纸带与光电门验证机械能

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验证必须让高度和速度来自独立测量。势能变化的正负、计时区间和球心几何都明确后，才比较实验数据与守恒模型。

一、知识点概念与依据

独立测量，不用待证关系反算

研究重物与地球系统。下降高度 $h>0$ 时，重力势能变化量 $\Delta E_p=-mgh$ ，势能减少量才是 $+mgh$ ；动能变化 $\Delta E_k=m(v_2^2-v_1^2)/2$ 。只受重力做功时，两变化量相加为零。

高度与速度须独立测得，不能先用 $v=\sqrt{2gh}$ ，再代回能量式“验证”。用 $v=gt$ 也预先假定了自由落体模型，应从纸带或光电门实际计时求速度。质量在两边可约掉，不是这种比较所必需的独立测量量。

纸带速度与初始状态

计时器、限位孔、纸带及下落方向对齐，纸带竖直，选密度较大的重物以减小空气阻力相对影响，释放时重物靠近计时器以保留足够纸带。由教师按器材要求操作，先稳定计时再静止释放，不在本页提供电源接线说明。

连续A、B、C点间隔 $T$ ，到O距离 $h_1,h_2,h_3$ ，则 $v_B\approx(h_3-h_1)/(2T)$ ；恒加速度时中点公式精确，一般下落用小间隔近似。只有O近似零速，才有

\Delta E_k\approx\frac{m(h_3-h_1)^2}{8T^2},\qquad\Delta E_p=-mgh_2.

若O不是静止释放点，要扣初动能，或另选两个非初始点分别测速。首两点约2 mm只是50 Hz、 $g\approx10\,\mathrm{m/s^2}$ 和静止释放时 $gT^2/2$ 的估计，不是所有器材的固定标准。

光电门记录的是局部遮光时间

测球直径 $d$ ，光束尽量过球心，有效遮光长度才接近 $d$ ；短时间平均速率 $v\approx d/t$ 用于估计最低点瞬时速率， $t$ 不是全程下落时间。用遮光条则应取沿运动方向的宽度，不能把球的公式照搬。

本题 $l$ 是夹子到球上端绳长，水平静止释放到最低点，球心下降 $h=l+d/2$ 。在绳不可伸长、悬点固定、小球近似质点且阻力可忽略的模型中比较

mg\left(l+\frac d2\right)\quad\text{与}\quad\frac12m\left(\frac dt\right)^2.

有限球径先用于高度和遮光几何，题设没有转动动能数据，不能自行编造补项。

二、考点方法与例题

方法一：先判释放姿势，再核能量符号

看完整图，不仅看纸带竖直，还看重物是否靠近计时器、手是否拉纸带上端。然后从纸带直接取高度、两侧点估速度，明确O零速条件，比较正的动能增加量与正的势能减少量。阻力通常使动能增加较少，但测高、计时误差也需检查，不能修改读数凑相等。

例题 01 纸带释放与能量变化的测量（原题）

题目

某兴趣小组的几位成员做“验证机械能守恒定律”的实验。

(1)下图是四位同学释放纸带瞬间的照片，操作正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

(2)关于上述实验，下列说法中正确的是（　　）

A．重物最好选择密度较大的铁块

B．重物的质量必须测量

C．实验中应先接通电源，后释放纸带

D．可以通过纸带测量物体的下落高度h，再代入公式 $v=\sqrt{2gh}$ 求解瞬时速度

(3)若某同学正确操作得到如图所示的纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为 $h_{1}$ 、 $h_{2}$ 、 $h_{3}$ 。已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，设重物的质量为m。从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能变化量为，重物的动能变化量为。（结果用题设字母表示）；

(4)从打O点到打B点的过程中，重物会受到空气阻力的作用，纸带与限位孔之间也存在相互作用的摩擦力，因此，重物的重力势能变化量的测量值与真实值相比会。（填“偏大”“偏小”或“不变”）

答案与解析

（1）按本页实际所附图选B。B的纸带竖直，手持上端，重物靠近计时器；A虽也竖直，但重物已远在下方，计时器上方可用纸带短。C、D的下方托持或抓重物不是规范上端持带释放。原材料答案A与所附图不一致，这里据图更正，不替换题图。

（2）AC。密度较大减小空气阻力相对影响；两边质量可消去，B不是必要条件。先计时后释放有利完整记录；D用待验证关系求速度，形成循环论证。

（3） $\Delta E_p=\boxed{-mgh_2}$ ，不是原解的正号；负号来自末高度减初高度。O近似零速时， $v_B\approx(h_3-h_1)/(2T)$ ，故 $\Delta E_k\approx\boxed{m(h_3-h_1)^2/(8T^2)}$ 。若O非零速，还须减去 $mv_O^2/2$ 。

（4）不变，指同一真实运动中由准确测得高度求势能变化，阻力不另给高度定义加修正项。这不表示存在阻力时动能增量仍等于 $mgh_2$ 。

方法二：把独立能量比较变成直线检验

直径从卡尺读出并换成m；每次记录 $l,t$ ，固定 $d$ 而移动夹子改变 $l$ 。从能量比较式约去 $m$ ，两边乘2得 $2gl+gd=d^2/t^2$ ，再除 $d$ ：

\frac d{t^2}=\frac{2g}{d}l+g.

纵轴 $d/t^2$ 、横轴 $l$ ，截距应为 $g$ 且斜率应为 $2g/d$ 。不能仅因一个截距相符就忽略其他数据和误差。

例题 02 单摆小球的光电门与图线（原题）

题目

某同学用如图甲装置验证机械能守恒定律，上端固定在铁架台顶部，下端系一小球，小球自然下垂位置处固定一光电门， $P$ 是可移动的夹子，已知当地重力加速度为 $g$ 。

(1)用游标卡尺测得小球的直径 $d$ 如图乙，则 $d=$ mm；用毫米刻度尺测得夹子下端到小球上端的细线长度为 $l$ 。

(2)将细线水平拉直，使小球从与夹子下端等高处由静止释放，记录小球通过光电门的遮光时间 $t$ ，则小球通过最低点时的速度大小 $v=$ （用所测物理量符号表示）；

(3)本实验中，满足关系式，则验证了机械能守恒（用所测物理量符号表示）；

(4)移动 $P$ 的位置多次实验，将实验数据描绘在 $\frac d{t^2}-l$ 坐标平面上得到如图丙所示的图线。已知图线的纵截距为 $b$ ，当满足 $b=$ 时，则验证了机械能守恒；

(5)实验中发现小球动能的增加量总是大于势能的减少量，可能的原因是（写出一个即可）。

答案与解析

（1）主尺19 mm，游标第5格对齐、每格0.05 mm，所以 $d=19+5\times0.05=\boxed{19.25\,\mathrm{mm}}=0.01925\,\mathrm m$ 。

（2）短遮光区间、光束过球心时， $v\approx\boxed{d/t}$ ，不是任意长时间段严格瞬时值。

（3）检验 $g(l+d/2)\approx\tfrac12(d/t)^2$ ，等价于 $\boxed{d/t^2=(2g/d)l+g}$ 在测量误差内成立。

（4） $\boxed{b=g}$ ，同时检查斜率 $2g/d$ 。

（5）可能光电门未对准球心，例如偏低，实际遮光弦长小于 $d$ ，但仍用 $d/t$ 计算就高估速率和动能。原解用 $v=\omega r$ 说移动光束改变球心轨道半径，理由不成立：球心半径仍由 $l+d/2$ 决定，误差来自采用错误遮光长度。