曲线运动与运动分解

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速度读切线，加速度看速度怎样变化。水平、竖直分运动共用一个时间，不是轮流发生；轨迹、速度和位移也不是同一幅箭头图。

一、知识点概念与依据

1. 瞬时速度沿局部切线并指向前进方向

质点轨迹是曲线的运动称为曲线运动。取前后很近两点，位移沿两点间短弦；时间间隔趋近零时，短弦趋向该点切线，得到瞬时速度方向。切线给出一条直线，沿哪一头仍须根据运动先后确定。

速度包含大小和方向。曲线运动中方向变化，因此一定是变速运动，但速率可以不变，也不必一直增大。整段起终点连线表示位移方向，不是起点的瞬时速度方向；轨迹各点要分别取当地切线。

2. 法向分量使轨迹弯曲，切向分量改变速率

加速度可分为沿速度切线的分量与垂直于切线的法向分量。切向分量改变速率，法向分量改变速度方向；固定质量时，合力与加速度同向。

在速度非零、局部光滑且有非零曲率处，法向加速度指向轨迹凹侧。合力可以同时带切向分量，不能把“向凹侧”解释成合力必定垂直于速度，更不能认定所有曲线都有同一个固定圆心。拐点或瞬时速度零等边界须另查，不能无条件拿普通曲率图像作判断。

合力与非零速度的夹角	该瞬间速率怎样变	还须注意
锐角	增大	同时可有转弯
钝角	减小	不能由减速判正在反向走
直角	瞬时速率变化率为零	要判全程匀速率，须全程满足相应条件

轨迹一般只限制合力的法向分量，缺少速率和质量等资料时，不能唯一确定全部合力大小或方向。题问“可能方向”，只需不违反当地弯曲关系；忽略重力也不表示没有空气等其他作用。

曲线运动不必是变加速度运动：平抛只受恒定重力，可以轨迹弯曲而加速度恒定。某一瞬间速度为零时通常切线论证须谨慎，这不等于所有曲线运动都必须从非零初速开始。

3. 合运动是实际运动，分运动是同一过程的矢量分解

合运动是对象相对指定参考系实际发生的运动。选定方向或不同运动贡献后，可以分解位移、速度和加速度，再按矢量规则合成。各分运动同时发生、经历同一个时间，不能把两方向的时间相加。

同一原点的位置由 $x,y$ 确定，实际位移是两分量矢量和；对同一时间的位移变化比较，得到速度分量关系。正交分量可用

v=\sqrt{v_x^2+v_y^2},\qquad |\Delta\boldsymbol r|=\sqrt{x^2+y^2}.

$v_x,v_y$ 为带符号速度分量（m/s）， $x,y$ 为位移分量（m）。速度与位移分别合成，不能把一个速度和一个位移放进同一个平方和。一般不垂直的分矢量须按夹角合成，不能一概用勾股；反向分速度还可能相互抵消。

4. 两个方向都匀速，合运动仍可是一条直线

若从同一起点开始，两个固定分速度给出 $x=v_xt,y=v_yt$ 。当 $v_x\ne0$ ，消去共同时间得

y=\frac{v_y}{v_x}x.

斜率固定，轨迹为直线； $v_x=0$ 时则沿竖直线运动。不是“往两个方向动”就必然曲线。判断合运动是否匀变速，看合加速度是否恒定；判断曲直，需结合初速度与合加速度，不能直接复制某一分运动的名称。

分运动的“独立”指在给定受力模型中按各分量规律计算并共用时间。复杂阻力可能耦合不同方向速度，不能无条件声称改变某一方向永远不影响另一方向。蜡块题明确保持竖直上升速度，才能在改变管水平速度时继续使用它。

二、考点方法与例题

1. 先定位正在研究的点，再按顺序读切线

题目若研究头部这个点，不要换成整个人的重心。沿题示动作顺序逐点读速度，先找切线、再定箭头，不把“最后向下入水”当作每处速度都向下。

例题 01 头部绕转轨迹不能换成重心抛物线

题目

以下赛事与历史排名为原材料转述，未独立核验历史排名；本题只依据给定轨迹判断速度方向。

2024年巴黎奥运会上，全红婵获得女子单人跳水10 m跳台金牌，成为中国奥运史上最年轻的三金得主。如图所示，虚线描绘的是她某次跳水运动的过程中头部运动轨迹，最后沿竖直方向以速度v入水。在图中标注的1、2、3、4四个位置中，头部速度方向与v方向相同的是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案与解析

