匀变速直线运动的规律

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加速度恒定把速度与时间连成直线，也让位移、平均速度和等时间位移差形成同一套关系。公式的作用不是替代模型判断，而是在同一运动阶段内互相转换已知量。

一、知识点概念与依据

1. 恒定的是加速度，不是每秒位移

沿直线运动且加速度大小、方向都不变，称为匀变速直线运动。在同一正方向下，用 $v_0$ 表示本段初速度、 $v$ 表示末速度、 $a$ 表示恒加速度、 $t\ge0$ 表示从本段起点经历的时间。国际单位依次为m/s、m/s、m/s²、s。

在 $t>0$ 的时间段内，由 $a=(v-v_0)/t$ 得

v=v_0+at.

所得速度公式在 $t=0$ 时也成立。相同时间内速度的变化量 $a\Delta t$ 相同， $v-t$ 图为直线。这里“匀”并不表示速度或每秒位移相同。 $a=0$ 时公式退化为匀速直线运动关系。

加速与减速仍看 $a$ 和当前 $v$ 的方向。若 $a$ 持续恒定且允许反向，物体可以先减速至零、再向相反方向加速；若实际刹停后保持静止，则停车时原阶段结束，不能把原 $a$ 继续外推。

2. 位移公式与速度—位移关系

以 $x$ 表示本段有向位移而非末位置坐标。 $v-t$ 直线下的有向面积可拆成矩形和三角形：

x=v_0t+\frac12(v-v_0)t=v_0t+\frac12at^2.

也可写 $x=(v_0+v)t/2$ 。将两边乘 $2a$ ，再用 $at=v-v_0$ 消去时间，得

2ax=(v_0+v)(v-v_0)=v^2-v_0^2.

这个推导没有除以 $a$ ，形式上包含 $a=0$ ，但 $a=0$ 时第二式只说明两端速率相同，不能单独用它求位移。

已知条件更适合哪种式子	公式	特别检查
已知初速、加速度和时间，求末速	$v=v_0+at$	$a$ 带方向
已知初速、加速度和时间，求位移	$x=v_0t+at^2/2$	$x$ 不是路程的通用替身
无须引入时间	$v^2-v_0^2=2ax$	平方抹去速度方向，开方要判正负
已知两端速度与时间	$x=(v_0+v)t/2$	整段恒加速度

各量必须属于同一段，使用同一正方向。需要末位置时，另加本段初位置；途中反向时位移公式仍成立，但路程应在反向处拆段，累计各段位移的大小。

3. 平均速度等于中间时刻速度，不是中间位置速度

由梯形有向面积除以时间，得

\bar v=\frac{x}{t}=\frac{v_0+v}{2}.

又因 $v_{t/2}=v_0+a(t/2)$ ，而 $v=v_0+at$ ，所以

v_{t/2}=\frac{v_0+v}{2}=\bar v.

该式的中点是时间中点。两段走相等位移，不表示耗时相等，不能把位移中点速度自动当成两端速度平均。反向过程中公式仍以带符号速度成立，但平均速率需用路程另算。

整段 $a$ 不同的两阶段，哪怕每阶段各自匀变速，也不能把全程初末速度直接平均。一般运动总能用 $x/t$ 定义平均速度；端点平均是恒加速度所保证的特殊推论，而不是定义。

4. 等时间位移差为什么消去了初速度

把同一匀变速过程按连续相同时间 $T$ 分段，第一、第二段有向位移为

x_1=v_0T+\frac12aT^2,\qquad x_2=(v_0+aT)T+\frac12aT^2.

两式相减，未知的 $v_0T$ 抵消，因此

x_{n+1}-x_n=aT^2,\qquad x_m-x_n=(m-n)aT^2.

后一式中的段号差不能漏。若改成比较两个连续的 $2T$ 大段，每个大段的时长都为 $2T$ ，相邻大段位移差则为 $a(2T)^2$ 。

这里输入是每一段的位移。纸带从同一个点量起的累计距离，应先相减转成分段值。位移差单位m，再除时间平方s²，结果才是加速度m/s²。实验差值近似相等支持近似匀变速，要结合测量误差判断，不能把小偏差都当作规律失效。

5. 从静止起步的比例：先问比较的是累计还是分段

在 $v_0=0$ 、 $a>0$ 且沿正方向匀加速的条件下， $v=at$ 、 $x=at^2/2$ 。令 $K=aT^2/2$ ：

比较量	在 $T,2T,3T$ 处或对应分段的比例
各时刻速度	$1:2:3$
从起点累计位移	$1:4:9$
连续每个 $T$ 内的位移	$1:(4-1):(9-4)=1:3:5$

若改成等位移 $d,2d,3d$ ，由 $v^2=2ax$ 及 $t=\sqrt{2x/a}$ ，到这些位置的速度和累计时间均按 $1:\sqrt2:\sqrt3$ 变化；逐段时间却是 $1:(\sqrt2-1):(\sqrt3-\sqrt2)$ 。

这些比例不能脱离从静止、恒加速度条件。初速度非零时，每个等时段还多一个相同的 $v_0T$ 项，通常不再成奇数比。匀减速到零可逆向视为从静止匀加速，但原来的段序、时间顺序也必须同时倒过来。

