速度与加速度

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速度描述位置怎样变化，加速度描述速度怎样变化。读懂一个量，既要分清“某一段”与“某一刻”，也要保留方向与对应的时间。

一、知识点概念与依据

1. 平均速度与平均速率：两种不同的分子

取同一过程的位移 $\Delta x$ 、路程 $s$ 和经历时间 $\Delta t>0$ ，一维平均速度和平均速率分别为

\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1},\qquad \bar u=\frac{s}{\Delta t}.

平均速度是矢量，与总位移同向；平均速率是标量。二者单位均为米每秒（ $\mathrm{m/s}$ ），但平均速度保留位置变化的方向，平均速率累计真正走过的路程。定义不要求运动匀速，任何分段或折返过程都应先回到定义。

由于同一过程 $s\ge|\Delta x|$ ，分母相同且为正，故 $\bar u\ge|\bar v|$ 。不折返的单向直线运动中，平均速率等于平均速度的大小；往返到起点，平均速度为零，平均速率却可以不为零。

“平均”必须说明平均哪一段。AB段的位移只能除以AB段的时间，不能配全场比赛用时。一个平均值将整段细节压缩成总体量，不能反过来确定每一时刻的速度。

2. 瞬时速度与速率：把观察时间缩短

想知道某个时刻运动得怎样，可以在该时刻附近取短时间，求这段平均速度。时间段越来越短，平均速度趋向该时刻的瞬时速度。速度存在且变化连续时，写为

v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta x}{\Delta t}.

瞬时速度有大小与方向，单位仍为 $\mathrm{m/s}$ ；其大小 $u=|v|$ 叫速率，不带空间方向。汽车速度计通常显示当时的速率，不显示完整速度方向，也不是整段平均速度。

实验中用有限的短时间位移比来近似瞬时速度，须分清“近似”与定义。纸带常取目标点前后等时的两个点，使目标时刻位于所取区间中央；运动变化越剧烈，越不能轻率把很长一段平均值当成瞬时值。

量	对应时间	是否保留方向	求法或含义
平均速度 $\bar v$	一段过程	是	总位移除以总时间
平均速率 $\bar u$	一段过程	否	总路程除以总时间
瞬时速度 $v$	某一时刻	是	该时刻位置变化的快慢与方向
速率 $u$	某一时刻	否	瞬时速度的大小

只有匀速直线运动，所有区间的平均速度才与各时刻瞬时速度相同。一次测量中偶然数值相等，不等于两种量的定义相同。

3. 速度变化量与加速度：改变多少和改变多快

在统一的正方向下，初末速度分别为 $v_1,v_2$ ，速度变化量为 $\Delta v=v_2-v_1$ ，单位 $\mathrm{m/s}$ ，它是矢量。一维问题必须先带符号，再末减初；反向时，变化量的大小不是两个速率的差。

速度变化还要考虑耗时。同样改变 $10\,\mathrm{m/s}$ ，用1 s完成比用10 s完成变化更快。因此用速度变化量除以对应时间，定义平均加速度：

\bar a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}.

其单位为 $(\mathrm{m/s})/\mathrm s=\mathrm{m/s^2}$ 。平均加速度方向与速度变化量相同，未必与当前速度相同。将观察时间缩短到瞬间，得到瞬时加速度；加速度恒定时，有限时间比值也等于各瞬间的加速度。

$v$ 表示当时的运动状态， $\Delta v$ 表示整段改变多少， $\bar a$ 表示每单位时间改变多少。它们的大小不能无条件互推：高速匀速运动的加速度为零；相同速度变化量，经历时间不同，平均加速度也不同。但在时间间隔固定时，平均加速度大小与速度变化量大小成正比，不能把“不能无条件互推”说成“毫无数学联系”。

4. 加速还是减速：看当前速度与加速度的方向

以下讨论直线运动且 $v\ne0$ 。加速度与当前速度同向，使速度大小增加；反向，使速度大小减少。选定坐标正方向后，可简记为 $av>0$ 加速、 $av<0$ 减速。

当前速度 $v$	加速度 $a$	速率变化
正	正	增大
正	负	减小
负	负	增大
负	正	减小

加速度的正负只编码方向，不自带“加、减速”含义。加速度大小决定速度变化得多快：同向且加速度大小减小，仍加速，只是增加得越来越慢；反向且加速度大小增大，减速越来越快。

