动能与动能定理

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把对象和起终点固定，左边列全部外力的功，右边写末动能减初动能。停止只说明总功为负初动能，不说明某一个阻力独自承担全部变化。

一、知识点概念与依据

1. 动能取决于速率与参考系

经典力学中，质量固定的质点因运动具有动能：

E_k=\frac12mv^2.

$m$ 用kg， $v$ 是相对于选定参考系的速率、单位m/s， $E_k$ 用J。正质量物体的动能不为负，速度反向不会使平方变负。同质量下速率翻倍，动能四倍；同速率下动能正比质量。

参考系改变，速度和动能都可能改变；同一计算不能初速用车内、末速用地面。停止时末动能为零，但动能变化 $\Delta E_k=0-E_{k1}$ 是负值，不是零。

此式是经典质点模型。明显转动时还可能有转动动能，不能用重心的 $mv^2/2$ 代替一切动能；接近光速时也不能把本式当成精确通式。

2. 为什么有二分之一：从动力学到动能定理

先考虑恒合力的直线运动，取同一有向轴， $F_{\text{合}}=ma$ 、 $v_2^2-v_1^2=2a\Delta x$ 。将后式除以2再乘质量，得到

W_{\text{合}}=F_{\text{合}}\Delta x=ma\Delta x=\frac12mv_2^2-\frac12mv_1^2.

这里力与位移使用有向分量，其乘积对应功的符号。二分之一来自运动学关系，不能省略。各外力的功之和等于合力功，因此推广为

W_{\text{总}}=\sum_iW_i=\Delta E_k=\frac12mv_2^2-\frac12mv_1^2.

变力或曲线运动可分成短小段，在每段应用局部关系，再将各段相加；相邻段末动能与下一段初动能抵消，只留下全过程初末之差。定理不只用于恒力、直线，也不要求机械能守恒。

3. 功的清单和过程的边界

求速率、停止距离或某个力的功，且时间不是核心未知量时，动能定理通常直接连接初末状态。

力或情形	功的处理
近地重力	用净高度下降 $mg(h_1-h_2)$
恒力	力与净位移的点积
恒定大小、始终反向运动的阻力	$-fL$ ， $L$ 为路程
理想弹簧	用弹性势能减少量，不取末端弹力乘全位移
支持力、绳拉力	看作用方向与实际运动，不能一律删去

先列全部外力功，再求未知一项。题干没有问某个力，不表示该力不做功。定理直接给速率大小，不能单凭能量判向左或向右。

遇碰撞、撤力、停止后返回、多物体连接时，检查各阶段的对象、边界与功的模型是否相同。可以合理合并的过程须保持对象一致并计全功，不能混用不同物体的动能；物体已停后，也不能把前一段滑动摩擦模型无限延长成反向加速。

4. 动能与动量不是同一种变化量

动量 $\vec p=m\vec v$ 有方向，单位 $\mathrm{kg\cdot m/s}$ 。由 $p^2=m^2v^2$ ，可得

E_k=\frac{p^2}{2m},\qquad|\vec p|=\sqrt{2mE_k}.

$p^2$ 指动量大小的平方，不是把两个不同方向的动量任意平方相加。同质量、反向等速率可有相同动能而不同动量；同动量大小而质量不同，动能反比质量。动量变化并不保证动能改变。

二、考点方法与例题

方法一：有方向的量先选正向，动能则分别平方

把质量换成kg，给初末速度带上同一正向下的符号。动量变化是 $m(v_2-v_1)$ ，动能变化是 $m(v_2^2-v_1^2)/2$ ，不能用两个速率大小之差代替反向击回的速度变化。

例题 01 羽毛球反向击回（原题，保留两个子问）

题目

运动速度等背景按题设材料分析，不作为现实纪录或当前运动数据的独立认证。

羽毛球是速度较快的球类运动之一，运动员扣杀羽毛球的速度可达到100 m/s，假设球飞来的速度为50 m/s，运动员将球以100 m/s的速度反向击回．设羽毛球的质量为10 g，试求：

(1)运动员击球过程中羽毛球的动量变化量；

(2)运动员击球过程中羽毛球的动能变化量．

答案与解析

以飞来方向为正， $m=10\,\mathrm g=0.010\,\mathrm{kg}$ ， $v_1=+50\,\mathrm{m/s}$ 、 $v_2=-100\,\mathrm{m/s}$ 。

（1） $p_1=+0.5\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ， $p_2=-1.0\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ，故 $\Delta p=p_2-p_1=-1.5\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ 。大小为1.5，方向与飞来方向相反，不是两个动量大小相减的0.5。

（2） $E_{k1}=0.010\times50^2/2=12.5\,\mathrm J$ ， $E_{k2}=0.010\times100^2/2=50\,\mathrm J$ ，故 $\Delta E_k=50-12.5=37.5\,\mathrm J$ 。末速度虽然为负，末动能仍为正。

本题结论

动量变化大小1.5 kg·m/s，指向击回方向；动能增加37.5 J。

方法二：停止题先写所有功，再移项求指定功

固定对象和A到B过程，写初动能与末动能。
列重力、支持力、摩擦等每项功，零功也说明理由。
左边作代数和，右边统一末减初。
只求题目所问：已有初速、高差和停止条件时，可直接求摩擦功，不必虚构路程或摩擦因数。
回查符号和可行性：真正的阻力功应为负。

例题 02 货车驶入避险车道（原题，跨源重复合并）

题目

避险车道是指在长下坡路段行车道外侧增设的供刹车失灵的车辆驶离正线安全减速的专用车道，如图甲是某高速公路旁建设的避险车道，简化为图乙所示。若质量为m的货车刹车失灵后以速度 $v_0$ 经A点冲上避险车道，运动到B点速度减为0，货车所受摩擦阻力恒定，不计空气阻力。已知A、B两点高度差为h，重力加速度为g，下列关于该货车从A运动到B的过程说法正确的是（　　）

A．合外力做的功为 $\frac12mv_0^2$

B．重力做的功为mgh

C．摩擦阻力做的功为 $\frac12mv_0^2-mgh$

D．摩擦阻力做的功为 $mgh-\frac12mv_0^2$

答案与解析

答案：D。对货车A到B过程，初动能 $mv_0^2/2$ 、末动能0，总功为 $-mv_0^2/2$ ，A正号错误。上升高度 $h$ ，重力功 $-mgh$ ，B错误。固定车道支持力垂直瞬时运动，零功。

摩擦功先记 $W_f$ ，列完整方程：

-mgh+W_f=0-\frac12mv_0^2.

两边同时加 $mgh$ ，得 $W_f=mgh-mv_0^2/2$ ，D正确，C恰是相反数。摩擦确实做负功时必须 $mv_0^2/2>mgh$ ，可反查题设过程可行性。没有给阻力大小或路程，不另编数值。

这是题设简化模型的能量分析，不是现实驾驶处置说明。