竖直圆周中的绳、杆与管道

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最高点最小速度不是所有圆周题的同一个数。先看约束可拉、可推或可换接触侧，再给有符号径向力加上真实边界。

一、知识点概念与依据

1. 同一径向方程，约束力允许范围不同

在竖直圆周最高点，圆心在下，取向下为径向正向。重力 $mg$ 向下；约束力记有符号量 $Q$ ，向下为正、向上为负，统一写

mg+Q=m\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad Q=m\frac{v^2}{r}-mg.

$m$ 用kg， $v$ 用m/s， $r$ 用m， $g$ 用m/s²， $Q$ 用N。 $Q$ 的负号表示方向，不是力的大小为负；若问大小取 $|Q|$ 。向心力仍由这些真实作用提供，不再加一支独立箭头。

2. 轻绳和单侧内轨：只允许向内约束

轻绳只能向固定点拉、不能向外推；最高点的单侧圆环内轨也只能由外侧接触面向圆心推。在对应向下正的约定中，必须 $Q\ge0$ ，所以

m\frac{v^2}{r}-mg\ge0\quad\Longrightarrow\quad v\ge\sqrt{gr}.

临界 $Q=0$ 时，只有重力提供径向合力， $a_n=g$ 、 $v=\sqrt{gr}$ 。低于此速率却仍想维持同一圆周，就需向上的约束力，轻绳或该单侧接触不能提供，因此原绷紧/接触模型失效。

这里的“内轨”指球在圆环内侧沿轨道运动、轨道从外向内推球的单侧模型；不能只看到图画了一个圆就决定它允许双向力。

3. 轻杆和双侧窄管：约束可以反向

理想轻杆可拉可推；球在双侧窄管中，可换由内侧或外侧管壁接触，允许 $Q$ 取正或负。

最高点速率	所需 $Q$ 方向	管壁作用与大小
$0\le v<\sqrt{gr}$	向上、离开圆心	内侧壁给向外支持， $\lvert Q\rvert=mg-mv^2/r$
$v=\sqrt{gr}$	零	此刻无需约束力
$v>\sqrt{gr}$	向下、朝圆心	外侧壁给向内支持， $\lvert Q\rvert=mv^2/r-mg$

因此管道最高点弹力大小为 $|mv^2/r-mg|$ ，随速率增加先减到零、再增大，不是全范围单调增大。物体给管壁的力与管壁给物体的力等大反向，比较大小时可用上式，但方向与受力对象不能混淆。

本题窄管、球直径略小于管内径的课堂模型将运动半径近似视为题给 $r$ ；真实有限间隙的精细碰撞与变半径过程不在该近似中展开。

4. 最高点零速是局部下限，不自动保证越过

杆、双侧管允许最高点 $v=0$ 时由向上约束力抵消重力，故教材说其最高点速率下限可为零。这只是局部约束不排除这个状态，不能据此宣称物体能以零速在有限时间连续越过最高点。

要判断从初始位置能否到达、越过并完成整圈，还须结合初始条件、全程能量以及各处约束。最高点一个径向式不是全程可行的充分证明。

5. 上下半圆的重力径向分量方向不同

在过圆心水平线以上，重力有指向圆心的分量。低速所需径向合力较小时，内侧壁可以给向外支持，抵消部分重力径向分量；所以可以作用于内侧管壁。

在水平线以下，重力径向分量背离圆心。要得到指向圆心的径向合力，须由外侧壁向内推；内侧壁也向外推，不能完成这一任务。不能因为最高点可以接触内侧壁，就说下半圆也一样。

二、考点方法与例题

1. 判断管道选项，先把速度分成三个区间

最高点先用有符号 $Q$ ，再决定哪侧壁接触。比较“速度越大弹力越大”时，必须跨低速、零力点和高速三个区间检查。上下半圆问题另看重力的径向分量，不能只记最高点公式。

例题 01 小球在竖直圆形管道内运动

题目

如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做半径为 $r$ 的圆周运动，小球直径略小于管道内径，ab为过圆心的水平线，已知重力加速度为g。则小球（　　）

A．经最高点的最小速度为 $\sqrt{gr}$

B．经最高点的速度越大，对管壁的弹力一定越大

C．在ab上方运动时，对内侧管壁可能有作用力

D．在ab下方运动时，对内侧管壁可能有作用力

答案与解析

管道有内外两侧壁，不受绳只能向下拉的限制，所以不能把 $\sqrt{gr}$ 当速率下限，A错。教材的零速下限表示局部约束允许，不保证实际以零速在有限时间连续越过最高点。

最高点若 $v<\sqrt{gr}$ ，内侧壁向上支持， $N=mg-mv^2/r$ ，速率增大时这个支持力反而减小；在 $v=\sqrt{gr}$ 时为零，此后由外侧壁向下提供 $mv^2/r-mg$ 。所以B的“一定越大”错误。

在ab上方，重力径向分量指向圆心，低速时内侧壁可向外作用抵消一部分，C正确。ab下方的重力径向分量向外，必须外侧壁向内推来满足向心需求，不能靠内侧壁向外推，D错误。

本题结论

选C。管道能换侧壁，最高点弹力大小随速率先减后增。

2. 单侧内轨“刚好不脱离”才令支持力为零

先确定只允许向内的单侧支持，再将“刚好不脱离”转成 $N=0$ 。此时径向合力仍有重力，不是无受力，也不是给环的压力等于重力。

例题 02 物体经过竖直圆轨道最高点

题目

如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨。则其通过最高点时（　　）

A．小球对圆环的压力大小等于 mg

B．小球受到的向心力大于 mg

C．小球的线速度大小等于 $\sqrt{Rg}$

D．小球的向心加速度小于g

答案与解析

在单侧内轨最高点，圆心向下，径向方程 $mg+N=mv^2/R$ 。刚好不脱离意味着 $N=0$ ，因此球对环压力也为零，A错。

此时径向合力恰等于 $mg$ ，不是大于 $mg$ ，B错；由 $mg=mv^2/R$ 得 $v=\sqrt{Rg}$ ，C正确； $a_n=v^2/R=g$ 而非小于 $g$ ，D错。这个结论依赖单侧向内支持，不可移植到前题可换接触侧的管道。

本题结论

选C。压力零，向心合力mg，速率√(Rg)，向心加速度g。

三、坑点辨析与纠错

1. 不见“最高点”就令弹力零

常见错法：绳、杆、单侧轨、双侧管一律写 $Q=0$ 求最小速度。

错在何处： $Q=0$ 是单向约束的临界，双向约束中它只是力方向切换点。题问一般最高点状态时，更不能随意设临界。

自查：先列 $Q$ 允许正、负还是只能非负，再与 $Q=mv^2/r-mg$ 求交；问大小时取绝对值。

2. “允许处于最高点”不同于“全程一定越过”

常见错法：管道最高点可零速，所以任意出发条件都能绕完整圈。

错在何处：局部力方向可行，不代表此前有足够运动条件到达，更不说明零速时会继续向前通过。

自查：明确题问局部瞬间、到达、越过还是完整绕行，再检查其他位置的条件；不要用一个局部边界替代全程分析。