波的干涉：先相位，后路径差

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路径差只是总相位差的一部分。源先同相还是反相、两波是否都已到达、问的是振幅还是此刻速度，决定了分析顺序。

一、知识点概念与依据

1. 叠加不一定形成稳定干涉

在线性小振幅模型中，同一点同方向的实际位移等于各波单独引起位移的和： $y=y_1+y_2$ 。两波相遇可叠加，但只有频率相同、相位差恒定，且振动方向相同或有可叠加的共同分量时，才可形成稳定的加强、减弱分布，称为干涉。

两波到达某点同相，正最大与正最大同步，合振幅为 $A_1+A_2$ ；反相时一个向上另一个向下，合振幅为 $|A_1-A_2|$ 。只有到达振幅也相等，反相点才始终静止。加强、减弱比较的是合振幅，不是某时刻位移的正负。

2. 总相位差包含源相位与传播延迟

设两源初相位分别为 $\varphi_1,\varphi_2$ ，到目标点的路程为 $r_1,r_2$ ，波长相同。在两波都到达以后，分别写

y_i=A_i\sin\left(\omega t+\varphi_i-\frac{2\pi r_i}{\lambda}\right),

则该点相位差

\Delta\varphi=(\varphi_2-\varphi_1)-\frac{2\pi(r_2-r_1)}{\lambda}.

$r_1,r_2,\lambda$ 用m，相位用rad。总相位差为 $2\pi$ 整数倍时最强，为奇数倍 $\pi$ 时最弱；相差 $2\pi$ 的表达物理等价。用“延迟”写减号，若采用另一差值方向须一致，不能任意改一项符号。

同频两源同时从原点同方向起振为同相，反方向起振为反相；起振时刻不同也会造成相位差。有其他固定相位差时直接代总相位式，不强套下表。

源的初相位关系	$\lvert r_2-r_1\rvert=n\lambda$	$\lvert r_2-r_1\rvert=(2n+1)\lambda/2$
同相源	加强	减弱
反相源	减弱	加强

$n$ 为非负整数。传播一个波长多延迟 $2\pi$ ，半波长多延迟 $\pi$ ；反相源已有 $\pi$ 差，故加强、减弱条件互换。

3. 稳定振幅不等于瞬时位移

先确认两波都已到达。到达之前只能分析已经传来的扰动，不能提前套稳态干涉。加强点仍会经过平衡位置，不是时时处于最大位移，更不是时时速度零；减弱点若两波振幅不同，仍有残余振动。

问某时刻状态时，各波的有效振动时间分别为 $t-r_i/v$ ，先按各自初始状态求位移和速度，再叠加。干涉重新分配能量的空间分布，局部抵消并不表示总能量消失。固定路径消声只针对相应频率和相位条件，不保证各种噪声全被消除。

二、考点方法与例题

1. 判加强或减弱的顺序

核同频、相位差恒定、振动方向及到达条件。
由 $\lambda=v/f$ 或图像求波长，峰谷间距不要当整波长。
由坐标、勾股等求实际路径，不依赖示意图比例。
读源起振方向、时刻，将初相位差与传播相位差合并。
判断合振幅；若问完全静止，还须两列波到达振幅相等。

2. 问此刻速度，另外做一次时间账

分别求 $r_1/v,r_2/v$ ，从观察时刻减去到达时间。两波都到达后，再按各自已经振动多少个周期判断端点、原点及方向。不能从“加强点”直接跳到“速度为零”。

例题 01 分流管道中的声波叠加（多选）

题目

消除噪声污染是当前环境保护的一个重要课题。如图所示的消声器可以用来削弱高速气流产生的噪声，波长为λ的声波沿水平管道自左向右传播，在声波到达a处时，分成上下两束波，这两束声波在b处相遇时可削弱噪声。设两束波由a到b处过程中通过的路程分别为 $r_1$ 和 $r_2$ ，其路程差 $\Delta r=r_2-r_1$ ，则下列说法中正确的是（　　）

A．该消声器工作原理是利用声波的干涉

B．该消声器工作原理是利用声波的衍射

C． $\Delta r$ 是半波长 $\frac\lambda2$ 的偶数倍

D． $\Delta r$ 是半波长 $\frac\lambda2$ 的奇数倍

答案与解析

答案：AD。

两路从同一分流点a出发，按题目忽略额外反射相位变化的理想模型，初始同相。到b要互相削弱，路程差须使两波反相，即奇数个半波长，D对；偶数个半波长是整波长，反而同相加强，C错。

这里工作原理是两路声波的干涉，A对；衍射是绕过障碍进入几何阴影区的传播现象，不是本题分路消声的依据，B错。AD不表示同一结构对任意频率都同样消声，也不保证到达振幅不等时完全静止。

本题结论

AD。路径差使同源两路在汇合处反相。

例题 02 反向起振的双源与C点状态（多选）

题目

如图所示， $A(0,0)$ 、 $B(8,0)$ 、 $C(0,6)$ 在xy平面内，两波源分别置于A、B两点。 $t=0$ 时，两波源同时从平衡位置起振，起振方向相反且垂直于xy平面。频率均为5Hz。两波源持续产生振幅相同的简谐横波，波分别沿AC、BC方向传播，波速均为40m/s。下列说法正确的是（　　）

A．C点是振动加强点

B．C点是振动减弱点

C． $t=0.4\,\mathrm{s}$ 时，C处质点速度为0

D． $t=0.4\,\mathrm{s}$ 时，C处质点速度不为0

答案与解析

答案：AC。

由坐标和图示单位， $AC=6\,\mathrm m$ ， $BC=\sqrt{8^2+6^2}\,\mathrm m=10\,\mathrm m$ 。又

T=1/f=0.20\,\mathrm s,\qquad\lambda=v/f=8\,\mathrm m.

路径差为4m，即 $\lambda/2$ ；两源反向起振，初相位差 $\pi$ ，所以总相位差 $\pi-\pi=0$ ，C为加强点，A对、B错。原解析用 $\pi+\pi=2\pi$ ，按 $2\pi$ 周期等价，结论相同。

两波到达时间分别

t_1=6/40=0.15\,\mathrm s,\qquad t_2=10/40=0.25\,\mathrm s.

在0.25s之后两波才共同作用。观察时刻0.4s，A来的波已在C作用 $0.25\,\mathrm s=5T/4$ ，B来的波已作用 $0.15\,\mathrm s=3T/4$ 。两源起振方向相反，使两列波此刻在同一侧端点，位移同向最大、速度分别为零，故合速度零，C对、D错。若反过来选择A的初始正负方向，最终端点侧别反转，但零速度和加强结论不变。