二、考点方法与例题

1. 按实际道路和加速度分段，传递衔接速度

为每段列 $v_0,v,a,x,t$ ，选未知量最少的公式；阶段交界若只保证速度大小不变，就仅传递大小。折线道路的总长度不是同一坐标轴的总有向位移，不把全过程塞进一个直线公式。

如图所示，一可视为质点的玩具小汽车，在路面ABC上运动，小汽车从A点由静止启动，在水平段AB做加速度大小为 ${a}_{1}=2\,\mathrm{m}/{s}^{2}$ 的匀加速直线运动，运动时间 ${t}_{1}=6\,\mathrm{s}$ ；在斜面段BC，做匀减速直线运动，到达C点的速度恰好为零。假设经过B点前后瞬间，小汽车的速度大小不变。已知：ABC总长度为 ${x}_{0}=60\,\mathrm{m}$ 。求：

(1)小汽车经过B点速度大小；

(2)小汽车在斜面BC段的运动时间。

答案与解析

AB段从静止以 $2\,\mathrm{m/s^2}$ 加速6 s，所以

v_B=2\times6=12\,\mathrm{m/s},\qquad x_{AB}=\frac12\times2\times6^2=36\,\mathrm m.

总路径长60 m，故BC长 $60-36=24\,\mathrm m$ 。BC段另沿坡向上取正，其初速度大小12 m/s，末速度为0，本段匀减速，平均速度为6 m/s。因此 $t_{BC}=24/6=4\,\mathrm s$ 。

也可反算BC的加速度为 $(0-12)/4=-3\,\mathrm{m/s^2}$ ，显然不是AB的 $+2\,\mathrm{m/s^2}$ 。过B点速度大小连续，但方向随道路改变，不能说整个速度矢量不变。

本题结论

B点速率12 m/s；BC段时间4 s。

2. 连续等时段：先差求加速度，再求关键时刻速度

先确认给的是相邻段还是累计距离，写出每一段真正的时间。两等时段位移之差除以 $T^2$ 可消去初速度；两段合起来的时间中点处速度，等于总位移除以总时间。需要未给时间的前一段距离时，转用速度—位移式。

例题 02 BC、CD各一秒，不是从A起的一秒和两秒

题目

如图所示，一辆汽车沿着平直公路从A点由静止开始做匀加速直线运动，汽车通过BC段与通过CD段所用时间均为1s，测得B、C之间距离为10m，C、D之间距离为20m，求：

(1)汽车经过B、C两点时的瞬时速度大小之比；

(2)A、B两点之间的距离。

答案与解析

BC与CD各用 $T=1\,\mathrm s$ ，加速度

a=\frac{20-10}{1^2}=10\,\mathrm{m/s^2}.

C是B到D这2秒的时间中点，所以 $v_C=(10+20)/2=15\,\mathrm{m/s}$ 。向前退1秒， $v_B=v_C-aT=5\,\mathrm{m/s}$ ，于是 $v_B:v_C=1:3$ 。

A从静止起步，A到B的时间未直接给，可用 $v_B^2=2ax_{AB}$ ，得 $x_{AB}=25/20=1.25\,\mathrm m$ 。检验：AB只用 $v_B/a=0.5\,\mathrm s$ ，不能误认为题目所给1 s是从A开始计时。

另一种检验是BC中间时刻速度等于10 m/s，退半秒到B恰为5 m/s，与前法一致。

本题结论

vB∶vC=1∶3，AB=1.25 m。

例题 03 纸带累计距离与计数间隔

题目

某同学在用电火花打点计时器和纸带做“研究匀变速直线运动规律”的实验时，得到一条打下的纸带如图所示，并在上面取了A、B、C、D、E五个计数点，相邻两个计数点间还有4个点(图中没有画出)，打点计时器所用电源为频率50Hz的交流电源，即打点周期为T=0.02s。

(1)电火花打点计时器的工作电压为　　　V；

(2)计算打下D点的瞬时速度v的公式为 $v=$ 　　　　(选用题中所给的物理量T、 ${d}_{1}$ 、 ${d}_{2}$ 、 ${d}_{3}$ 、 ${d}_{4}$ 等字母表示)；

(3)实验测得 ${d}_{1}=1.20cm$ 、 ${d}_{2}=3.15cm$ 、 ${d}_{3}=5.85cm$ 、 ${d}_{4}=9.30cm$ ，则物体的加速度大小为 $a=$ 　　　 ${m/s}^{2}$ (结果保留两位有效数字)。

答案与解析

相邻计数点之间有4个未画点，所以跨5个打点周期，计数间隔为 $5T=0.10\,\mathrm s$ ，不是 $4T$ 。D位于C、E的时间中点，CE长度为 $d_4-d_2$ ，CE历时 $10T$ ，因此

v_D=\frac{d_4-d_2}{10T}.

AC和CE是两个连续的等时大段，各历时 $10T=0.20\,\mathrm s$ 。其长度分别为3.15 cm、 $9.30-3.15=6.15$ cm，相差3.00 cm，因此

a=\frac{(d_4-d_2)-d_2}{(10T)^2}=\frac{0.0300}{0.20^2}=0.75\,\mathrm{m/s^2}.

