弹簧弹力与形变量的实验测量

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先建立长度基准，再把静止时的力与对应形变量配对。多根弹簧共同工作时，还须辨清总力与单根力。

一、知识点概念与依据

力与形变量须独立测得

在弹性限度内，轻弹簧的弹力大小 $F=kx$ 。本章讨论伸长情形， $x=l-l_0$ 是相对于自然长度 $l_0$ 的伸长量，单位m； $F$ 单位N，劲度系数 $k$ 单位N/m。竖直悬挂同一轻弹簧，用未挂钩码时的自由下垂长度作基准，以同一姿态测有载长度，避免混用不同方向的长度。

待钩码静止后，单钩码模型的弹力才等于 $mg$ ；振动中还存在加速度，不能无条件用重力替代瞬时弹力。逐次加载应不超弹性限度，卸载检查能否恢复，永久形变不属于原线性模型。

数据图像的斜率与截距

逐组记录质量、力、当前长度、伸长量，统一换成kg、N、m，不跨组错配。横轴 $x$ 纵轴 $F$ 的线性拟合斜率为 $k=\Delta F/\Delta x$ ；若横轴是总长 $l$ ， $F=k(l-l_0)$ ，横截距应为 $l_0$ ，不能强迫通过原点。

多组数据才能检验近似线性；一组 $F/x$ 只能在假定胡克定律成立时算系数，不能单独验证该定律。拟合看总体趋势，不逐点硬连，不为直线好看随意删数据。

五根并列弹簧用前后增量

五根相同弹簧两端连同一手柄，共同伸长 $\Delta x$ ，新增总力为 $5k\Delta x$ 。新增质量 $m$ 且前后静止时：

mg=5k\Delta x,\qquad k=\frac{mg}{5\Delta x}.

这里 $mg$ 是新增负重， $\Delta x$ 是新增伸长，不必假设原来的手柄没有重量。若上指针固定，下指针的前后读数差等于伸长增量；若上端也移动，须分别求两次上下指针间距再相减。

二、考点方法与例题

方法：读位置、求增量、分总力

先看刻度最小分度并合理估读，区分“尺上位置”“两端距离”“相对自然长的伸长”。确认上端是否固定，再算前后长度差；最后由并列根数分配新增力，代入SI单位。题中地区重力背景仅照原材料作为给定数值使用，不作现实地域测值认证。

例题 01 五根弹簧拉力器的刻度与劲度系数（原题）

题目

为了全面提升学生体质健康水平，培养终身运动的习惯。某学校准备购买一批健身器材，图甲是一款健身房中常用的拉力器，该拉力器由两个手柄和5根完全相同的长弹簧组成。为了测量该拉力器中长弹簧的劲度系数，某同学设计了如下实验步骤：

（1）在铁架台上竖直固定一刻度尺，将该拉力器竖直悬挂在旁边，拉力器两侧手柄上固定有刻度线指针，如图乙所示（乙图仅为拉力器的示意图，拉力器实际有5根完全相同的长弹簧），调整好装置，待拉力器稳定后，上方指针正好与刻度尺 $x_1=10.00\,\mathrm{cm}$ 处刻度线平齐，下方指针正好与 $x_2=60.00\,\mathrm{cm}$ 处刻度线平齐。

（2）在拉力器下挂上m=10kg的负重，稳定后拉力器下方指针所指刻度如图丙所示，则刻度尺的读数 $x_{3}$ = cm。

（3）在（2）中的负重下，每根弹簧（5根完全相同的长弹簧忽略自重）的形变量Δx= cm。

（4）通过查阅相关资料得知，云南省大部分地区的重力加速度约为 $9.78\,\mathrm{m/s^2}$ ，则每根长弹簧的劲度系数k= N/m（结果保留3位有效数字）。

答案与解析

（2）图丙1 cm分10格，指针在84.5 cm处，按毫米分度估读记录为 $84.50\,\mathrm{cm}$ 。

（3）上端固定，新增伸长

\Delta x=x_3-x_2=84.50-60.00=24.50\,\mathrm{cm}=0.2450\,\mathrm m.

原题称“形变量”，此处按负重前后的伸长增量理解；初始手柄若使弹簧已伸长，不能把24.50 cm当作从自然长起算的总伸长。

（4）新增负重为 $10\times9.78=97.8\,\mathrm N$ ，每根分担 $19.56\,\mathrm N$ ，所以

k=\frac{97.8}{5\times0.2450}\,\mathrm{N/m}\approx79.8\,\mathrm{N/m}.

保留3位有效数字。初始两端间距 $60.00-10.00=50.00\,\mathrm{cm}$ 无需假定为自然长度，增量法已消去不变的初始负担。