渡河与绳杆关联速度

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渡河先分清速度相对谁，绳杆先分清哪个长度不变。前者合成速度，后者约束速度投影；实际速度不能因为同叫“船速”或同系一根绳就混为一谈。

一、知识点概念与依据

1. 船头方向与实际航向属于不同速度

记船相对水速度为 $\boldsymbol u$ ，水相对岸速度为 $\boldsymbol w$ ，船相对岸实际速度为 $\boldsymbol v$ ，在经典参考系变换中有

\boldsymbol v=\boldsymbol u+\boldsymbol w.

船头推进方向对应 $\boldsymbol u$ ，岸上观察到的航向对应 $\boldsymbol v$ 。船头正对岸时，水流仍使船往下游漂。每个速度均用m/s，给大小 $u,w$ 时，还要保留方向才能合成。

本页渡河模型假定河宽 $d$ 固定、水流平行河岸且处处均匀、船相对水速率恒定、船头保持选定方向。故实际速度恒定、航线为直线，路程与总位移大小相同。若水流随位置变化或船头随时调整，就须重新分析，不把这里的最值公式直接搬过去。

2. 最短时间只要求过河分速度最大

以沿岸和垂直河岸为两轴，船头与河岸夹角为 $\theta$ ，过河分速度为 $u\sin\theta$ 。水流仅贡献沿岸分量，因此

t=\frac d{u\sin\theta}\ge\frac du.

当船头垂直河岸， $\sin\theta=1$ ，有 $t_{\min}=d/u$ 。这时下游漂移 $x=wt_{\min}=wd/u$ ，实际总位移 $\sqrt{d^2+x^2}$ 一般大于河宽。最短时间不等于最短位移。

3. 最短位移必须分船速与水速的大小关系

最短实际位移要使合速度尽量接近垂直河岸。比较的是速率 $u,w>0$ ：

条件	能否沿正对岸航线	最短位移或下限
$u>w$	可偏上游，用沿岸分量抵消水流	$s_{\min}=d$ ，过河分速度 $\sqrt{u^2-w^2}$
$u<w$	无法完全抵消水流	$s_{\min}=dw/u>d$
$u=w$	完全抵消会使过河速度也为零	有限时间不能达到 $d$ ，只能趋近这个下限

当 $u>w$ ，最短位移的时间为 $d/\sqrt{u^2-w^2}$ ，若水速非零，它大于最短时间 $d/u$ 。

当 $u<w$ ，以水流速度矢量终点为圆心、 $u$ 为半径作速度圆：原点到圆上各点的矢量是可取的合速度。由原点向圆作切线，对应合速度与河岸的最大夹角 $\phi$ 。切线垂直半径形成直角三角形，给出 $\sin\phi_{\max}=u/w$ 。实际航线的过河分量满足 $s\sin\phi=d$ ，所以

s_{\min}=\frac d{\sin\phi_{\max}}=\frac{dw}{u}.

$u=w$ 时，直指上游抵消水流意味着合速度为零，永远不到对岸；略偏离时虽能过河，但位移严格大于 $d$ 。极限下接近 $d$ 伴随时间越来越长，不能把“下限”误报为有限时间可达到的最小值。

4. 绳长约束限制的是沿绳的长度变化率

绳须绷紧且不可伸长，杆须不可伸缩，才能由定长建立瞬时关系。固定滑轮连接两段绳时，一段增长多少，另一段就缩短多少；两端实际速度方向不同，不能直接令它们速率相等。

若车速水平为 $v_0$ ，车端绳与水平夹 $\theta_2$ ，车使该段绳长增加的速率是 $v_0\cos\theta_2$ 。另一端物块恰沿绳运动时，其速率就是缩短率，故

v_P=v_0\cos\theta_2.

垂直于绳的速度分量主要改变绳的方向，不能当作绳长增长率。这里是把车的实际速度投影到车端绳方向，不是把物块速度向水平反投影；斜面角 $\theta_1$ 另用于重力分量，不是此式的投影角。

5. 瞬时关系成立，不表示两端以后都匀速

车远离固定滑轮，车端绳越来越接近水平， $\theta_2$ 减小；即使 $v_0$ 恒定， $v_P=v_0\cos\theta_2$ 仍增大。因此物块沿斜面加速，不能由“车匀速”先把物块加速度设零。

动滑轮或多段绳，须把每一段长度变化率按几何关系加起来，不能套固定滑轮两段的简式。刚性杆两端则满足沿同一杆方向的有符号速度投影相等，即两端相对速度沿杆的分量为零；垂直杆分量可以不同而使杆转动。绳松弛时不存在上述绷紧定长约束。

二、考点方法与例题

1. 分别优化时间与航线，勿混两种位移

先写 $u,w,d$ 并检查 $u$ 与 $w$ 的关系；最短时间令过河分速度最大，最短位移另用合速度方向。若题问“沿水流方向位移”，那是沿岸分量，不是实际总位移。

例题 01 游泳者的渡河时间与位移

题目

2025年1月11日，国际冬泳世界挑战赛在济南大明湖风景名胜区开赛。比赛前某运动员练习时要匀速横渡一条宽 $d=270\,\mathrm m$ 的河，运动员在静水中的速度为 $v_1=1.5\,\mathrm{m/s}$ ，水流速度为 $v_2=2\,\mathrm{m/s}$ ，则（　　）

A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸

B．该运动员渡河的时间可能小于180s

C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为360m

D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为320m

答案与解析

给定 $u=1.5\,\mathrm{m/s}<w=2\,\mathrm{m/s}$ ，无法抵消沿岸水流，所以A错。最短时间 $t_{\min}=270/1.5=180\,\mathrm s$ ，不可能小于180 s，B错。最短时间时，下游位移 $x=2\times180=360\,\mathrm m$ ，C正确。

