弹性势能与机械能守恒

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先写清“谁的机械能”，再检查能量项与外界做功。小球自身机械能改变，与小球、弹簧完整系统机械能守恒，可以同时成立。

一、知识点概念与依据

1. 弹性势能由形变量大小决定

理想轻弹簧在弹性限度内遵守胡克定律，劲度系数 $k$ 单位N/m，形变量 $x$ 单位m，以原长为 $x=0$ 并取此时弹性势能为零：

E_{\text{弹}}=\frac12kx^2.

伸长与压缩都储存弹性势能。 $x$ 可正可负，势能看 $x^2$ ，单位J；变化先比较 $|x|$ ，不能只看小球上升还是下降。公式只适用于胡克弹簧，不适用于任意材料、任意大形变或塑性形变。

从原长缓慢变形到 $|x|$ ，所需外力大小由0线性增至 $k|x|$ 。力—形变量图下三角形面积为 $|x|\cdot k|x|/2$ ，给出存入的可恢复势能。不能把末端弹力 $k|x|$ 当作全程恒力。任意两状态间，理想弹力功满足

W_{\text{弹}}=-\Delta E_{\text{弹}}=\frac12kx_1^2-\frac12kx_2^2.

2. 原长、平衡位置、速度最大位置要分开

竖直弹簧挂球的静力平衡通常满足弹力与重力平衡，弹簧已经伸长，不是原长。弹性势能最小在原长处；速度最大要看沿运动方向的合力如何由助推变阻碍，可能在平衡位置，不必与原长重合。

从压缩状态向下运动，先减小压缩量到原长，再继续伸长： $|x|$ 先减后增，弹性势能也先减后增。只看“一直下降”不能判断弹性势能单调变化。

3. 守恒的是选定系统内的完整机械能

机械能由动能、重力势能和系统内弹性势能组成。只发生这些能量互相转化，没有其他净输入、输出或耗散时，完整系统机械能不变。“只有重力或理想弹簧弹力做功”是常用充分条件，不是说系统只能受这两种力。

由动能定理开始： $\Delta E_k=W_G+W_{\text{弹}}+W_{\text{其他}}$ 。代入 $W_G=-\Delta E_G$ 、 $W_{\text{弹}}=-\Delta E_{\text{弹}}$ ，整理得

\Delta(E_k+E_G+E_{\text{弹}})=W_{\text{其他}}.

没有遗漏内部耗散等能量去向、其他作用总功为零时，初末总机械能相等。若每一子过程均满足这一条件，才能说全过程持续守恒；某全过程其他功恰好代数和为零，只保证端点相等，不自动保证中途不变。

各项能量可独自增减，守恒的是同一系统边界下的总和。某物体速率增大，不足判断总机械能增加。

4. 系统边界与约束做功

含弹簧的题通常取球与弹簧一起，重力势能默认计入球与地球的相互作用。若只讨论小球的动能加重力势能，弹簧属于外界，其功可改变这一部分：

\Delta(E_k+E_G)_{\text{小球}}=W_{\text{弹}}\qquad\text{（其他非重力功为零时）}.

情形	必须核查的条件
固定光滑导杆或轨道	支持力垂直瞬时运动，零功
固定悬点、不可伸长的理想绳	摆动时拉力可垂直瞬时位移，零功
移动支持物、被主动拉动的绳端	支持力或拉力可能做功，不能沿用固定约束结论
多物体绳连接	单个物体可能受张力做功，整体守恒不保证每部分守恒
摩擦、阻力、弹簧内耗或外界推拉	检查耗散及输入，一般改用能量变化关系或动能定理

“光滑”只去掉接触摩擦，不保证外界不输入能量。有力不等于不守恒，有弹力做功也不等于任何截取的机械能都守恒。

二、考点方法与例题

方法一：跟踪形变量，而不是跟踪运动方向

先找原长位置，将过程按压缩、原长、伸长分段，比较 $|x|$ 。没有劲度系数和形变量数值时，只判断变化趋势，不编造势能数值。

例题 01 压缩弹簧下端小球释放（原题）

题目

如图所示，上端固定的轻弹簧下端连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，在 $t=0$ 时刻释放小球，小球向下运动第一次到最低点的时刻为 $t_1$ ，关于弹簧的弹性势能变化说法正确的是（　　）

A．一直增大

B．一直减小

C．先减小再增大

D．先增大再减小

答案与解析

答案：C。开始弹簧压缩，小球向下运动使压缩量减少，弹性势能减小；经过原长时 $x=0$ ，势能最小。继续向下，弹簧伸长， $|x|$ 增大，势能增加，直至第一次最低点。

A、B把分段变化误判为全程单调，D颠倒顺序。最低点不是原长点，也不能把原长处直接当成重力与弹力平衡的位置。

本题结论

C；先减小到原长时的零，再随伸长增大。

方法二：先画能量边界，再逐项比较能量之和

写清研究球，还是球加弹簧；列出该系统包含的能量项。
检查固定光滑约束是否零功，弹簧是否理想，有无耗散或主动输入。
守恒时用“某几项之和＝总量−其余项”判断，不能漏掉变化中的动能。
判断速率最大位置时检查沿轨迹的合力分量；弹性势能最小并不自动代表总势能最小。

例题 02 光滑斜杆上的球与弹簧（原题，三源重复合并）

题目

如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ<45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长。现让小球自C点由静止释放，在小球滑到杆底端的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是（　　）

A．小球的动能在B点达到最大

B．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变

C．小球的动能与弹簧的弹性势能之和减小

D．小球的动能与重力势能之和先增大后减少

答案与解析

答案：D，按题设确能滑到杆底端的过程。原题给固定、光滑导杆和轻弹簧，采用理想弹簧模型；支持力垂直运动而零功，完整系统 $E_k+E_G+E_{\text{弹}}$ 守恒。

B点是A到杆的垂足，弹簧长度最短且为原长。球从C向B运动，弹簧由伸长回复原长；过B后向杆底端运动，弹簧又伸长。因此弹性势能先减后增，弹力对球先正功后负功，小球的 $E_k+E_G$ 先增后减，D正确。

A错误：B点弹力为零，但重力沿杆向下分量 $mg\sin\theta$ 仍非零，球仍在加速，动能不是在B点最大。这里是固定直线导杆；不能将“速率极大时沿轨迹合力分量为零”泛化为所有曲线运动的合力都为零。

B错误：两种势能之和为总机械能减动能，动能并非恒定；由静止释放后球确实下滑，动能会变化。C错误：小球下降使 $E_G$ 减小，守恒要求 $E_k+E_{\text{弹}}$ 增大，而非减小。

不同劲度系数、位置条件可能使动能沿下滑过程的具体趋势不同；本题不必确定其最终极大点位置，只需说明B处仍继续增加。