衡

题目

如图所示，一个密闭绝热容器用固定挡板隔开分成A、B两部分，容器中的气体为同种气体，它们的压强 $p_A>p_B$ 、温度 $T_A<T_B$ 。打开挡板上的开关K，使两部分互通，经过足够长的时间，再闭合开关。此时关于A、B两部分容器，下列说法正确的是（　　）

A．A、B两部分容器内分子的数密度不相同

B．A、B两部分容器内分子的平均动能不相等

C．A、B两部分容器壁单位面积上受到气体分子平均作用力的大小相等

D．A、B两部分容器壁单位面积上在单位时间内受到气体分子平均冲量的大小不相等

答案与解析

答案：C。

互通足够久后达到热平衡、力学平衡，最终两区温度相同、压强相同，不能继续沿用起初 $p_A>p_B,T_A<T_B$ 。按理想气体模型 $n_N=p/(k_BT)$ ，数密度相同；温度相同，平均平动动能也相同，所以A、B错。

单位面积上的平均作用力是压强，C对。单位面积单位时间受到的总冲量也等于压强，所以D所说“不相等”错误。两区体积若不同，总粒子数仍可不同，不影响数密度相同的结论。