万有引力与开普勒定律

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先区分球心距、表面高度和椭圆半长轴，再把引力与轨道运动联系起来。规律中的每一个长度，都有自己的起点与用途。

一、知识点概念与依据

1. 万有引力：沿连线相互吸引

任意有质量的物体之间存在相互吸引。两个质点间，引力沿连线，大小为

F=G\frac{m_1m_2}{r^2},\qquad G\approx6.67\times10^{-11}\,\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}.

质量 $m_1,m_2$ 用kg，质点间距 $r$ 用m，力 $F$ 用N。两物体受到的引力是一对作用力与反作用力，大小相等、方向相反，分别作用在不同物体上；质量大不意味着它对另一物体的力比对方给它的力更大。

物体间距远大于自身尺寸，可近似为质点。两个不重叠的均匀球体，或球对其外部质点，也可按球心距计算。形状不规则且相距很近时，不能直接把整个物体的质量集中在某个几何中心。把有体积球体的球心距取到零，已经破坏不重叠条件，不能用这个简化模型宣布真实引力无穷大。

2. 平方反比怎样与行星规律相接

开普勒从观测归纳轨道规律，牛顿把使行星转弯和使地面物体下落的原因联系起来。在固定中心、圆轨道近似下，若 $r^3/T^2=k$ ，牛顿第二定律给出

F=m\frac{4\pi^2r}{T^2}=4\pi^2mr\frac{k}{r^3}=\frac{4\pi^2km}{r^2}.

这只推出对固定中心的 $F\propto m/r^2$ ；中心质量信息藏在 $k$ 中，不能声称这一步单独证明了普遍的质量乘积形式。完整定律还包含相互作用的对称性与经验推广。

“月—地检验”比较同一种引力在不同距离处的加速度：月球轨道半径约为地球半径的60倍，平方反比预言月球加速度约为地表的 $1/60^2=1/3600$ ，与轨道运动的加速度相符。

3. 开普勒三定律：轨道、扫面积和周期

定律	内容	读题边界
第一	行星轨道为椭圆，太阳在一个焦点	焦点不是椭圆中心，太阳不占两个焦点
第二	同一行星与太阳连线在相等时间内扫过相等面积	不是等弧长，也不能跨行星要求等面积
第三	同一中心、环绕体质量可忽略时， $a^3/T^2=k$	椭圆用固定半长轴 $a$ ，圆才用半径 $r$

半长轴 $a$ 是椭圆中心至长轴端点的距离，单位m； $T$ 为一周时间，单位s； $k$ 单位 $\mathrm{m^3/s^2}$ 。太阳位于图中一个焦点，瞬时日地距离沿轨道改变。

等面积比较的是连线扫出的区域。近太阳处连线较短，行星运动较快；近日点最快，远日点最慢。瞬时速度沿轨道切线，一般不垂直于太阳到行星的连线，近日点、远日点才有这种垂直关系。

4. 第三定律的动力学解释与距离选择

中心天体质量 $M$ 近似固定，环绕体质量 $m\ll M$ ，主要受中心引力。在圆轨道模型中， $v=2\pi r/T$ ，代入引力提供向心力：

G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{(2\pi r/T)^2}{r}=m\frac{4\pi^2r}{T^2}.

约去 $m$ 并整理，得到

\frac{r^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}=k.

同一中心天体共用 $k$ ，换中心不能默认 $k$ 不变。椭圆也满足 $a^3/T^2=GM/(4\pi^2)$ ，但这不是以上圆周运动推导已经证明的结果。多天体强烈扰动不属于该简化模型。

题目给什么	真正需要的长度
距球形天体表面高度 $h$ ，天体半径 $R$	引力计算用 $r=R+h$
两均匀球体半径 $R_1,R_2$ ，表面最近间距 $d$	球心距 $r=R_1+d+R_2$
椭圆近、远地点至焦点距离 $r_{\text{近}},r_{\text{远}}$	周期用 $a=(r_{\text{近}}+r_{\text{远}})/2$

最后一式来自长轴两端至同一焦点的两段长度之和为 $2a$ 。若近、远地点给的是高度，须先各自加 $R$ ，再取平均。近地 $h\ll R$ 意味着 $r\approx R$ ，绝不是 $r\approx h$ 。

二、考点方法与例题

方法一：实验题分开“测量效应”与“力本身”

先辨实验对象和装置，再查微小量如何转化为可读量。扭秤以悬丝扭转响应微小引力，反射光在远处刻度上的位移便于观察；放大的是位移效应，不是相互作用力。教材把卡文迪许扭秤实验概括为测定 $G$ ，历史研究目标与现代术语表述应另作区分，不能把原题当成原始史料。

例题 01 扭秤实验与引力模型（原题）

题目

牛顿发现了万有引力定律，并给出了物体间引力大小表达式 $F=Gm_1m_2/r^2$ ，但没有给出引力常量 $G$ 的具体取值。如图为人类第一次在实验室测量出万有引力常量的实验示意图，通过此套装置比较精确测量出了万有引力常量数值，引力常量的精确测定对深入研究物体之间相互作用规律更有意义。以下说法正确的是（　　）

