单摆模型、周期与有效摆长

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单摆的周期公式来自切向小角度近似。量长度要找到球心，数周期要核对同位置同方向；这两处口径比代公式更重要。

一、知识点概念与依据

1. 理想模型与有效摆长

理想单摆由质量可忽略且不伸长的细线、可视为质点的摆球构成，悬点固定，线保持绷紧，球在竖直平面内往复摆动。忽略阻力，球尺寸远小于摆长。平衡位置为最低点，偏角 $\theta$ 从竖直向下方向量起。

有效摆长 $l$ 是悬点到球心的距离，即球心轨道半径，单位m。线长 $s$ 、球半径 $r$ 时， $l=s+r$ ；球直径 $d$ 时， $l=s+d/2$ 。若测得悬点到球底端的距离 $L$ ，则 $l=L-r$ 。先确认量到哪里，不能看到一个长度就代入。

2. 从切向分力推周期

摆球受重力和沿线拉力。拉力无切向分量，取沿弧长 $x=l\theta$ 的正向，有

ma_{\text{切}}=-mg\sin\theta.

质量约去；小角度且 $\theta$ 用弧度时， $\sin\theta\approx\theta$ ，故

a_{\text{切}}\approx-\frac glx=-\omega^2x,\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac lg}.

$g$ 为当地重力加速度大小，单位m/s²， $T$ 用s。质量消掉，所以理想周期与摆球质量无关；只有做了小角度近似，才有周期近似不随振幅改变。教学实验常以约5°以内保持近似精度，5°并非规律突然改变的界线。大角度仍可摆动，但不能继续按此简谐近似断言周期与振幅无关。

一般比较式为 $T_1/T_2=\sqrt{l_1g_2/(l_2g_1)}$ 。同地点同模型， $T_1/T_2=\sqrt{l_1/l_2}$ ；同摆长则 $T_1/T_2=\sqrt{g_2/g_1}$ 。摆长越大周期越大，当地 $g$ 越大周期越小。周期不变不代表能量、回复力或最大速率也不变。较重而体积较小的球可减小空气阻力的相对影响，不是靠增大质量增大理想周期。

3. 切向与径向分工

切向回复力为 $-mg\sin\theta$ ，小角度才近似正比于弧长。它不等于曲线运动的全部合力。最低点切向加速度零，但线拉力 $F_T$ 满足

F_T-mg=\frac{mv^2}{l},

所以只要正在摆动，最低点速率最大、径向加速度非零、拉力大于重力。两端速率零、径向加速度零，但切向回复力大小最大，球立即向最低点返回。

理想条件下线拉力始终垂直瞬时速度，不做功；球的动能与重力势能互换，球—地球系统机械能守恒。最低点不是“所有加速度都零”，端点也不是静止平衡。

4. 用周期测当地重力加速度

由周期关系反求

g=\frac{4\pi^2l}{T^2}.

长度用m、时间用s。多次全振动计总时间 $t$ ，若包含 $n$ 个完整周期则 $T=t/n$ ；关键是实际数了几次全振动，而不是机械使用读数次数。相邻两次过最低点相隔 $T/2$ ，只有同方向经过才相隔 $T$ 。采用多周期计时可降低单次启动、停止计时误差的相对影响，但不能消除长度口径错误。

若多组数据画纵轴 $l$ 、横轴 $T^2$ ，斜率 $k=g/(4\pi^2)$ ，单位m/s²，故 $g=4\pi^2k$ 。换成纵轴 $T^2$ 、横轴 $l$ ，斜率关系须倒过来，不能只背“斜率乘 $4\pi^2$ ”。

二、考点方法与例题

1. 比周期，先过条件关

先核小角度、球可视为质点、轻且不伸长的线、固定悬点和小阻力，再比较有效摆长与当地 $g$ 。比较质量或拉开角度时，不要添加公式里不存在的比例关系；若角度已大到不能近似，应声明公式不足，而不是继续硬套。

2. 测量题分开核长度、计数和图轴

标出悬点、球心、球底，区分 $s,l,L$ 。
从开始计数“0”到末次读数，数实际间隔；每次过最低点计一次，就每间隔对应半周期。
从坐标轴写直线式，识别斜率和截距各来自哪里。固定长度偏移可由自由截距拟合吸收，但强制过原点会影响斜率。
多种误差同时出现时分别分析，不凭一个偏差推断最终净偏差。

例题 01 小角度摆动的周期与受力

题目

将一小球（可视为质点）悬挂于O点，拉开一个小角度（ $\theta<5^\circ$ ）后静止释放，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．小球质量越大，摆动周期越大

B．拉开角度越小，摆动周期越小

C．小球在最高点时所受回复力最大

D．小球在最低点时加速度为零

答案与解析

答案：C。

A、B错：在题给小角度模型内， $T=2\pi\sqrt{l/g}$ ，与摆球质量、振幅近似无关。C对：回复力大小 $mg|\sin\theta|$ 在两端最高点最大。D错：最低点只有切向回复力和切向加速度为零，仍有径向加速度 $v^2/l$ ，总加速度非零。

本题结论

C。切向回复力与总合力必须区分。

例题 02 摆长、计数与图像法测重力加速度

题目

（6分）某研究性学习小组设计了如图甲所示的实验装置，利用单摆测量当地的重力加速度。

(1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有_____（填字母）。

A．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相对平衡位置时有较大的偏角

B．摆球尽量选择质量较大、体积较小的

C．摆线要选择较轻、无伸缩性，并且摆线越长越准确

(2)测量单摆周期时，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“0”，当摆球再次通过最低点时数“1”，依此类推，当他数到“50”时，秒表停止计时，读出这段时间 $t$ ，则该单摆的周期为_____。

(3)改变摆线长度，测量出多组周期 $T$ 、摆长 $L$ 的数据后，画出 $L-T^2$ 图像如图乙所示，测得此图像斜率为 $k$ ，则当地重力加速度 $g=$ _____。

(4) $L-T^2$ 图像不过坐标原点的原因可能是_____。

答案与解析

（1）B。较重、小体积摆球可减小空气阻力的相对影响。A用大角度破坏小角度近似。C的“轻、无伸缩性”合理，但“越长越准确”是无条件断言；长度选择还受装置稳定性和操作条件约束，不能无限加长。

（2）从“0”到“50”共50个相邻过最低点的时间间隔，每个间隔 $T/2$ ，所以

t=50\frac T2=25T,\qquad T=\frac t{25}.

不是数到50就有50个完整周期，也不是51个间隔。

（3）（4）原题称测量量 $L$ 为“摆长”，但图像显示存在长度口径偏移。一种可能是实际量到球底端， $L=l+r$ 。由正确有效摆长 $l$ 的周期式得

L=\frac g{4\pi^2}T^2+r.

故纵轴 $L$ 、横轴 $T^2$ 的斜率 $k=g/(4\pi^2)$ ，

g=4\pi^2k.

纵截距 $r>0$ 可由多量的球半径解释。这里是图示正截距的一种可能原因，不声称只凭图就能排除所有其他系统误差；斜率法没有将错误的 $L$ 直接代入单次 $g$ 公式。