同样可逐段算得AB、BC、CD、DE为1.20、1.95、2.70、3.45 cm，相邻差0.75 cm，除以 $0.10^2$ 也得0.75 m/s²。 $v_D=0.0615/0.20=0.3075\,\mathrm{m/s}$ 可作数值校验。

第(1)问按原学习材料所用电火花计时器的常见教学机型，答案为220 V交流电。它不是让读者自行连接市电的操作说明；具体器材必须按其铭牌、说明书及教师的安全要求使用，不从题库电压值替代设备核对。中国教育和科研计算机网教育平台的《时间测量》也给出课堂常见电火花计时器采用220 V、50 Hz交流电的规格。这是一般教学器材的佐证，不等于查明了原题具体型号，仍不能替代实物铭牌核对。

本题结论

按题源机型第(1)问220 V；vD=(d₄−d₂)/(10T)；加速度0.75 m/s²。

3. 等位移减速：平方关系与逆向顺序

匀减速直至零，可用 $v^2$ 与剩余位移成正比来求各界面速度。通过每段时间须用该段位移除以其两端速度平均，或把整个过程反向视为静止起步；逆向推导得到的段序要再倒回真实运动顺序。以下只讨论题设理想运动模型，题干背景不能用作现实防护依据。

例题 04 四段等位移，不是四段等时间

题目

《国家地理频道》通过实验证实四个水球就可以挡住子弹。如图所示，四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，一颗子弹以速度 $v$ 水平射向水球，假设子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第四个水球。已知子弹在每个水球中运动的距离均为 $d$ ，则可以判定（　　）

A. 子弹穿过第二个水球时的瞬时速度为 $\frac{v}{2}$

B. 子弹穿过前三个水球所用的时间为 $\frac{2d}{v}$

C. 子弹在第四个水球中运动的平均速度为 $\frac{v}{4}$

D. 子弹从左向右通过每个水球的时间之比为 ${t}_{1}:{t}_{2}:{t}_{3}:{t}_{4}=1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):(2-\sqrt{3})$

答案与解析

在题设“恰好穿出第四球”的理想临界模型中，末速视为零，总位移为 $4d$ 。设减速度大小 $b>0$ ，有 $0-v^2=-2b(4d)$ ，得 $b=v^2/(8d)$ 。

第二球末速度满足 $v_2^2=v^2-2b(2d)=v^2/2$ ，所以 $v_2=v/\sqrt2$ ，A错误。第三球末速度 $v_3=v/2$ ，前三球平均速度 $(v+v/2)/2=3v/4$ ，所用时间 $3d/(3v/4)=4d/v$ ，B错误。

第四球初末速度分别为 $v/2$ 和0，平均速度 $v/4$ ，C正确。相同距离越走越慢，每段时间应逐渐增加；用反向静止匀加速关系再倒序，可得

t_1:t_2:t_3:t_4=(2-\sqrt3):(\sqrt3-\sqrt2):(\sqrt2-1):1.

D把次序倒了。原资料D项判语截断，但其给出的正确时间比及以上独立推导都支持D错误，不因截断漏判此项。

本题结论

选C。位移中点的速度不是端点速度的算术平均。

4. 用位置关系检验比例与最大间距

从静止匀加速先由累计位移求 $a$ ，再分开计算指定时刻速度和分段位移。涉及两车间距时还要比较相对速度，不能仅凭某个比例判断最远时刻。是否“只有一次相遇”应解位置方程并说明运动模型持续的范围。

例题 05 累计一比四，分段一比三

题目

甲、乙两车在同一平直公路的两条平行车道上同时 $(t=0)$ 并排出发，甲车做匀速直线运动，乙车从静止开始做匀加速运动，它们的位移-时间图像如图所示，比较两车在0~10s内的运动，以下说法正确的是(　　)

A. 乙车的加速度为 $2\,\mathrm{m/s^2}$

B. $t=10\,\mathrm s$ 时，乙车的速度是甲车的3倍

C. $t=5\,\mathrm{s}$ 时，甲、乙两车相距最远

D. 甲乙两车出发后只能相遇一次

答案与解析

乙在10 s累计位移100 m，故 $a_{\text{乙}}=2\times100/10^2=2\,\mathrm{m/s^2}$ ，A正确。甲匀速 $v_{\text{甲}}=100/10=10\,\mathrm{m/s}$ ；乙10 s末速为20 m/s，是甲的2倍而非3倍，B错误。

从共同起点计算 $x_{\text{甲}}=10t$ 、 $x_{\text{乙}}=t^2$ ，0—10 s两车纵向间距为 $d=10t-t^2$ 。5 s前乙比甲慢、间距增大；5 s后乙比甲快、间距减小，5 s最远为25 m，C正确。相遇方程 $t^2=10t$ 只有 $t=0$ 及 $t=10\,\mathrm s$ 两根，在所给持续运动模型下，出发后只再相遇一次，D正确。两车位于平行车道，“相遇”指纵向并排，不是碰撞。