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自感、互感与涡流

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本章沿“电流变化—磁通变化—感应作用—能量去向”解释通断电和电磁应用。基础定律见感应电动势与能量。

一、知识点 概念与依据

自感：阻碍的是电流变化

本电路电流变化，使自身磁通链变化而产生电动势，称自感。增加时反抗增加，减少时维持原电流方向；稳定直流时自感电动势为零，不是永远“阻碍电流”。线性材料、几何固定时，定义 Ψ=NΦ=LI\Psi=N\Phi=LI，LL 单位 H，1 H=1 V⋅s/A1\,\mathrm H=1\,\mathrm{V\cdot s/A}。代入法拉第定律有

E‾L=−LΔIΔt,EL=−LdIdt.\overline{\mathcal E}_L=-L\frac{\Delta I}{\Delta t},\qquad \mathcal E_L=-L\frac{dI}{dt}.

有限电压的理想电感中，线圈电流不能瞬间跳变，否则需无穷大电压；其他无电感支路电流与线圈端电压却可以快速改变。建立电流储存磁场能，线性模型 WB=LI2/2W_B=LI^2/2。断电后若仍有回路，磁场能可转为灯泡与导线内能，不是凭空产生能源。

LL 与直流电阻 RLR_L 不同。长螺线管近似 L=μN2S/ℓL=\mu N^2S/\ell，这里 μ\mu 为磁导率、SS 为截面积、ℓ\ell 为线圈长度。保持磁导率和截面积不变，固定总匝数 NN 时 L∝1/ℓL\propto1/\ell；若改为固定匝密度 n=N/ℓn=N/\ell，则 L=μn2SℓL=\mu n^2S\ell，随长度增大。材料、截面、匝数均影响自感，不能无条件说线圈越长自感越大。关系核对：OpenStax

互感：没有导线相连也能传递能量

电路1电流改变，使另一电路磁通链改变，在电路2产生电动势，称互感。固定几何和线性材料下，可写 Ψ2=MI1\Psi_2=MI_1，从而

E2=−MdI1dt.\mathcal E_2=-M\frac{dI_1}{dt}.

MM 单位 H，符号与绕行约定配套。电流大但恒定，不会持续产生互感电动势；二次闭合才有电流，开路仍可有端电压。耦合还取决于位置、方向和共同链接的磁通，不是线圈靠近就一定显著。有运动或材料非线性时回到磁链变化，不能机械套常量 MM。二次负载电流会反过来影响一次侧，电源仍需供能，变压器正利用这种联系，邻近电路也可能因互感受到干扰。

涡流：块状导体内部也有闭合路径

变化磁通量可在金属内部闭合路径上产生环绕电流，称涡流，无需另接一根外部导线。等效小回路有电阻，P=I2RP=I^2R；若感应电动势给定，则 P=E2/RP=\mathcal E^2/R。但整块板电流分布复杂，不能不加说明当作单一确定电阻。静止金属在不变场中，或整体刚性匀速平移于同一无限匀强静磁场中，不会因此持续产生涡流。

电磁加热把电源能量经变化场传给金属；电磁阻尼把产生感应的相对运动所具有的机械能转为内能；转动磁体还可驱动导体同向跟随。发热并非磁场直接对单个电荷做功。为减小铁芯涡流，可用高电阻率材料、相互绝缘的薄片阻断大回路；薄片仍导电接触不能达到同样效果。“变化快、面积大、电阻率低则涡流较强”只用于其他条件相同的简化比较，高频集肤和反作用不能忽略后仍绝对推广。

二、考点 方法与例题

方法一：先画四阶段连接，再比断电前后电流

  1. 通电前：确认初始电流是否为零。
  2. 刚闭合：零初始线圈电流近似仍为零，其支路暂近似开路；灯是否立即亮看它是否已接到电源。
  3. 稳定后：自感电动势为零，线圈按 RLR_L 处理，仅当 RLR_L 很小才近似短路。求稳态线圈电流 IL0I_{L0}、灯电流 IA0I_{A0}。
  4. 刚断开：重新找剩余闭路，线圈先维持 IL0I_{L0} 及原方向；灯电流可能反向且跳变。

