刹车问题先找停车时刻，追及问题先统一位置和时间。公式没有自动识别“已经停下”或“车辆有尺寸”的能力，模型边界必须由题意提供。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 停车后静止，是一个新的运动阶段

取原行驶方向为正，初速度$v_0>0$，减速加速度的大小记为$b>0$，实际加速度为$a=-b$。匀减速刹车阶段有

$$v=v_0-bt,\qquad x=v_0t-\frac12bt^2.$$

令$v=0$，得到停止时间与停止距离：

$$t_\text{停}=\frac{v_0}{b},\qquad x_\text{停}=\frac{v_0^2}{2b}.$$

停车距离可把$t_\text{停}=v_0/b$代入位移式：$v_0(v_0/b)-b(v_0/b)^2/2=v_0^2/(2b)$；也可由$0-v_0^2=-2bx_\text{停}$求得。

若题设停车后保持静止，则完整模型须分支：

$$v(t)=\begin{cases}v_0-bt,&0\le t\le t_\text{停},\\0,&t>t_\text{停},\end{cases}$$

$$x(t)=\begin{cases}v_0t-\frac12bt^2,&0\le t\le t_\text{停},\\v_0^2/(2b),&t>t_\text{停}.\end{cases}$$

$x$为从刹车开始的位移，单位m；$t$单位s，$v_0$单位m/s，$b$单位m/s²。超过停车时刻继续使用第一支，会得到负速度和变小的位移，描述的是另一个“允许反向且加速度不变”的数学模型，不是停车后静止。

并非任何$v=0$之后都保持静止。斜面上滑后可能滑下，竖直上抛会在最高点换向；是否继续套同一公式，要看此后的力和运动规律，而非只看“速度曾经为零”。

2. 反应距离、制动距离与全程平均速度

从发现情况到开始制动的反应时间$t_r$，若车辆仍以$v_0$匀速行驶，反应距离为$v_0t_r$。在随后匀减速停车、路面直线且没有倒车的理想模型中，总停车距离为

$$s_\text{总}=v_0t_r+\frac{v_0^2}{2b}.$$

这个式子只是给定模型的计算，不是现实驾驶安全距离标准；路面、车辆和人的状态都会影响实际过程。

平均速度始终取所问全段的总位移除以总时间。若统计刹车开始后5秒，而4秒就停了，分母仍是5秒；若从发现情况计时，还要把反应时间计入。全程含匀速反应段或静止段时，不能使用全过程初末速度的算术平均。

3. 追及的根本条件是同一时刻的位置关系

两车在同一直线上同向运动，A初始在后，B在前，初始间距为$L$。选共同原点和计时起点，写

$$X_A(t)=x_A(t),\qquad X_B(t)=L+x_B(t).$$

相遇要求$X_A=X_B$，即两者累计位移差补足原来的间距。定义带符号位置差$d(t)=X_B-X_A$，在A尚未越过B时，它就是间距；越过后实际距离是$|d|$，不能把负$d$叫负距离。

两车速度相等只表明位置差的变化率为零，是最小或最大间距的候选时刻，不自动说明相遇。要检查该时刻前后的相对速度、所处运动阶段，以及区间端点：A更快时$d$减小，A更慢时$d$增大，才能判定共速时为最小值。

“刚好不相撞”题常使用质点临界模型，让最小间距取零作为安全与碰撞的边界；严格保持不接触通常要求间距大于零。若给车长或要求实际车身间隙，应使用相应几何距离，不能无视车辆尺寸。

二、考点 方法与例题

1. 先求停时，再代所问时刻

先把km/h换成m/s，写出$t_\text{停}$；比较所问时刻与停时，选择运动或静止分支。计算某段位移要取该段起止的累计位移差，计算平均速度则使用题目要求的整个时长。

例题 01 超过停时，不会因公式得到负速就倒车

题目

2024年11月25日至27日，黑龙江省大部分地区出现了一次大范围的降雪，给人们的出行造成了一定的影响。一辆卡车在冰雪路面上以$36\,\mathrm{km/h}$的速度匀速行驶，由于前方出现事故司机紧急刹车，假设刹车过程做匀减速直线运动，已知刹车的加速度大小$a=2.5\,\mathrm{m/s^2}$，则下列说法中正确的是（     ）

A．刹车后第1s内的位移为8m

B．刹车后5s内卡车前进的距离为18.75m

C．刹车后5s内的平均速度为4m/s

D．刹车后6s末的瞬时速度大小为5m/s

答案与解析

将36 km/h化为10 m/s，减速度大小$b=2.5\,\mathrm{m/s^2}$，故$t_\text{停}=10/2.5=4\,\mathrm s$，停车距离$x_\text{停}=10^2/(2\times2.5)=20\,\mathrm m$。

第一秒在停车前，位移$10\times1-2.5\times1^2/2=8.75\,\mathrm m$，A错误。5 s超过停时，此时累计距离仍为20 m，B的18.75 m是把5 s误代停车前公式得到的越界结果。

5秒内平均速度$20/5=4\,\mathrm{m/s}$，C正确。6 s已保持静止，瞬时速度为0；若把$10-2.5\times6=-5$再取绝对值成5，只是把错误外推包装成速率，D错误。