最短总位移另按 $u<w$ 模型， $s_{\min}=dw/u=270\times2/1.5=360\,\mathrm m$ ，不是D的320 m。

原资料最短位移解图：水流速度与相对水速度合成，直角速度三角形与河宽和航线三角形相似

图中对应最短位移的速度几何关系，不是最短时间航向。最短时间的实际总位移应为 $\sqrt{270^2+360^2}=450\,\mathrm m$ 。本题“最短时间的下游分位移”和“另一航向下的最短总位移”同为360 m。在均匀水流、相对水速大小恒定且 $u<w$ 的本模型中，两者都等于 $wd/u$ ，因此数值恒相等，并非巧合；但它们的物理对象、航向和渡河时间不同，不能混作同一次运动。KB将此称为“数值巧合”，本页依据两式恒等纠正。题干竞赛背景仅为原材料转述，未独立核验赛事，不参与理想渡河计算，本模型不构成实际下水建议。

本题结论

选C。最短时间180 s；此时下游漂移360 m、总位移450 m；最短总位移另为360 m。

2. 同一个正弦值可能有上游、下游两种船头

由实测时间先求过河速度 $d/t$ ，再求船头角的正弦；沿岸分量的大小可用勾股求，但正负仍须按上游或下游分别判断。对“一定”选项，一种符合题意的反例即可排除。

例题 02 给定渡河时间反求船头方向

题目

一小船匀速渡过一条宽度为 $d=60\,\mathrm m$ 的小河，已知船在静水中的速度为 $v_{\text{船}}=5\,\mathrm{m/s}$ ，水流速度 $v_{\text{水}}=4\,\mathrm{m/s}$ ，小船某次渡河时间为 $t=15\,\mathrm s$ ，则以下判断一定正确的是（　　）

A．小船运动的路径恰好垂直于河岸

B．船头方向与河岸的夹角的正弦值为 $\frac45$

C．小船到达对岸时一定在出发点下游15m处

D．调整船头的方向，渡河时间可能为10s

答案与解析

实测过河分速度 $60/15=4\,\mathrm{m/s}$ ，故 $5\sin\theta=4$ ， $\sin\theta=4/5$ ，B正确。

若实际航线垂直河岸，相对水速的沿岸分量须抵消4 m/s水流，过河分速度为 $\sqrt{5^2-4^2}=3\,\mathrm{m/s}$ ，渡河需 $60/3=20\,\mathrm s$ ，与已知15 s不符，A错。

实际15 s时，船相对水的沿岸分速度大小 $\sqrt{5^2-4^2}=3\,\mathrm{m/s}$ 。船头偏上游时，合沿岸速度 $4-3=1$ ，下游位移15 m；偏下游时为 $4+3=7$ ，下游位移105 m。两种均满足题设，故C的“一定”错误。

最短时间 $60/5=12\,\mathrm s$ ，仍大于10 s，D错。这里两个平方根形式相同而对象不同：A讨论抵消4的水流后剩下3的过河分量，C讨论已知过河分量4后剩下3的自身沿岸分量。

本题结论

选B。15 s条件允许下游15 m或105 m两个落点。

3. 先由绳长判断速度变化，再用动力学判拉力

画各对象实际速度，沿所在绳段投影，使总绳长变化率为零。沿过程观察角度怎样变，判断被关联物体是否加速；最后沿它的运动方向列合力，不先猜平衡。

例题 03 定滑轮连接小车与斜面物块

题目

质量为m的物块P置于倾角为 $\theta_1$ 的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着物块P与小车，物块P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率 $v_0$ 水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角 $\theta_2$ 时，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　）

A．物块P的速率为 $v_0\sin\theta_2$

B．物块P的速率为 $v_0\cos\theta_1$

C．细绳对物块P的拉力恒为 $mg\sin\theta_1$

D．细绳对物块P的拉力大于 $mg\sin\theta_1$

答案与解析

车端绳长增长率为 $v_0\cos\theta_2$ ，物块沿绳上移使另一段等速率缩短，所以 $v_P=v_0\cos\theta_2$ 。A用了错误的正弦，B用了另一端斜面角，均错误。

小车继续向右远离滑轮， $\theta_2$ 减小， $\cos\theta_2$ 增大，故物块向上加速。沿光滑斜面向上为正，只有拉力及重力的沿面分量：

F_T-mg\sin\theta_1=ma\quad\Longrightarrow\quad F_T=mg\sin\theta_1+ma>mg\sin\theta_1.

因此C错、D对。这个推理不需要先求出具体加速度数值，但必须知道它向上；绳角在变，物块速率、加速度和拉力也不能仅由车匀速推断恒定。

本题结论

选D。速率为v₀cosθ₂，物块加速上坡，拉力大于mg sinθ₁。

三、坑点辨析与纠错

1. 船头正对岸，只能先保证过河速度最大

常见错法：把相对水速度当实际速度，忽略水流；或把最短时间航向当最短路线航向。

错在何处：水流始终要参与相对岸速度合成。若要正对岸，必须有足够上游分量抵消水流，还须保留非零过河分量。

自查：给每个速度写“相对谁”。 $u=w$ 时直指上游只是原地不动，不是成功到正对岸。

2. 相连不等于实际速率相等

常见错法：看到一根绳就令车速等于物块速率，或看到车匀速就令物块合力零。

错在何处：绳限制总长度，限制的是沿绳投影的有符号长度变化率；垂直绳的运动可改变方向而不直接增长长度。角度变化会让投影变化。

自查：先核绳紧、不可伸长、滑轮是否固定及绳段数，再写总长约束。杆也须沿同一杆轴投影，不能复制任意两端速度向量。