玻尔模型与氢原子能级

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能级线标原子的总能量，跃迁光子带走两能级之差。总能量降低，并不要求电子动能也降低。

一、知识点概念与依据

1. 定态与跃迁是假设，不是经典轨道自然结论

核式结构给出了小核，但纯经典电磁学中绕核加速的电子应辐射、损能并趋向核，无法解释稳定原子与离散光谱。玻尔提出允许能态分立：电子处于相应定态时不持续辐射，定态间跃迁吸收或发射能量等于能级差的光子。

基态是最低能态，其他束缚态为激发态。模型不是说任意经典圆轨道都不辐射；跃迁也不是沿可追踪的经典螺旋轨道慢慢爬行。玻尔模型主要用于氢及类氢单电子体系的高中近似；现代量子理论使用波函数和概率分布，不给电子一条小行星式确定轨迹。

2. 圆轨道模型中的三种能量

对氢原子的玻尔圆轨道，近似固定核，库仑力提供电子向心力：

\frac{ke^2}{r^2}=\frac{m_ev^2}{r},\qquad E_k=\frac12m_ev^2=\frac{ke^2}{2r}.

以电子和核相隔无限远时电势能为零：

E_p=-\frac{ke^2}{r},\qquad E=E_k+E_p=-\frac{ke^2}{2r}.

$k$ 是静电力常量， $e$ 为元电荷， $r$ 用 m 时各能量用 J。半径减小，电子动能增大、电势能减小且减幅更大，总能量反而降低。不要把“原子能量”只认成电子动能。

3. 氢原子的能级标尺

E_n=-\frac{13.6}{n^2}\,\mathrm{eV},\qquad n=1,2,3,\ldots

零点选电子与核无限分离且相对动能为零的电离阈值。束缚态能量为负，越接近零反而越高： $-3.40\,\mathrm{eV}>-13.6\,\mathrm{eV}$ 。玻尔轨道半径随 $n^2$ 增大，结合 $E\propto-1/r$ 得到能级的 $-1/n^2$ 形式；相邻能级随 $n$ 增大越来越密。

此处采用原题与玻尔近似，不含精细结构等修正；氢的系数 $13.6$ 不能原样套多电子原子。 $n\to\infty$ 是电离边界，不是普通有限半径轨道。

4. 辐射能量与电离能

从高能级 $E_n$ 到低能级 $E_m$ ：

E_\gamma=h\nu=E_n-E_m>0,\qquad\lambda=\frac{hc}{E_\gamma}.

向上束缚态激发则需吸收相应能级差。频率用 Hz、波长用 m 时，先将 eV 换成 J。改变共同能量零点不改变能级差，因此光子能量不依赖零点选择。

从初能级 $E_n$ 电离的最小能量是 $0-E_n=13.6/n^2\,\mathrm{eV}$ 。只有终点正好为零时才等于初能级绝对值；不同激发态的电离阈值不都等于基态的 $13.6\,\mathrm{eV}$ 。电离后可有连续电子动能，与离散束缚态激发条件不同。

二、考点方法与例题

方法：带符号读值，高减低

找初末能级，保留负号，不先取绝对值。
发射取高减低得到正能量；若比较同一终能级的谱线，起点越高能量差越大。
比波长时反向排序：能量大、频率高、真空波长短；单纯比较无需算完所有数值。
另核题目是否单个原子、是否再激发、是否讨论电离，不因为能量差一项正确就把所有选项一并判对。

例题 01 氢原子模型中的能量变化（原题，多选）

题目

（多选）下列说法中正确的是（　　）

A．氢原子处于基态时，能级最低，状态最稳定

B．氢原子由高能级向低能级跃迁后，电子的动能和电势能都减小

C．玻尔理论成功解释了氢原子光谱的分立特征

D．光子的能量大于氢原子基态能量绝对值时，不能被氢原子吸收

答案与解析

选 AC。基态总能量最低，A 对。下跃迁时半径变小，由 $E_k=ke^2/(2r)$ 可知动能增大，而电势能减少，B 说两者都减小错误。玻尔的定态与跃迁假设解释氢谱分立特征，C 对。

光子能量大于基态电离阈值时，存在吸收并使原子电离的可能，多余能量进入电子等末态能量；D 忽略电离，因此错误。“可以吸收”不等于每个入射光子必然吸收。

本题结论

总能量减小可与电子动能增大同时发生。

例题 02 氢原子的四条可见谱线（原题）

题目

图甲中 $H_{α}$ 、 $H_{β}$ 、 $H_{γ}$ 、 $H_{δ}$ 为氢原子在可见光区的四条谱线，它们分别是氢原子从能级3、4、5、6向能级2跃迁时放出的。图乙为氢原子的能级示意图，下列说法正确的是（　　）

A．谱线 $H_{α}$ 的光子能量为3.02eV

B．四种谱线中， $H_{δ}$ 的光的波长最短

C．一个处于能级4的氢原子向低能级跃迁可以辐射出6种光子

D．只有能量值为13.6eV的光子才可以使处于基态的氢原子电离

答案与解析

选 B。 $H_\alpha$ 对应 $3\to2$ ，

E_\alpha=-1.51-(-3.40)=1.89\,\mathrm{eV},

不是 $3.02\,\mathrm{eV}$ ，A 错。四条线都到 2 级， $6\to2$ 的 $H_\delta$ 能量差最大，故频率最高、波长最短，B 对。

单个 4 级原子无再激发的一次退激最多按 $4\to3\to2\to1$ 发出三次光子；六种是大量原子覆盖不同路径的高中理想计数，不是一个原子的一条路径，C 错。

达到或超过基态电离阈值的光子均可能使原子电离，不限恰好 $13.6\,\mathrm{eV}$ ，D 错。