本题结论

选C。停时4 s，停车距离20 m，5秒内平均速度4 m/s。

2. 反应后重设计时，最近时刻再检验

先算反应阶段双方各自位移和剩余间距。如果从制动开始重新计时，用新变量$\tau$，不要沿用原始间距；再写双方位置差，找共速候选时刻并检验其在停车前。以临界最小间距求未知减速度后，回到原计时起点核算总位移、总时间和其他选项。

若题问普通相遇，直接解$X_A(t)=X_B(t)$，但代数根还须过三道检查：时间非负、落在所列公式的有效运动阶段、代回该阶段的位置关系成立。负时间根或已经越过停车时刻的刹车段根都应舍去；若其他阶段仍可能相遇，应改用那个阶段的分支方程重新求解，而不是把舍根当成全过程永不相遇。

例题 02 反应时间之后的最小间距

题目

在一个大雾天气中某单行直道上汽车A以速度$20\,\mathrm{m/s}$匀速行驶，汽车B以$8\,\mathrm{m/s}$匀速行驶，B在A的前面，A、B相距$30\,\mathrm{m}$的时候，A车司机发现前方的B车，A司机经过$0.5\,\mathrm{s}$的反应时间进行刹车，刹车后匀减速前进，B一直匀速前进，A、B刚好没有相撞，则(　　)

A. 汽车A刹车的加速度大小为$3{m/s}^{2}$

B. 汽车A、B相距$6\,\mathrm{m}$时，汽车A的速度可能是$12\,\mathrm{m/s}$

C. 从汽车A发现汽车B到A、B相距最近，汽车A总共前进了$66\,\mathrm{m}$

D. 从汽车A发现汽车B到刹车停止运动的过程中，汽车A的平均速度为$10\,\mathrm{m/s}$

依据题干自绘的初始位置示意：A在后以20米每秒行驶，B在前以8米每秒行驶，两者相距30米

依据题干自绘的质点位置示意，图中只呈现已知量。

答案与解析

反应0.5 s内A走$20\times0.5=10\,\mathrm m$，B走$8\times0.5=4\,\mathrm m$，间距从30 m缩为24 m。刹车开始重新计时为$\tau$，减速度大小设$b$，停车前的间距为

$$d(\tau)=24+8\tau-(20\tau-\tfrac12b\tau^2)=24-12\tau+\tfrac12b\tau^2.$$

A速度$20-b\tau$降至8 m/s时，两车共速，$\tau_*=12/b$。它小于A的停时$20/b$，在刹车段内部；此前A较快、间距减小，此后A较慢、间距增大，故是最小间距时刻。

按题源的质点临界模型，令$d_\text{min}=24-72/b=0$，得$b=3\,\mathrm{m/s^2}$，A正确。此时$\tau_*=4\,\mathrm s$，发现后共经历4.5 s，A总位移

$$s_A=10+20\times4-\frac12\times3\times4^2=66\,\mathrm m,$$

C正确。这个零间距是临界边界，不是建议真实车辆可以零距离行驶。

检验B：A速度12 m/s时，$\tau=(20-12)/3=8/3\,\mathrm s$，代入间距式得$d=8/3\,\mathrm m$，不为6 m。A停车前速度单调减小，12 m/s只出现一次；停车后速度为零，所以不能在另一个时刻补出B所说情形。

到A停车，总位移$10+20^2/(2\times3)=230/3\,\mathrm m$，总时间$0.5+20/3=43/6\,\mathrm s$，平均速度

$$\bar v_A=\frac{230/3}{43/6}=\frac{460}{43}\,\mathrm{m/s}\approx10.7\,\mathrm{m/s},$$

不是D的10 m/s。原资料B项把时间变量混写为$t$，本解始终使用同一$\tau$核算，不沿用混写。

本题结论

按题源临界模型选AC。减速度大小3 m/s²，最近时A共前进66 m。

三、坑点 辨析与纠错

1. 负速度不是停车题的“新答案”

常见错法： 停车后继续套$v_0-bt$，算负数后取绝对值当速率。

错在何处： 不是符号算错，而是运动规律的适用时段已经结束。公式必须服从“停后静止”的题意。

自查： 在所有代入前先写$t_\text{停}$，所问时刻在右侧就用静止分支。例题01的5 s和6 s都不能继续套刹车前公式。

2. 共速只是候选，重新计时也要重算间距

常见错法： 说“速度一样，所以碰到一起了”；或者从制动开始计时，却仍用发现时的30 m初间距。

错在何处： 速度决定间距如何变化，不直接给间距。反应时两车都在运动，位移差已改变初始间距。

自查： 先写位置差，再用共速找其极值，检查阶段范围和端点。例题02制动开始间距24 m，而非30 m；最近时两车都还以8 m/s运动，并没有同时停车。

3. 全程平均量必须包含反应和静止阶段

常见错法： 一律用$(v_0+0)/2$计算从发现障碍到停车的平均速度，或只除真正刹车的时间。

错在何处： 端点平均要求全段恒加速度；反应段加速度为零，刹车段为负，不能合成一个恒加速度阶段。统计停后的一段时间也会改变平均速度。

自查： 逐段累计位移与时间，再作一个比值，不把段平均值随意算术平均。

在例题01中，$20/4=5\,\mathrm{m/s}$对应前4秒，$20/5=4\,\mathrm{m/s}$才对应题问的前5秒；两种比值并不矛盾，研究的时间段不同。

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