到 $v=0$ 时，不能机械套同向或反向，应看随后运动。某一瞬间速度为零，不排除加速度非零；某一瞬间加速度为零，也不保证速度为零或以后永远匀速。曲线运动时还可能仅改变方向而不改变速率，本表不应直接推广成一般曲线运动判据。

二、考点方法与例题

1. 一段数据，只求对应的一段平均量

圈出所问时间范围；分别计算该过程总位移与总路程，再除以相同总时间。先统一分、秒或千米、米单位。若题目给端点瞬时速度但没有运动规律，不用它们的算术平均替代定义。

例题 01 百米比赛中的AB段

题目

在校运动会上，某同学以11.1s的成绩获得男子乙组100m冠军，比赛过程简化如图，测得他从A点到B点用时4s，在A点的瞬时速度大小为0.2m/s，在B点的瞬时速度大小为6.8m/s，AB间的距离为16m。则该同学在此4s内的平均速度大小是（　　）

A．1.7m/s

B．3.5m/s

C．4.0m/s

D．9.0m/s

答案与解析

AB沿直线向前运动，位移大小为16 m，所用时间为4 s，故

|\bar v_{AB}|=\frac{16}{4}=4.0\,\mathrm{m/s}.

全程11.1 s不对应AB段，不能放进分母。端点速度的平均为 $(0.2+6.8)/2=3.5\,\mathrm{m/s}$ ，但题目未说AB段匀变速，所以这一数不能替代平均速度。A、D也不符合定义计算结果，不另编它们的错误计算来历。

本题结论

选C。先配对“该段位移”和“该段用时”。

例题 02 折返游泳：平均值不等于终点值

题目

在一次女子100米蛙泳决赛中某运动员的成绩是1分07秒，100米泳比赛的泳池是50米长的标准泳池，则下列说法正确的是(　　)

A. 运动员运动的路程为50米

B. 运动员运动的位移为100米

C. 运动员的平均速率为1.49m/s

D. 运动员到达终点的瞬时速度大小为1.49m/s

答案与解析

泳池长50 m，比赛100 m意味着游到另一端再返回，故总位移为零、路程100 m。1分07秒应换成 $60+7=67\,\mathrm s$ ，而不是107 s或1.07 s。

\bar v=0,\qquad \bar u=\frac{100}{67}\,\mathrm{m/s}\approx1.49\,\mathrm{m/s}.

A漏计返回一程，B把路程当位移，均错误。C正确。D所说终点瞬时速率无法由总行程与总时间确定，不能把整段平均速率强加给终点。

本题结论

选C。平均速度为零，平均速率约1.49 m/s。

2. 等时间与等位移，使用不同的权重

两段各自匀速，先累计位移和时间。用带方向的 $v_i$ 及对应时间 $t_i$ ，有

\bar v=\frac{v_1t_1+v_2t_2}{t_1+t_2}.

等时间 $t_1=t_2$ 时，得到 $(v_1+v_2)/2$ 。若两段同向、速率均非零且位移相等，取正方向为运动方向，总位移 $L$ ，则

\bar v=\frac{L}{L/(2v_1)+L/(2v_2)}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.

第二式是先求各段时间再合并的结果，不能用算术平均。含反向或停留时，返回总位移/总时间；停留的时间也进入总时间。

例题 03 等时和等距的两辆车

题目

甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时驶向同一目的地，甲车在前一半时间内以速度30km/h做匀速直线运动，后一半时间内改为以速度50km/h做匀速直线运动；乙车在前一半位移中以速度30km/h做匀速直线运动，后一半位移中改为以速度50km/h做匀速直线运动，则（　　）

A．甲全程的平均速度是40km/h

B．乙全程的平均速度是45km/h

C．甲先到达目的地

D．乙先到达目的地

答案与解析

甲两段时间相同，因此

\bar v_\text{甲}=\frac{30+50}{2}=40\,\mathrm{km/h}.

乙两段位移相同，低速段用时较长，故

\bar v_\text{乙}=\frac{2\times30\times50}{30+50}=37.5\,\mathrm{km/h}.

