结合能、质量亏损与核能

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先分清整核的总结合能与每核子的平均值，再把完整反应前后的静质量列齐。质量数守恒，不意味着静质量总和不变。

一、知识点概念与依据

1. 结合能是拆散核的能量代价

将一个核完全拆成相互远离的自由质子与中子所需输入的能量，叫结合能 $E_b$ 。自由核子组成同一核时释放同样大小的能量，结合后的系统能量更低。

比结合能为平均每个核子的结合能：

\varepsilon_b=\frac{E_b}{A},\qquad E_b=A\varepsilon_b.

$E_b$ 常用 MeV， $\varepsilon_b$ 常用 MeV/核子， $A$ 为核子数。比较整核拆散总代价用总量；比较平均束缚程度用平均值。核子多的重核总结合能可大，但平均值并不一定大。

2. 曲线与稳定性的边界

比结合能曲线在中等质量数附近较高，常见轻核聚变、重核裂变可使产物总结合能增加而放能。这里须计全反应物与产物，不只挑一个较“牢固”的核。

较高比结合能表示平均束缚较紧，不是所有核素寿命的唯一排名。具体衰变还要看完整通道的能量、核组成和动力学条件；不能因某核平均值较高就断言它对所有衰变绝对稳定。

3. 静质量差对应反应能

自由核子静质量之和减组成核的静质量称质量亏损。对一般核反应，约定

\Delta m=\sum m_i-\sum m_f,\qquad Q=\Delta m c^2.

$\Delta m>0$ 放能， $\Delta m<0$ 吸能；若问所需吸收能量，取 $-Q$ 的正值。 $\Delta m$ 用 kg 时 $Q$ 用 J。用题给 u 制质量，则

Q=\Delta m\times931.5\,\mathrm{MeV/u},

其中 $\Delta m$ 必须带 u。原理是静能 $E_0=mc^2$ ：减少的静能进入动能、辐射等，总能量和总动量仍守恒，不是能量无账可查地消失。

4. 完整账本与质量口径

入射粒子、生成核、出射中子、电子等都不能漏。核质量与中性原子质量应使用一致口径，尤其 β 衰变不能混用后少算电子质量。

若反应前后自由质子、中子组成相同，它们的静质量项相消，可用 $Q=\sum E_{b,f}-\sum E_{b,i}$ 。给的是比结合能时先逐项乘 $A$ 。β 衰变中核子种类改变，不能只减两核结合能而漏去中子、质子和电子等静质量项。

$Q$ 是总释放能量，不自动等于某一产物动能；初始还有动能时，末态能量账须一起计入，并用动量守恒决定分配。

二、考点方法与例题

方法：先求和，再相减，最后换单位

写完整反应，核对粒子个数与核质量/原子质量口径。
精确质量求前总量减后总量，不用质量数代替；看符号确定放能或吸能。
按 kg→J 或 u→MeV 的同一套单位换算，避免再多乘一次 $c^2$ 。
若比总结合能，逐核计算 $A\varepsilon_b$ ；若问产物动能，还须初态动能及动量约束。

下题能源评价是原材料背景，本文仅分析核能量关系，不据此作完整能源环境评价。

例题 01 比结合能曲线中的不同核（原题，多选）

题目

（多选）核能具有高效、清洁等优点，利用核能是当今世界解决能源问题的一个重要方向。原子核的比结合能曲线如图所示，则（　　）

A． ${}^{107}_{47}\mathrm{Ag}$ 的比结合能小于 ${}^{140}_{58}\mathrm{Ce}$ 的比结合能

B．两个 ${}^{2}_{1}\mathrm H$ 核结合成 ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ 核的过程放出能量

C． ${}^{235}_{92}\mathrm U$ 、 ${}^{16}_{8}\mathrm O$ 、 ${}^{140}_{58}\mathrm{Ce}$ 三者相比， ${}^{235}_{92}\mathrm U$ 的结合能最大

D． ${}^{6}_{3}\mathrm{Li}$ 核的比结合能小于 ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ 核的比结合能，因此 ${}^{6}_{3}\mathrm{Li}$ 核更稳定

答案与解析

选 BC。银107所在点高于铈140所在点，A 的“小于”错。氦4的每核子结合能高于氘，两个氘总核子数仍为4，组成氦4时总结合能增加，B 对；实际反应还需有携带释放能量动量的产物，选项是在比较能量方向。

C 要乘核子数。按图粗读，铀235约 $235\times7.6\approx1800\,\mathrm{MeV}$ ，铈140约 $140\times8.3\approx1200\,\mathrm{MeV}$ ，氧16约 $16\times8\approx130\,\mathrm{MeV}$ ，故铀总结合能最大，不能只凭核子最多而完全不读纵坐标。数值仅为图像估读。