同一灯近似原电阻时，刚断电与原功率比为 (IL0/IA0)2(I_{L0}/I_{A0})^2。只有比值大于1才有闪亮条件；相等不更亮，小于1则更暗。视觉亮度有热惯性，不把教材电功率图像当作亮度数学瞬变。随后储能释放，回路电流衰减。

例题 01 通断电时灯泡的电流图像

题目

在如图所示的电路中，电源的电动势为EE、内阻为rr，线圈的自感系数很大，线圈的直流电阻RL{R}_{L}小于灯泡的电阻RR。在t=0t=0时刻闭合开关S，经过一段时间后，在t=t1t={t}_{1}时刻断开S。下列选项中，通过灯泡的电流随时间变化的图像可能正确的是（　　）

线圈灯泡并联自感电路
线圈灯泡并联自感电路

A．

自感灯泡电流图-选项A
自感灯泡电流图-选项A

B．

自感灯泡电流图-选项B
自感灯泡电流图-选项B

C．

自感灯泡电流图-选项C
自感灯泡电流图-选项C

D．

自感灯泡电流图-选项D
自感灯泡电流图-选项D
答案与解析

原题问图像“可能正确”，以下取闭合时间足够长、断开前已近稳态的情况。刚通电线圈电流近似零，灯先流过 E/(R+r)E/(R+r)。线圈逐渐导通使总电流增加，内阻压降增加、端电压降低，灯电流减小。稳定后两支路电压相同，IL0/IA0=R/RL>1I_{L0}/I_{A0}=R/R_L>1。

断开 S 后电源退出，但线圈与灯组成闭路。线圈保持原方向及原电流，流经灯时与灯原方向相反，且绝对值更大，随后衰减到零。A、C 未画反向，D 将通电阶段灯电流画成增大，均错；B 符合。

本题结论

B。

方法二：运动电源先定一次侧，再定互感极性

先由棒运动确定动生电源极性和一次电流，再判断该电流所建磁通的变化，最后用楞次定律沿实际绕线追到二次端。匀速仅在已进入稳态的电阻性近似下对应恒定一次电流；有显著自感的过渡过程，不能把速度变化直接等同电流同步变化。

例题 02 抽头线圈的两端电势

题目

在一根软铁棒上绕有一组线圈，a、c是线圈的两端，b为中心抽头。把a端和b抽头分别接到两条平行金属导轨上，导轨间有匀强磁场，方向垂直于导轨所在平面并指向纸内，如图所示。金属棒PQ在外力作用下左右运动，运动过程中保持与导轨垂直，且两端与导轨始终接触良好。下面说法正确的是（ ）

抽头线圈与运动导体互感
抽头线圈与运动导体互感

A．PQ向左边减速运动的过程中a、c的电势都比b点的电势高

B．PQ向右边减速运动的过程中a、c的电势都比b点的电势高

C．PQ向左边匀速运动的过程中a、c的电势都比b点的电势低

D．PQ向右边匀速运动的过程中a、c的电势都比b点的电势低

答案与解析

原资料答案为 B。以下沿用原解析的一次侧电阻主导、棒速缓慢改变而电流近似同步变化的模型；匀速选项还按一次电流已稳定处理。原题没有明确给出这些条件，不把它们当成题干事实。PQ 向右时，棒内电流 Q→PQ\to P，一次侧沿 a→ba\to b，a 高于 b。向右减速，一次电流减小，图示线圈向下磁场减弱；bc 段感应作用维持向下场，c 端高于 b，B 对。

向左减速时一次电流沿 b→ab\to a，a 低于 b，A 错。匀速且一次电流已稳定时，bc 段无持续互感电动势，b、c 等电势，C、D 错。若不作上述准静态/稳态近似，单凭棒此刻速度变化不足确定任意电路的全部端电压。