A正确、B错误。两车同时从同地沿同一路线前往同一目的地，总位移相同。甲全程平均速度较大，用时较短，故C正确、D错误。

本题结论

选AC。等时平均为40 km/h，等距平均为37.5 km/h。

3. 反弹：先带方向相减，再除作用时间

固定一个正方向，给作用前后速度带符号，用末减初算 $\Delta v$ ，再除以这次变化经历的时间。先解释符号给出的方向，最后用绝对值报告大小。有限时间只能确定平均加速度，不能由此推定作用过程中每一瞬间都相同。

例题 04 乒乓球的速度变化

题目

乒乓球以20m/s的速度水平向右运动并碰到球拍，与球拍作用0.02s时间后反向弹回，弹回的速度大小为15m/s，关于乒乓球与球拍作用的过程，下列说法正确的是（　　）

A．乒乓球的速度变化量大小为5m/s，方向水平向左

B．乒乓球的速度变化量大小为35m/s，方向水平向右

C．乒乓球的加速度大小为250 $\mathrm{m/s^2}$ ，方向水平向左

D．乒乓球的加速度大小为1750 $\mathrm{m/s^2}$ ，方向水平向左

答案与解析

取向右为正，初速度 $v_1=+20\,\mathrm{m/s}$ ，末速度 $v_2=-15\,\mathrm{m/s}$ ，所以

\Delta v=-15-20=-35\,\mathrm{m/s},\qquad \bar a=\frac{-35}{0.02}=-1750\,\mathrm{m/s^2}.

变化量大小35 m/s、方向向左，A大小错，B方向错。作用过程平均加速度大小1750 m/s²、方向向左，C错误，D符合该计算。

原题C、D用“加速度”而没有注明平均；由已知数据严格能确定的是作用过程的平均加速度。这里按原题通常意图选D，不声称拍与球接触的每一瞬间加速度均恒为1750 m/s²。

本题结论

按过程平均加速度理解，选D。速度变化量大小35 m/s，平均加速度大小1750 m/s²，均向左。

4. 先判断增减，再判断增减得快慢

先比较加速度和当前速度方向，再看加速度大小怎样变化。若发生反向，要按新的当前速度重新判断；“过程中达到最大”也只针对题目指定过程，不能推断结束后的所有运动。

例题 05 加速度减小，速度怎样变化

题目

某质点以一定的初速度做加速度方向与初速度方向相同、加速度大小逐渐减小到零的直线运动。在此过程中，该质点（　　）

A．速度一直在减小

B．速度减小得越来越快

C．加速度减为零时，速度也为零

D．加速度减为零时，速度达到最大

答案与解析

初速度非零，加速度始终与它同向，因而速度一直沿原方向增大，不会发生反向。加速度大小逐渐减小，表示相同小时间内增加的速度越来越少，而不是速度在减少。

因此A、B错误；加速度减至零时，速度只是当时不再增加，并没有变成零，C错误。题目指定过程结束时，速度达到该过程中的最大值，D正确。

本题结论

选D。速度增加得越来越慢，不是速度越来越小。

三、坑点辨析与纠错

1. 两个平均量不能混名，端点速度不能随意平均

常见错法：把总路程除以时间叫平均速度；或见到初末速度就自动取算术平均。

错在何处：平均速度的分子是带方向的位移，平均速率的分子才是路程。端点速度只给两个时刻的信息，通常没有告诉中间怎样运动、每种速度维持多久。

自查：重写定义并标出过程。例题01的端点平均3.5 m/s与定义结果4.0 m/s不同；例题02的零平均速度与非零平均速率同时成立。匀变速直线运动可推出端点平均式，但这是一项有条件的推论。

2. 瞬时与平均、速度与速率是两层区别

常见错法：认为速度计读数就是整段平均速度，或说平均速度没有方向。

错在何处：先分时刻和过程，再分是否保留方向，两个维度不能互相替代。终点速率通常不能由全程平均值唯一确定。

辨析 01 速度计读的是什么

题目

关于速度，下列说法正确的是（　　）

A．速度是表示物体运动快慢的物理量，既有大小，又有方向，是标量

B．平均速度只有大小，没有方向，是矢量

C．运动的物体在某一时刻或某一位置的速度，叫作瞬时速度，它是矢量

D．汽车上的速度计是用来测量汽车平均速度大小的仪器

答案与解析

A的“既有大小又有方向”与“是标量”矛盾，速度为矢量。B说平均速度没有方向，错误，平均速度与总位移同向。C正确描述了瞬时速度。D错误，速度计通常测当前速率，不是整段平均速度。

