折射定律、折射率与光路几何

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每到一个界面先画局部法线，再按传播顺序标介质。折射定律用角的正弦比，而不是角度比；颜色、频率、波长也要分别判断。

一、知识点概念与依据

1. 折射角从法线量起

光从一种介质进入另一种介质会发生折射，斜入射时方向通常改变。入射角 $i$ 、折射角 $r$ 都从界面法线量起。对给定两种介质及同一色光，

n_1\sin i=n_2\sin r.

入射光线、折射光线与法线在同一平面内。 $n_1$ 对应入射侧， $n_2$ 对应折射侧，不能按图的上下位置分配。若图给的是光线与界面夹角 $\alpha$ ，相应法线角是 $90^\circ-\alpha$ ，正弦变为 $\cos\alpha$ 。

2. 绝对与相对折射率

介质的绝对折射率定义为同频光在真空的速度 $c$ 与介质中相位传播速度 $v$ 之比：

n=\frac cv.

$n$ 无单位， $c,v$ 须用相同速度单位。固定两种介质和色光时，入射角与折射角的正弦比恒定： $\sin i/\sin r=n_2/n_1=v_1/v_2$ ，这是相对折射率关系。折射规律来自实验归纳，通常称斯涅尔定律；波前在界面上保持相位衔接，而两侧传播快慢改变，几何上形成这一波速与正弦的比例。

空气在普通实验中近似 $n=1$ 。空气射入玻璃时，玻璃 $n=\sin i/\sin r$ ；玻璃射出空气时则 $n=\sin r/\sin i$ ，空气侧角此时是折射角。因此不能背“入射角永远在分子”。

3. 偏折方向与频率波长

在0°到90°范围，若 $n_2>n_1$ ，则 $r<i$ ，光向法线偏折；若 $n_2<n_1$ 且存在传播折射光，则 $r>i$ ，光远离法线。垂直入射 $i=0$ 时 $r=0$ ，方向不变，但光速与波长仍可改变。

跨静止界面，频率 $f$ 不变。由 $v=\lambda f=c/n$ 得

\lambda=\frac{\lambda_0}{n},

$\lambda_0$ 为同色光真空波长，波长可用m等一致单位。进入介质波长变短并不意味着变为另一种色光，色光对应频率没有改变。

普通可见光在玻璃、水等透明介质中常有 $n>1$ ，且 $n$ 随频率变化；不能把“所有介质任何频率都 $n>1$ ”当普遍结论。这里讨论高中透明介质的光线模型。

4. 多界面逐面追踪

每个入射点都重新画局部法线；曲面用该点切线的垂线，圆面沿半径入射的角为零。光路可逆可用来反向核对。

平行玻璃砖两侧同为空气时，两面法线平行，第二次折射后出射线与入射线平行，但可能发生横向位移，不能说整条光路完全未变。若从高折射率侧向低折射率侧算出 $\sin r>1$ ，不是去找一个实数角，而是检查是否已达到全反射条件。

二、考点方法与例题

1. 法线—正弦—方向三步

先标入射点、箭头与两侧介质；将界面角换成法线角，再列 $n_1\sin i=n_2\sin r$ 。算完检查由低折射率到高折射率是否靠近法线，由高到低是否远离；多个界面分别处理，必要时反向走光路检验。

2. 用投影长度直接求正弦比

辅助圆或直角三角形常能把正弦写成对边/斜边，无需求反三角函数。找共同投影后作比即可；同时检查题中字母含义，长度 $r$ 与折射角 $r$ 若重名，主动将角另记 $\theta_1,\theta_2$ 。长度同单位相除才得到无量纲 $n$ 。

例题 01 辅助圆与折射光的共同投影

题目

如图所示，一束单色光从空气斜射入某种透明介质中，入射点为O。实验者进行了如下操作：①以O为圆心、R为半径画圆，该圆与折射光线交于B点；②过B作介质与空气分界面的垂线 $BN$ ，延长入射光线 $AO$ 交 $BN$ 于M点，测得 $OM$ 的长度为r。则透明介质对该单色光的折射率n为（　　）

A． $\frac rR$

B． $\frac Rr$

C． $\frac{\sqrt{R^2-r^2}}r$

D． $\frac R{\sqrt{R^2-r^2}}$

答案与解析

答案B。此题 $r$ 是长度 $OM$ ，不是折射角；将空气侧、介质侧法线角分别记为 $\theta_1,\theta_2$ 。

$BN$ 垂直界面，与过O的法线平行；M在入射光线AO的延长线上。M和B同在直线BN上，OM与OB的水平投影均为ON，因此

\sin\theta_1=\frac{ON}{OM}=\frac{ON}{r},\qquad \sin\theta_2=\frac{ON}{OB}=\frac{ON}{R}.

从空气射入介质，

n=\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac Rr.

也可写共同投影 $r\sin\theta_1=R\sin\theta_2$ 。A颠倒比例，C、D的勾股组合不是本题折射定律要求的正弦比。斜入射保证公共投影非零，这里没有用垂直入射的0/0来求比。

本题结论

B，n=R/r。关键是两条线段的水平投影相同。