本题结论

原解析的准静态/稳态近似下选 B；一般过渡过程还需电感、电阻及初始状态。

方法三：变化原因 → 内部电流 → 热或力的结果

先找外场变化或相对运动，再查材料是否有闭合导电路径。主要升温用焦耳热；跟随转动分析减小相对运动；运动衰减追踪机械能转内能。驱动中导体一般比磁体慢，才持续有相对变化；理想模型若完全同速，持续感应驱动力消失，不能把“同向”说成“必定同速”。

例题 03 四种电磁应用

题目

关于下列四幅图的说法正确的是（　　）

电磁应用判断-图1
电磁应用判断-图1

     

电磁应用判断-图2
电磁应用判断-图2

    

电磁应用判断-图3
电磁应用判断-图3

    

电磁应用判断-图4
电磁应用判断-图4

A．图甲中小磁针放在超导环形电流中间，静止时小磁针的指向如图甲所示

B．摇动图乙中的手柄使得蹄形磁铁转动，则铝框会以相同的速度同向转动

C．将图丙中金属矩形线框从匀强磁场中的a位置水平移到b位置，框内会产生感应电流

D．图丁是真空冶炼炉，当炉外线圈通入高频交流电时，炉内金属产生涡流发热，从而冶炼金属

答案与解析

A：按图中环形电流用右手螺旋定则，环内场垂直纸面向外，小磁针 N 极不应向纸面右侧，错。B：铝框同向跟随但需相对运动产生持续驱动，不能断言同速，错。C：全框从 a 到 b 始终在同一匀强场中平移，通量不变，错。D：高频交流在线圈中建立变化磁场，金属中涡流发热，能量由电源提供，对。

本题结论

D。

例题 04 电涡流阻尼的能量去向

题目

台风“贝碧嘉”登陆上海，中国自主研发的千吨阻尼器——“上海慧眼”（如图所示）摆动明显，保障了上海中心大厦的安全。“上海慧眼”采用了电涡流阻尼技术，永磁体形成的磁场与质量块一起摆动时，与其下方固定的导体板产生相对运动，从而在导体板中产生电涡流。关于该阻尼器，下列说法正确的是（　　）

大厦电涡流阻尼器
大厦电涡流阻尼器

A．阻尼器的电涡流阻尼技术原理是电流的磁效应

B．振动稳定时，阻尼器的振动频率小于大厦的振动频率

C．阻尼器将机械能最终转化为内能

D．若将阻尼器下方的导体板换成木地板，对使用效果没有影响

答案与解析

变化磁通量产生涡流属于电磁感应，A 把产生原因混成电流磁效应，错。稳定受迫振动的频率与激励频率相同，B 错。感应作用阻碍磁体与导体板相对运动，机械能最终转为内能，C 对。绝缘木板不能提供相应涡流回路，D 错。题干新闻背景仅按原题保留，未据此作现实装置性能验证。

本题结论

C。

三、坑点 辨析与纠错

坑点一：断电不保证灯闪亮

例题01 的闪亮依赖两项：灯留在放电闭路中，且断电前 IL0>IA0I_{L0}>I_{A0}。若灯被开关隔开，不能虚构放电回路；若 RL=RR_L=R，反向后的电流大小不增；若 RL>RR_L>R，反向后的大小更小。“延迟熄灭”不等于“一定更亮”。若切断所有导电通路，线圈可能出现高电压或电弧，不是仍通过不存在的导线维持电流。

坑点二：把电感当电阻，或把稳态近似当全程

辨析 01 同一个线圈的两种描述（自编辨析）

题目

判断两句话，并说明条件：①线圈通直流，所以任何时刻自感电动势都为零。②线圈直流电阻很小，所以断电后不储存能量。

答案与解析

①错。接通、断开及电流变化阶段有自感电动势；只有稳定电流时 dI/dt=0dI/dt=0 才为零。②错。直流电阻决定稳态损耗，自感系数与电流决定磁场储能 LI2/2LI^2/2，二者不能互相替代。

本题结论

两句均错。