A．伽利略首先测量出了万有引力常量数值

B．图示引力常量测量实验中运用了放大法

C．图示实验中的大球对小球引力大于小球对大球引力

D．根据万有引力定律表达式，当 $r\to0$ 时，物体间引力将趋于无穷大

答案与解析

答案：B。 A把该扭秤实验归于伽利略，不符合教材中的卡文迪许实验归属。B中镜面小角度转动引起刻度上较明显的光斑位移，是效应放大。C违反牛顿第三定律，大球与小球相互引力等大。D把不重叠球体模型延伸到重叠的 $r\to0$ ，超出适用范围。

原源末句曾误写“故选D”；本题按装置和四选项重新判断，B正确。

本题结论

B；不把光学读数放大误认为引力变大。

方法二：按三个定律逐个核对陈述

先检查焦点与中心，再检查同一行星与不同时间段，最后检查同一中心下的半长轴与周期。第三定律作比时先求 $T_1^2/T_2^2=a_1^3/a_2^3$ ，要求周期比还须取正平方根。

例题 02 金星与地球的椭圆轨道（原题）

题目

金星和地球沿各自的椭圆轨道绕太阳运动，根据开普勒行星运动的规律，下列说法正确的是（　　）

A．太阳位于两个椭圆轨道的正中心

B．地球的运动方向总是与它和太阳的连线垂直

C．在相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积

D．金星与地球的公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方

答案与解析

答案：D。 A将焦点写成正中心，错误。B把圆轨道的处处垂直关系推广到了椭圆，错误。C跨行星比较扫面积，第二定律并不保证两颗行星的扫面积速率相同。

同绕太阳，可列 $a_{\text{金}}^3/T_{\text{金}}^2=a_{\text{地}}^3/T_{\text{地}}^2$ 。交叉相乘并除以 $a_{\text{地}}^3T_{\text{地}}^2$ ，得 $(T_{\text{金}}/T_{\text{地}})^2=(a_{\text{金}}/a_{\text{地}})^3$ ，D正确。

本题结论

D；共用第三定律常量，不意味着共用扫面积速率。

方法三：先标球心距离，再标整条轨道尺寸

确认球体外部、中心引力和轨道类型。
高度各自加天体半径，得到每个位置的球心距。
求当地引力用当地 $r$ ；求椭圆周期改用 $a$ 。
统一SI单位后代入；只求同单位比值时可约去共同单位。
检查 $h=0$ 仍有 $r=R$ ，周期比平方计算后有没有开方。

例题 03 火星探测器：圆轨道与椭圆轨道（原题）

题目

如图所示，火星的半径为 $R$ ，甲、乙两种探测器分别绕火星做匀速圆周运动与椭圆轨道运动，两种轨道相切于椭圆轨道的近地点A，圆轨道距火星表面的高度为 $R/2$ ，椭圆轨道的远地点B距火星表面的高度为 $7R/2$ 。若甲的运动周期为 $T$ ，则乙的运动周期为（　　）

A． $2\sqrt{2}\,T$

B． $2T$

C． $3\sqrt{2}\,T$

D． $3T$

答案与解析

答案：A。圆轨道半径与椭圆近地点距离相同： $r_{\text{甲}}=r_A=R+R/2=3R/2$ 。远地点距离 $r_B=R+7R/2=9R/2$ ，于是

a_{\text{乙}}=\frac{r_A+r_B}{2}=3R.

同绕火星， $r_{\text{甲}}^3/T^2=a_{\text{乙}}^3/T_{\text{乙}}^2$ ，故

\left(\frac{T_{\text{乙}}}{T}\right)^2=\left(\frac{3R}{3R/2}\right)^3=8,\qquad T_{\text{乙}}=2\sqrt2\,T.

B、C、D所给周期比的平方分别为4、18、9，均不是8。相切只说明共用A点，不说明两条轨道尺寸或周期相同。若用A点或B点距离代替半长轴，错在长度意义，不在算术或第三定律。

本题结论

A；高度先变球心距，椭圆再求半长轴。

万有引力与开普勒定律

一、知识点概念与依据

1. 万有引力：沿连线相互吸引

2. 平方反比怎样与行星规律相接

3. 开普勒三定律：轨道、扫面积和周期

4. 第三定律的动力学解释与距离选择

二、考点方法与例题

方法一：实验题分开“测量效应”与“力本身”

例题 01 扭秤实验与引力模型（原题）

方法二：按三个定律逐个核对陈述

例题 02 金星与地球的椭圆轨道（原题）

方法三：先标球心距离，再标整条轨道尺寸

例题 03 火星探测器：圆轨道与椭圆轨道（原题）

三、坑点辨析与纠错

1. 相切不等于同周期，等面积不等于等路程

2. 模型失效不等于引力现象消失