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电势、电势差与电势能

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场强回答受力怎样，电势回答每单位电荷对应怎样的能量位置。用有符号电荷量把两者连接，便能统一处理做功、势能变化、等势线与几何投影。

一、知识点 概念与依据

电势能：用能量记录静电力做功

静电场中，电场力从A到B的功只由起终位置决定，与路径无关。电荷和电场组成的系统具有电势能，通常把它简称为“电荷的电势能”，记作 EpE_p，单位为焦耳（J\mathrm J）。

WAB=EpA−EpB=−ΔEp.W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}=-\Delta E_p.

能量变化量采用末态减初态；电场力做正功，电势能减少，做负功则增加。这里说的是电场力的功，不能把所有力的总功都当成电势能的减少。

电势能的数值依赖零点，负值只表示低于所选零点，不表示方向，也不表示“没有能量”。同一零点下的能量差与做功不因整体改变零点而改变。孤立点场源常取无穷远为零，但无限延伸的匀强场不能机械照搬这一选择。

若只有电场力做功，动能定理给出 ΔEk=WAB\Delta E_k=W_{AB}，所以 Ek+EpE_k+E_p 守恒；若还有重力、摩擦等力做功，应把它们计入总功，不能仍只守恒这两项。

电势与电势差：场的能量性质

在给定零点下，某处电势定义为电势能与有符号电荷量之比：

φ=Epq,Ep=qφ.\varphi=\frac{E_p}{q},\qquad E_p=q\varphi.

同一场点更换试探电荷，EpE_p 与 qq 一起变化，比值仍反映场自身的性质。电势是标量，单位伏特（V\mathrm V），1 V=1 J/C1\,\mathrm V=1\,\mathrm{J/C}。场强描述受力，电势描述能量，两者不能互相代替：φ=0\varphi=0 不推出 E=0E=0，E=0E=0 也不推出 φ=0\varphi=0。

两点的电势差定义为 UAB=φA−φBU_{AB}=\varphi_A-\varphi_B，下标顺序决定先后；UBA=−UABU_{BA}=-U_{AB}。由势能关系得到

WAB=q(φA−φB)=qUAB.W_{AB}=q(\varphi_A-\varphi_B)=qU_{AB}.

零点改变给两处电势加上同一常数，相减后抵消，所以电势差与零点无关。qq 必须带符号：正电荷从高电势到低电势，电场力做正功；负电荷同样移动，电场力做负功。

题目称“加速电压U”时，常把U作为正的幅值；电子从低电势到高电势仍可获得正功，不能把q=−e与正幅值直接相乘就判减速，应先写实际起终点的UAB。

静电场电势可以作标量叠加；对真空中的静止点场源、各项采用统一的无穷远零点时，点电荷贡献为 kQ/rkQ/r，其中 QQ 带符号。场强却需矢量叠加。因此两个场源在一点电势相消，不表示场强也相消，多个场源问题还不能漏掉第三个源。

等势面和电场方向

电势相同的点构成等势面，平面图中通常画其截线。沿同一等势面移动电荷，电势差为零，电场力总功为零；这并不表示场强为零。

非零场强处，电场方向垂直等势面，并由高电势指向低电势。理由是：如果场强有沿面方向的分量，沿该方向移动正电荷就会做非零功，与面内任意两点 qU=0qU=0 矛盾。不同电势值的等势面不能相交，否则一个点会有两个不同电势。

点电荷的等势面是同心球面，同面上场强大小相等、径向方向不同。

匀强场的等势面是相互平行、垂直于场强的平面。用恒力功 W=qE⋅ΔrW=q\boldsymbol E\cdot\Delta\boldsymbol r 与 qUqU 比较可得

UAB=E⋅AB→=Ed,U_{AB}=\boldsymbol E\cdot\overrightarrow{AB}=Ed,

其中 dd 是A到B沿电场方向的有符号投影，不是斜向位移的全长。若只算大小，用电势差大小除以法向间距。

等差等势面越密，局部场强越大，但必须比较相同电势间隔和法向距离。非匀强场中 ∣Δφ∣/Δn|\Delta\varphi|/\Delta n 只在足够小的间隔内近似当地场强，有限曲线间距不能直接配一个处处相同的E。一般非匀强场中的两个等势点，其整条连线也未必等势。

