波形图、振动图与质点方向

约 2430 字大约 8 分钟

空间快照与单点时间记录看起来都像正弦，但横轴不同，能读出的物理量也不同。先看轴和单位，再追踪固定质点。

一、知识点概念与依据

1. 两种图像固定了不同的量

波形图 $y-x$ 是某一时刻许多质点的空间快照。横坐标 $x$ 是各质点的平衡位置，纵坐标 $y$ 是当时偏离平衡位置的位移；横纵轴都可用长度，却可能分别是m、cm。振动图 $y-t$ 则固定一个质点，记录其随时间的位移。

比较内容	振动图 $y-t$	波形图 $y-x$
固定对象	同一个质点	同一个时刻
横轴重复间距	周期 $T$ ，单位s	波长 $\lambda$ ，单位m
斜率	质点的速度	空间形状的陡缓，不是速度
求传播速度还缺什么	传播距离等空间信息	周期等时间信息

单幅波形可读位移、振幅、波长及空间相位关系；缺少时间信息不能独立算 $T,v$ 。没有传播方向或某点振动方向，也不能唯一判全部质点速度方向。相邻同类峰/谷间距为 $\lambda$ ，峰到紧邻谷为 $\lambda/2$ ；仅位移相同，不保证运动方向相同，也不保证同相。

2. 一个表达式连接空间与时间

理想向 $x$ 正方向传播的简谐横波可写为

y(x,t)=A\sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x+\varphi_0\right).

$A,\lambda,x,y$ 均用m， $\omega$ 用rad/s， $t$ 用s。固定 $t$ 得到空间快照，固定 $x$ 得到该点的正弦振动。保持相位不变可见 $x$ 随 $t$ 增大，传播速度 $v=\omega\lambda/(2\pi)=\lambda/T$ 。左行时空间项符号相反。

波形的空间斜率不能直接当质点速度；速度需要同一质点的时间变化。位移方向由 $y$ 正负决定，简谐振动加速度由 $a=-\omega^2y$ 决定，速度方向还需传播或时间信息，三者不能互相冒充。

3. 微平移波形，质点位置不平移

已知传播方向，把整条波形向该方向微移，固定要判断的质点横坐标，比较新旧高度。右行时新高度来自左邻，左行时来自右邻。

在空间斜率不为零处：右行波质点速度与空间斜率异号；左行波同号。也可沿传播方向看，上坡处向下、下坡处向上，但必须沿传播方向观察，不能总从左往右看。

波峰、波谷此刻速度为零，严格说没有当时的上下速度方向；稍后分别向下、向上返回。微移的是振动状态，不是把原质点搬到另一个横坐标。此法用于题设单列波的给定波形，不把尚未叠加的反射波擅自加入。

二、考点方法与例题

1. 图像联用：先核身份，再核时刻

看清时间图对应波源还是其他点、空间图对应哪一时刻。读 $A,T,\lambda$ 时逐一换算单位。已知某点速度方向，可以用两种候选传播方向微移，排除与已知速度不一致的那种；再用 $v=\lambda/T$ 。

质点路程按自身振动计：整数周期每个 $4A$ 、半周期 $2A$ ，更短的余段按起始相位和折返点累计，不用传播距离代替。

2. 起振题：传播时间与已振动时间分开

若源从原点向上起振，第一次到波谷是 $3T/4$ ，第二次为 $7T/4$ 。某远处点刚起振时，源已振动的时间就是传播到该点的时间；该点自身却才刚开始振动。求另一点刚起振时先前点的状态，应计算两点到达时间差，再从相同起振状态推进这段时间。

例题 01 给定波形与质点运动状态

题目

一列沿x轴传播的简谐横波，其周期T=0.20s，在t=0时的波形图像如图所示。其中P、Q是介质中平衡位置分别处在x=1.0m和x=4.0m的两个质点，若此时质点P在正向最大位移处，质点Q通过平衡位置向下运动，则（）

A．该波沿x轴负方向传播

B．该波的传播速度为2.0m/s

C．经过0.50 s，质点Q通过的路程为10cm

D．当质点Q到达波谷时，质点P位于平衡位置且向下运动

答案与解析

答案：D。

Q处空间曲线沿 $x$ 增加而上升，但Q正向下运动，微平移判断为右行波，所以A错。图上 $\lambda=4\,\mathrm m$ ，题给 $T=0.20\,\mathrm s$ ，

v=\lambda/T=20\,\mathrm{m/s},

不是2.0m/s，B错。振幅 $A=2\,\mathrm{cm}$ ，0.50s为 $2T+T/2$ ，质点Q路程

s=8A+2A=10A=20\,\mathrm{cm},

故C错。此处能按两个周期加半周期计算，但不能把 $(t/T)4A$ 推广到任意短时段。

Q从平衡位置向下， $T/4$ 后到波谷；P从正端点起，届时经过平衡位置向下，D对。以后Q每次到波谷，两点关系重复。

本题结论

D。空间斜率配合质点方向确定传播方向。

例题 02 由波源振动图求远处质点的状态（多选）

题目

位于坐标原点O的波源在t＝0时开始振动，振动图像如图所示，所形成的简谐横波沿x轴正方向传播。平衡位置在x＝3.5 m处的质点P开始振动时，波源恰好第2次处于波谷位置，则（）

A.波的周期是0.1 s

B.波的振幅是0.2 m

C.波的传播速度是10 m/s

D.平衡位置在x＝4.5 m处的质点Q开始振动时，质点P处于波峰位置

答案与解析

答案：BC。

图为源的振动图，读得 $T=0.20\,\mathrm s$ 、 $A=0.20\,\mathrm m$ ，所以A错、B对。源零时刻从原点向上，第二次到波谷时

t_P=\frac74T=0.35\,\mathrm s.

此时P刚起振，故波传播3.5m用了0.35s，

v=\frac{3.5}{0.35}\,\mathrm{m/s}=10\,\mathrm{m/s},\qquad \lambda=vT=2\,\mathrm m.

C对。Q比P远1m，晚起振 $1/10=0.10\,\mathrm s=T/2$ 。Q起振时P已经从原点向上开始振动了半周期，因此正经过平衡位置向下，而非波峰，D错。Q的到达时刻为 $4.5/10=0.45\,\mathrm s$ ，与上述差值一致。

本题结论

BC。传播到达时间不等于该点已经振动的时间。

例题 03 绳上P点的瞬时运动方向

题目

质点S沿竖直方向做简谐运动，某时刻在绳上形成的波形如图所示，P为绳上一质点。此时质点P的运动方向（）

A．向下

B．向上

C．向右

D．向左

答案与解析

答案：A。

图中波向右传播，P在从左向右上升的波段。固定P的横坐标，将波形略向右移动，新高度来自左边较低处，所以P向下运动。B与微平移结果相反；C、D把波传播方向当成横波质点方向。图示波尚未到固定端，不添加未到来的反射干扰。

本题结论

A。向前移动的是波形，不是质点横坐标。

波形图、振动图与质点方向

一、知识点概念与依据

1. 两种图像固定了不同的量

2. 一个表达式连接空间与时间

3. 微平移波形，质点位置不平移

二、考点方法与例题

1. 图像联用：先核身份，再核时刻

2. 起振题：传播时间与已振动时间分开

例题 01 给定波形与质点运动状态

例题 02 由波源振动图求远处质点的状态（多选）

例题 03 绳上P点的瞬时运动方向

三、坑点辨析与纠错

1. 先看轴，再谈斜率

2. 端点不能硬套上下坡口诀