锂6的比结合能低于氦4，平均束缚较弱，D 所作“因此更稳定”推论不成立；不由此扩展出所有衰变寿命的排序。

本题结论

图上高度是平均值，总结合能还需乘质量数。

两个氘核聚变的反应方程为 ${}^{2}_{1}\mathrm H+{}^{2}_{1}\mathrm H\to{}^{3}_{2}\mathrm{He}+{}^{1}_{0}\mathrm n$ ，其中 ${}^{2}_{1}\mathrm H$ 的质量为 $2.0136\,\mathrm u$ ， ${}^{1}_{0}\mathrm n$ 的质量为 $1.0087\,\mathrm u$ ， ${}^{3}_{2}\mathrm{He}$ 的质量为 $3.0150\,\mathrm u$ 。已知 $1\,\mathrm u$ 相当于931.5MeV的能量，则（　　）

A．该聚变反应过程吸收能量

B．该聚变反应释放的核能约为 $3.26\,\mathrm{MeV}$

C． ${}^{2}_{1}\mathrm H$ 的比结合能大于 ${}^{3}_{2}\mathrm{He}$ 的比结合能

D． ${}^{2}_{1}\mathrm H$ 的平均核子质量小于 ${}^{3}_{2}\mathrm{He}$ 的平均核子质量

答案与解析

选 B。前质量 $2\times2.0136=4.0272\,\mathrm u$ ，后质量 $3.0150+1.0087=4.0237\,\mathrm u$ ，故

\Delta m=0.0035\,\mathrm u,\qquad Q=0.0035\times931.5=3.26025\,\mathrm{MeV}\approx3.26\,\mathrm{MeV}.

正质量亏损表示放能，A 错、B 对。D 可直接算：氘每核子平均质量 $2.0136/2=1.0068\,\mathrm u$ ，氦3为 $3.0150/3=1.0050\,\mathrm u$ ，前者更大，D 错。

C 的结论也错误，但不能仅凭该反应放能就无条件断言某一个产物的比结合能更大。补充核查采用标准质子质量约 $1.0073\,\mathrm u$ ，结合题给中子质量：氘比结合能约 $(1.0073+1.0087-2.0136)\times931.5/2\approx1.12\,\mathrm{MeV}/\text{核子}$ ；氦3约 $(2\times1.0073+1.0087-3.0150)\times931.5/3\approx2.58\,\mathrm{MeV}/\text{核子}$ 。这是标明额外常量的复核，不是静补原题数据。质子质量：NIST CODATA。

本题结论

后质量不能漏中子；放出总核能约3.26 MeV。

三、坑点辨析与纠错

质量数相等不能推出 $Q=0$

整数 $A$ 只计核子数，看不见结合状态导致的小静质量差。只有前后实际静质量和相等才有 $Q=0$ ，不是两边 $A$ 相等就没有核能。

辨析 01 核反应类型与静质量（原题）

题目

能源是社会发展的基础，发展核能是解决能源问题的途径之一。下列关于核反应方程的说法，正确的是（　　）

A． ${}^{2}_{1}\mathrm H+{}^{3}_{1}\mathrm H\to{}^{4}_{2}\mathrm{He}+{}^{1}_{0}\mathrm n$ 是α衰变

B． ${}^{2}_{1}\mathrm H+{}^{2}_{1}\mathrm H\to{}^{3}_{2}\mathrm{He}+{}^{1}_{0}\mathrm n$ 是核聚变， ${}^{3}_{2}\mathrm{He}$ 的比结合能比 ${}^{2}_{1}\mathrm H$ 大

C． ${}^{234}_{90}\mathrm{Th}\to{}^{234}_{91}\mathrm{Pa}+\mathrm X$ 中的X是质子

D． ${}^{235}_{92}\mathrm U+{}^{1}_{0}\mathrm n\to{}^{136}_{54}\mathrm{Xe}+{}^{90}_{38}\mathrm{Sr}+10{}^{1}_{0}\mathrm n$ 质量数守恒，所以静止质量也守恒

答案与解析

选 B。A 是两个轻核反应的聚变，不是单个母核自发放 α。B 的反应为聚变，氦3的比结合能高于氘，可参照本页例02的标明常量复核。

C 的 $A$ 不变、 $Z$ 增1，为 β⁻ 简式， $X$ 为电子而非质子；完整能量账另有反中微子。D 两边质量数均236、电荷数均92，确实配平，但不能推出静质量守恒。

D 所给10个中子仅按原方程核数记账保留，不认证为典型铀235裂变通道或通用中子产额。原题能源背景不替代方程检查。

本题结论

核子计数守恒与静质量总和改变可以同时成立。

总量大、平均量大和寿命长是三回事

整核拆散总代价看 $E_b$ ，平均束缚看 $E_b/A$ ，具体衰变寿命还需通道及机制。平均核子质量也不能脱离不同质子、中子组成，成为通用的稳定性指标。