本题结论

选C。瞬时速度是矢量，速率是其大小。

3. 大速度、大变化量与大加速度不是同一件事

常见错法：把“运动得快”当“速度变得快”，或只比较 $|\Delta v|$ 而忘记时间。

错在何处：匀速高速物体的加速度仍为零；变化量大却耗时更长，平均加速度也可能更小。

自查：将 $v$ 、 $\Delta v$ 、 $\Delta t$ 分栏，只用后两项比值求平均加速度。正负号先说明方向，所谓“加速度大”在通常题意中指大小，不是带符号分量代数值更大。

辨析 02 飞机的速度与加速度

题目

2024年9月10日13时，中国国际航空股份有限公司(以下简称“国航”)CA1523航班从北京首都国际机场飞抵上海虹桥机场，标志着国航首架C919飞机成功首航，正式投入运营。C919飞机飞行过程中(　　)

A. 速度越大，其加速度一定越大

B. 速度变化量越大，加速度一定越大

C. 加速度不变，其速度可能减小

D. 加速度越大，则速度一定变化快

答案与解析

以下只依据题目给出的运动学语义判断，题干的航班背景不参与计算。

A错误：高速匀速飞行可有大速度、零加速度。B错误：没有给定比较的时间，不能只由变化量较大推出加速度较大。C正确：加速度保持不变且与当前速度反向时，速率可以减小，直至可能减至零；之后若反向，应重新判断。D按“加速度大小”理解，正是描述速度变化快慢的量，因此正确。

原资料详解中的“巡航舰”与题干飞机不一致，此处按题干对象讨论；不把这一文字笔误带入结论。

本题结论

选CD。加速度不变也可减速；加速度大小描述速度变化的快慢。

辨析 03 生活中的“快”指哪一种快

题目

日常生活中的“快”和“慢”通常是笼统的含义，有时指的是速度大小，有时指的是加速度大小。从物理学描述运动的视角看，下列说法中“快”代表加速度大的是（　　）

A．“和谐号”动车行驶得很“快”

B．从家到学校，骑自行车比步行“快”

C．小轿车比大卡车刹车“快”

D．小明参加百米赛跑时，后半程比前半程跑得“快”

答案与解析

A“行驶得快”、B相同行程骑车比步行快、D百米后半程跑得快，都在比较运动快慢，按题意指速度或平均运动快慢。C“刹车快”在本题意图中指速度改变得快，对应较大的加速度大小。

这是生活语义辨析，不是由车型直接得出真实加速度的结论。如果只知道停车时间更短而初速度不同，仍不能无条件判定平均加速度较大，需比较 $|\Delta v|/\Delta t$ 。

本题结论

按题目语义选C；真实数值比较仍须有速度变化量和对应时间。

4. 负加速度不一定减速，速度零不一定加速度零

常见错法：将负号理解成减速；把某一瞬间停住理解成以后一直静止。

错在何处：符号只约定方向。 $v<0,a<0$ 时两者同向，速率反而增大； $v=0$ 时，仍可能有非零速度变化率。加速度减小但同向时，仍如例题05那样加速。

自查：每次比较当前 $v$ 与 $a$ ，到转向点重新判断。反弹题必须保留初末速度的相反符号，不要先取速率再相减。

辨析 04 自编辨析：经过零速度的瞬间

题目

某质点做直线运动，取向右为正，速度满足 $v=2- t$ （ $v$ 的单位为m/s， $t$ 的单位为s），研究 $0\le t\le4\,\mathrm s$ 的过程。判断：

加速度为负，因此全程都减速。
$t=2\,\mathrm s$ 时速度为零，所以加速度也为零。
前2秒减速，后2秒加速。

答案与解析

速度每秒减少1 m/s，故加速度恒为 $-1\,\mathrm{m/s^2}$ 。前2秒 $v>0,a<0$ ，速率减小；2 s时 $v=0$ 而 $a=-1\,\mathrm{m/s^2}$ 仍非零；后2秒 $v<0,a<0$ ，速率增大。这里负加速度使带符号的速度不断减小，却不等于速率全程减小。

本题结论

1、2错误，3正确。速度分量增减与速率增减必须区分。

例题依据现有学习材料整理；标明自编的辨析题用于说明概念边界，不作为原真题。