光导纤维与端面接收条件

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光在端面先折射，再到侧壁判断全反射。两处法线方向不同，端面入射角大并不代表侧壁入射角也大。

一、知识点概念与依据

1. 内芯与包层的折射率关系

光导纤维用透明介质沿纤维方向传光。教材常见结构是较高折射率内芯 $n_1$ 和较低折射率包层 $n_2$ ，满足 $n_1>n_2$ ；芯内光射向芯—包层界面时，临界角为

\sin C=\frac{n_2}{n_1}.

$C$ 从侧壁局部法线量，不是从纤维轴线量。以下使用直纤维几何光线模型的子午光线，即光线位于包含纤维轴的平面内；不能不加条件搬到任意弯曲或其他结构。

2. 端面与侧壁角度如何联系

设外界折射率 $n_0$ ，入端面角 $i$ 从端面法线量；直纤维端面法线沿轴线，芯内光与轴夹角为 $\theta$ ，所以

n_0\sin i=n_1\sin\theta.

侧壁法线垂直轴线，侧壁入射角 $j=90^\circ-\theta$ 。不向外侧内部泄漏传播光的临界条件为 $j\ge C$ ，即 $\theta\le90^\circ-C$ 。严格超临界全反射用 $j>C$ ；等号对应临界边界。

3. 接收角的推导

允许的最大芯内轴角为 $\theta_{\max}=90^\circ-C$ ，代入端面折射定律：

n_0\sin i_{\max}=n_1\sin(90^\circ-C)=n_1\cos C=\sqrt{n_1^2-n_2^2}.

因此通常的接收条件写作

n_0\sin i\le\sqrt{n_1^2-n_2^2}.

$n_0,n_1,n_2$ 无单位，并取同一色光的数值。若右侧小于 $n_0$ ，存在小于90°的有限接收角；若右侧大于等于 $n_0$ ，则所有实际朝端面射入的非掠射方向在该理想模型下都可满足侧壁条件。后一种情况不能硬用大于1的正弦去求实数 $i_{\max}$ 。

4. 真实器件与角度名称的边界

实际纤维有吸收、散射和弯曲损耗，不能认为任意弯曲都完整导光。弯曲时重新作局部法线，侧壁角不再简单等于 $90^\circ-\theta$ 。更换包层、外介质或色光也会改变条件。

“光线与端面夹角”若指通常的线面小夹角，取0°到90°；若图中用端面方向作为参照作有向角，可出现0°到180°的记法。必须先说明口径并限定光确实朝端面内射入，不能将整个方向角范围误叫普通光纤的接收半角。

二、考点方法与例题

1. 用半圆材料测临界角

沿半圆柱径向射入曲面，入口入射角为零，不偏折；到平面处再量法线角。理想实验中反射强度随入射角增加进入全反射平台，对应临界角，可由 $\sin C=n_{\rm out}/n_{\rm in}$ 求材料 $n$ 。使用题给光强图时保留其理想透明模型，不把任何平台都不加分析等同全反射。

2. 两次列条件，最后再换题中字母

先求材料 $n$ 或 $C$ ；端面列折射式求芯内轴角；转成侧壁法线角后与 $C$ 比较。最后按题中 $\beta$ 究竟是线面小角还是方向角表达范围。波长另由跨静止界面频率不变得 $\lambda_{\rm in}=\lambda_0/n$ ，不能用接收角代替波长关系。

例题 01 半圆材料的光强图与纤维导光

题目

此题为给定光路与数据的纸面判断，不要求自行用激光搭建装置。

为了研究某种透明新材料的光学性质，将其压制成半圆柱形，如图甲所示。一束激光由真空沿半圆柱体的径向与其底面过O的法线成θ角射入。CD为光学传感器，可以探测光的强度，从AB面反射回来的光强随角θ变化的情况如图乙所示。现将这种新材料制成的一根光导纤维束暴露于空气中（假设空气中的折射率与真空相同），用同种激光从光导纤维束端面EF射入，且光线与EF夹角为β，如图丙所示。则（）

A．图甲中若减小入射角θ，则反射光线和折射光线之间的夹角也将变小

B．该新材料的折射率为 $\sqrt2$

C．若该激光在真空中波长为λ，则射入该新材料后波长变为 $\sqrt2\lambda$

D．若该束激光不从光导纤维束侧面外泄，则β角需满足0°＜β＜180°

答案与解析

若采用原答案所需的方向角约定，预期答案BD。

沿半圆柱径向入射，曲面不偏折，图中 $\theta$ 就是材料内到达AB平面时的入射角。反射强度平台从45°开始，所以 $C=45^\circ$ 、 $n=1/\sin C=\sqrt2$ ，B对。

存在折射光时，反射线与折射线在图示一侧的夹角为 $180^\circ-i-r$ ；减小入射角使反射角与折射角都减小，此夹角增大，A错。若起初已超临界，根本没有传播折射线，不能在那里任意比较两线夹角。

频率不变，材料中速度 $v=c/n$ ，故 $\lambda'=\lambda/n=\lambda/\sqrt2$ ，不是 $\sqrt2\lambda$ ，C错。

对裸露空气的直纤维，本题 $n_0=n_2=1,n_1=\sqrt2$ 。端面入射角 $i<90^\circ$ 时，

\sin\theta=\frac{\sin i}{\sqrt2}<\frac1{\sqrt2},

芯内轴角 $\theta<45^\circ$ ，侧壁入射角 $j=90^\circ-\theta>45^\circ=C$ ，所以所有实际朝端面入射的非掠射光都满足本题理想侧壁全反射条件。

D原范围 $0^\circ<\beta<180^\circ$ 依赖把 $\beta$ 作为相对端面方向的方向角，并限制入射方向。若按通常光线与平面的小夹角，应写 $0^\circ<\beta\le90^\circ$ 。这不是普通有包层光纤都具备的全接收范围；通常需按实际 $n_0,n_1,n_2$ 计算。

本题结论

原答案采用方向角约定时预期选BD；n=√2、介质波长λ/√2，裸纤维的特殊结论不能推广到任意光纤。