振幅、周期与振动图像

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横轴若是时间，曲线记录的是同一个振子的先后状态，不是空间中的运动轨迹。读纵坐标、读斜率、读离原点的距离，回答的是三个不同问题。

一、知识点概念与依据

1. 振幅不是两端间距

振幅 $A$ 是离开平衡位置的最大距离，是非负长度，单位m；两端活动范围为 $2A$ 。瞬时位移 $x$ 有正负，不能把 $x$ 与 $A$ 互换。周期 $T$ 是完成一次全振动的时间，单位s；回到同一位置还须回到同一运动方向，才完成全振动。频率 $f$ 是单位时间内全振动次数，单位Hz；角频率 $\omega$ 表示相位变化快慢，单位rad/s：

f=\frac1T,\qquad \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}.

相邻同类峰或谷的时间差为 $T$ ，峰到紧邻谷为 $T/2$ 。从平衡位置出发，下次经过原点的方向相反，只过了 $T/2$ 。

2. 哪些因素决定理想周期

固定质量、线性回复系数恒定的理想弹簧振子，由 $a=-(k/m)x=-\omega^2x$ ，得

T=2\pi\sqrt{\frac mk}.

$m$ 用kg、 $k$ 用N/m，所得 $T$ 用s。周期由质量和回复系数决定，振幅则由初始拉开距离、释放速度等初始状态决定。加大振幅会增大运动范围和最大速率，在此理想线性范围内却不改变周期。弹簧须保持线性弹性、连接和约束不变；单摆的振幅无关性仅为小角度近似，不能推广到大角度或明显阻尼振动。

3. 全周期路程与剩余路程

从正端点出发，一周期路线为“正端点→原点→负端点→原点→正端点”，四段各用 $T/4$ 、各走 $A$ 。任意起点的完整一周期路程均为 $4A$ 、净位移零；任意半周期路程为 $2A$ 。

任意四分之一周期不一定走 $A$ 。若由端点或平衡位置开始，才可直接计为 $A$ 。一般起点应先确定相位和运动方向，判断是否经过折返点。若 $x=A\sin\alpha$ ，经过 $T/4$ 相位为 $\alpha+\pi/2$ ，但两端位置差仍不总等于路程：不折返时取 $|x_2-x_1|$ ，经过端点时将两段距离相加。

长时间路程先拆整数周期，每个计 $4A$ ，剩余时间逐段走；不能把 $s=(t/T)4A$ 当成任意时段的匀速公式。完整三问原题已集中在简谐判据例题，这里不再重复同一题卡。

4. 读图三步：坐标、斜率、回复方向

从位移—时间图读什么	物理意义
纵坐标 $x$	位于平衡位置哪一侧，以及带符号位移
切线斜率	速度；上升为正，下降为负，陡缓决定速率
$-\omega^2x$	加速度；方向与 $x$ 相反，大小与 $\lvert x\rvert$ 成正比

峰谷处斜率零、速度零，但加速度大小最大；过零点速率最大、加速度零。正向加速度不意味着正向速度。比较 $v$ 与 $a$ ：同向则速率增大，反向则速率减小。对固定质量，动量方向随速度、动能随速率平方；同一位置两次经过，速度可能反向而动能相同。

图像振幅若用cm，计算 $a=-(2\pi/T)^2x$ 前应换成m。图中波峰只是时间记录中的最大位移，不是波向空间传播的形状。

二、考点方法与例题

1. 时间先定整段，再跟踪余下路线

先用两端间距求振幅，再由“首次到另一端”判断半周期。将总时间写成 $nT+\Delta t$ ，保留起点与方向，剩余段遇到转向必须分段累计。路程是累计长度，位移是末位置减初位置；二者不要交换。

2. 第几秒、哪种增大，要说清楚

“第2s内”指 $1\sim2\,\mathrm s$ ，“第3s内”指 $2\sim3\,\mathrm s$ 。先读单位、 $A,T$ ，再依次写 $x$ 正负、 $v$ 正负、 $a$ 正负和大小变化。题目说“加速”指速率增大，不是带符号速度代数值增大；“位移减小”也要区分 $x$ 与 $\lvert x\rvert$ 。

例题 01 从两端运动时间求累计路程

题目

如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在相距0.2m的B、C两点间做简谐运动。小球经过C点时开始计时，0.5s时首次到达B点，则1.25s内小球的路程为（　　）

A．0.25m

B．0.5m

C．1.0m

D．1.25m

答案与解析

答案：B。

两端间距 $BC=0.2\,\mathrm m=2A$ ，故 $A=0.1\,\mathrm m$ 。由C首次到B经过半周期， $T/2=0.5\,\mathrm s$ ，故 $T=1\,\mathrm s$ 。

$1.25\,\mathrm s=T+T/4$ ，从端点C起算，一周期后又回C，余下 $T/4$ 走到O，

s=4A+A=5A=0.5\,\mathrm m.

A、C、D的数值均与此分段路线不符；不能把两端间距当振幅，也不能将秒数直接当米数。

本题结论

B，累计路程 $0.5\,\mathrm m$ 。

例题 02 从位移—时间图判断运动状态

题目

如图所示，为某弹簧振子在0~5s内的振动图象。由图可知，下列说法中正确的是（　　）

A．第2s内振子在做加速度增大的加速运动

B．在t=0.5s和t=1.5s这两个时刻，振子的动量等大反向

C．t=2s时振子的速度为零，加速度为正向的最大值

D．第3s内振子的位移增大，动能减小

答案与解析

答案：C。

读图得 $A=8\,\mathrm{cm}=0.08\,\mathrm m$ ， $T=4\,\mathrm s$ 。

A错：第2s为1～2s，振子在负侧远离原点， $v<0$ 、 $a>0$ 。速率减小，加速度大小增大，属于减速运动。负速度趋向零，其代数值反而增大。

B错：0.5s与1.5s的图线斜率均为负，且大小相同，所以速度与动量均相同，不是等大反向。

C对：2s在负端点，速度零，加速度正向最大。其大小为

a_{\max}=\left(\frac{2\pi}{4\,\mathrm s}\right)^2(0.08\,\mathrm m)=0.02\pi^2\,\mathrm{m/s^2}.

D错：第3s为2～3s， $x$ 从 $-8\,\mathrm{cm}$ 增至0，带符号位移增大，位移大小减小；速率和动能均增大，所以D的后半句错误。KB原解中的“速度减小”“位移减小”分别应精确为“速率减小”“位移大小减小”，答案仍为C。