二、考点 方法与例题

先叠加电势，再乘有符号电荷量

利用对称性前，先列齐所有场源。电势贡献按正负相加，场强贡献按方向相加；比较同一电荷的势能时，用q(φM−φN)检查正负，而不要凭电势大小直接下结论。

例题 01 三个等量电荷的电势叠加

题目

如图所示，正三角形的顶点固定三个等量电荷，其中A带正电，B、C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，取无穷远处电势为零，下列说法正确的是（　　）

三角形三电荷与四等分点
三角形三电荷与四等分点

A．O点的电势等于零

B．M点的电势大于N点的电势

C．M、N两点的电场强度相同

D．负电荷在M点的电势能比在N点大

答案与解析

A、B等量异号，在中点O的电势贡献相消，但负电荷C仍贡献负电势，故 φO<0\varphi_O<0，A错误。M更靠近正源A，N更靠近负源B，A、B产生的电势满足 φM>φN\varphi_M>\varphi_N；C到M、N等距，贡献相同，不改变大小关系，B正确。

A、B在M、N产生的合场相同，但C在两点的场方向不同，叠加后合场不同，C错误。对负试探电荷，EpM−EpN=q(φM−φN)<0E_{pM}-E_{pN}=q(\varphi_M-\varphi_N)<0，D错误。

本题结论

选B。电势作标量和，场强作矢量和。

用两条符号关系互相复核

分别算ΔEp=q(φ末−φ初)和W电=q(φ初−φ末)，两者应互为相反数。电势单位V与能量单位eV分开，1 eV为元电荷通过1 V电势差对应的能量大小，即1.60×10⁻¹⁹ J。

例题 02 电子在三条等势线之间移动

题目

三条等势线如图所示，其中A、B两点在不同等势线上，下列说法正确的是（　　）

电子移动的三条等势线
电子移动的三条等势线

A．电子在A点的电势能为−10 J-10\,\mathrm J

B．电子在A点受到的电场力比B点大

C．电子从A点移动到B点，电场力所做的功为6eV

D．电子从A点移动到B点，电势能减少4eV

答案与解析

图中 φA=10 V\varphi_A=10\,\mathrm V，φB=6 V\varphi_B=6\,\mathrm V，电子电荷 q=−eq=-e。

EpA=−10 eV=−1.60×10−18 J,E_{pA}=-10\,\mathrm{eV}=-1.60\times10^{-18}\,\mathrm J,

WAB=(−e)(10−6) V=−4 eV,ΔEp=+4 eV.W_{AB}=(-e)(10-6)\,\mathrm V=-4\,\mathrm{eV},\quad\Delta E_p=+4\,\mathrm{eV}.

A把eV错写成J；C的6 eV不符，D的势能减少也不符。图中相邻等势线均差2 V，按局部疏密A附近场强更大，同一电子的受力大小也更大，B正确。非匀强图的疏密判断是局部场强趋势，不能把整个曲线间隔一律当成匀强场的精确Ed。

本题结论

选B。电子从10 V到6 V，势能增加4 eV。

找等势线，量沿场投影

先用相等电势或相等做功找等势线；在匀强场中，两等势点的整条连线都等势；还知道场平行图面时，才能由图内的等势线法线确定完整场强方向，并按图内法向距离求场强大小。场强垂直等势面，计算距离取垂直投影。涉及“必能到达”时，还要检查初速度朝向与法向动能。

例题 03 直角三角形中的电势

题目

如图所示，直角三角形abc中bc=4cm，∠acb=30°。匀强电场的电场线平行于三角形abc所在平面，且a、b、c点的电势分别为3V、-1V、3V。下列说法中正确的是（　　）

三角形电势分布
三角形电势分布

A．电场强度的方向沿ac方向

B．电场强度的大小为200V/m

C．质子从b点移动到c点，电场力做功为4eV

D．质子从b点以6eV的初动能射出，必能到达ac所在直线

答案与解析

a、c同为3 V，且场匀强并平行图面，故ac为等势截线。电场垂直ac，指向电势为−1 V的b侧，不沿ac，A错误。过b向ac作垂线，垂足为d：

三角形场强垂直投影
三角形场强垂直投影

db=bcsin⁡30∘=0.04×0.5=0.02 m,db=bc\sin30^\circ=0.04\times0.5=0.02\,\mathrm m,

E=φd−φbdb=3−(−1)0.02=200 V/m.E=\frac{\varphi_d-\varphi_b}{db}=\frac{3-(-1)}{0.02}=200\,\mathrm{V/m}.