本题给的是头部这个点的轨迹，沿动作先后读图：1处切线水平向左；2处与4处沿局部切线竖直向上；3处沿切线竖直向下，与最后入水速度 $\boldsymbol v$ 方向相同。因此A、B、D对应方向均不符，选C。

2、3两处切线虽都可能呈竖直方向，箭头一上一下仍是不同速度方向。不能把各点直接连向水面，也不能用运动员重心的近似抛物线替代头部受身体转动影响的实际轨迹。题干赛事背景保留，仅轨迹参与本题判断。

本题结论

选C，对应位置3。

2. 曲线只给方向限制，不自动给唯一合力

读清从哪点到哪点，分别作局部切线；再判断轨迹相对于切线向哪侧弯。排除使法向加速度指向相反侧的候选，但允许合力有切向分量；“可能”不要求证明它是唯一的力。

例题 02 烟尘轨迹与局部运动方向

题目

利用风洞实验室测试装备的风阻性能在我国已被大量运用。我们可以借助丝带和点燃的烟线辅助观察来类比研究风洞里的流场环境，在某次实验中获得一烟尘颗粒从P点到Q点做曲线运动的轨迹，如图所示，不计烟尘颗粒的重力，下列说法正确的是（　　）

A．烟尘颗粒飘在空中速度不变

B．P点处的速度方向从P点指向Q点

C．P点处的合力方向可能斜向右下方

D．Q点处的加速度方向可能竖直向下

答案与解析

运动从右下P到左上Q，P处速度沿当地切线指向左上侧、沿轨迹向Q前进，而不是沿P到Q的整段弦线。原详解写“向右”与运动先后矛盾，应改为沿P到Q方向向左。

A错：轨迹弯曲，速度方向发生变化，不能说速度不变。B错：P到Q方向属于整段位移，不是P处切线方向。C错：P附近轨迹相对切线向上侧弯，斜向右下的力不提供所需的内侧法向分量。D对：Q附近轨迹的凹侧向下，竖直向下加速度可具有相应法向分量，属于可能方向。

这里不唯一确定合力大小，也没有断言合力必须纯法向；不计重力只排除重力影响，不排除空气作用。

本题结论

选D。原解析P处“向右”笔误已按图和运动次序纠正。

3. 同时分解，用固定的那一方向定时间

标明两个分速度相对谁、沿哪方向。先用固定竖直距离与题给竖直速度求到顶时间，再合成实际速度；从两个固定分速度推轨迹直线，而不是从“两个方向”猜曲线。

例题 03 横移玻璃管中的蜡块

题目

如图所示，封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块A能在水中以速度 $v_{1}$ 匀速上升。在红蜡块从玻璃管底端匀速上升的同时，使玻璃管以速度 $v_{2}$ 水平匀速向右运动，下列说法正确的是（　　）

A．红蜡块相对地面的运动轨迹为一条曲线

B．若速度 $v_{2}$ 增大，则红蜡块上升的速度 $v_{1}$ 也增大

C．若速度 $v_{2}$ 增大，则红蜡块的合速度也增大

D．若速度 $v_{2}$ 增大，则红蜡块上升到玻璃管顶端的时间变长

答案与解析

题设竖直匀速 $v_1$ 、水平匀速 $v_2$ ，合速度为恒定矢量，轨迹直线，A错误。设管内上升高度 $h$ ，到顶时间 $t=h/v_1$ ，水平速度不在该关系中。题设保持 $v_1$ 不变，所以B、D错误。

两个分速度垂直，合速率 $v=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$ ；在 $v_1$ 固定时增大 $v_2$ ，合速率增大，C正确。若两个分速度不是正交或实际受力使 $v_1$ 也变化，便不能原样照搬此结论。

全程两个方向都经历 $t$ ，不是先竖直走一段、再水平走一段。

本题结论

选C。合速率增大，但竖直到顶时间不变。

三、坑点辨析与纠错

1. 弯曲不是“越走越快”，恒加速度也能弯曲

常见错法：曲线必加速、曲线必变加速度，或速度只沿起终点连线。

错在何处：速度方向变已经足以构成变速；速率取决于切向加速度。平抛是恒加速度曲线运动的反例，弦线不是局部切线。

自查：分开问速率、速度方向、加速度是否改变，不用一个“变速”替代三个问题。

2. 独立分量不等于各有一段时间

常见错法：把1秒分给水平半秒、竖直半秒，或把两分运动所用时间相加；只看某个分量就给合运动命名。

错在何处：分量描述同一个同时发生的运动，是数学描述而非两段行程。

自查：每个方向写同一个 $t$ 。需要全过程合成时，位移对位移、速度对速度、加速度对加速度，保留各自单位与矢量方向。