B正确。质子由b到c的电场力功为 e(−1−3) V=−4 eVe(-1-3)\,\mathrm V=-4\,\mathrm{eV}，C错误。到ac需要增加4 eV电势能，但只有朝ac的法向初动能可以用于该方向的减速；若初速度平行ac，法向初速度为零，电场力又将其推离ac，不能到达，D的“必能”错误。

本题结论

选B。总初动能足够，不等于任意发射方向都可达。

例题 04 正六角星中的相等做功

题目

如图为一正六角星图形，ABCDEF为其六个顶点。空间内存在一平行于纸面的匀强电场，将一质量为m、带电荷量为＋q的粒子，从A点移到B点电场力做功为W（W＞0），从A点移到D点电场力做功也为W。已知AC边长为L，下列说法正确的是（　　）

六角星做功与电势差
六角星做功与电势差

A．A、B两点间的电势差为3W3q\frac{\sqrt3W}{3q}

B．匀强电场的电场强度为3WqL\frac{\sqrt3W}{qL}

C．将带电粒子从A点移到E点，电场力做功为W2\frac W2

D．将带电粒子从A点移到F点，电场力做功为W2\frac W2

答案与解析

同一个正电荷由A到B和由A到D均做功W，故B、D等势；匀强场内BD为等势线，E垂直BD，并从A侧指向BD侧。

UAB=W/q,U_{AB}=W/q,

因此A选项错误。由两个正三角形组成的正六角星几何，A到BD的垂直距离为

d=2L3cos⁡30∘=L3,E=W/qd=3WqL.d=\frac{2L}{3}\cos30^\circ=\frac L{\sqrt3},\qquad E=\frac{W/q}{d}=\frac{\sqrt3W}{qL}.

B正确。AE平行BD，A、E等势，A到E做功为0，C错误。A到F的沿场投影反向，大小为d/2，故做功 −W/2-W/2，D错误。这里L为AC的长度，不是沿场距离。

本题结论

选B。相等功先给等势关系，几何投影再给场强。

三、坑点 辨析与纠错

漏掉负电荷的符号

常见错法： 电势高处，任何电荷的电势能都更高。

错因与检查： 正q与负q的势能排序相反。写差式EpM−EpN=q(φM−φN)，即使两点电势都是负数也能正确比较；不要靠“正电势、负电势”猜大小。例题01D项正暴露了这个错误。

辨析 01 零点改变以后（自编辨析）

题目

某静电场两点原电势为2 V、−3 V。把电势零点改变后，两点电势都增加7 V。一个电荷从第一点移到第二点，电场力做功会改变吗？

答案与解析

不会。原电势差2−(−3)=5 V，新电势差9−4=5 V。做功均为q×5 V，q的符号决定功的正负。零点改动使各处电势及势能数值共同平移，不改变两点差。

本题结论

电势差、势能变化与电场力功不依赖共同零点的改变。

把等势误读成零场、零功误读成全程不变速

常见错法： 等势面上E为零；两端等势就说明沿任意路径运动时速度始终不变。

错因与检查： 等势面只说明沿面位移与电场垂直。若路径离开等势面再返回，过程中电场功可以先正后负，总功才为零；有其他力时还要算总功。

用斜边替代投影、用总动能替代法向动能

常见错法： U=Ed中的d直接取两点连线长度；粒子总能量够就一定到指定等势线。

错因与检查： 先画等势线法线，再将位移和初速度沿法线分解。平行等势线的速度分量不会在匀强电场中自动转成爬升所需的法向动能。具体反例见例题03。