圆周运动的描述与传动关系

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线速率看每秒弧长，角速度看每秒转角，周期看每周时间。先统一单位，再辨认固定角速度还是固定线速率，最后比较向心加速度。

一、知识点概念与依据

1. 线速度：方向沿切线，大小由弧长变化率给出

圆周运动的瞬时速度沿当地切线，指向运动前进方向，大小 $v$ 单位m/s。有限时间内的弧长 $\Delta s$ 除以 $\Delta t$ 是平均速率；匀速圆周运动的速率恒定，才可直接用这个比值代表任一时刻的线速率。变速时须取时间间隔趋零的极限。

相邻位置的位移沿短弦；间隔趋零时，短弦趋向切线，弦长与弧长趋同，这给出瞬时速度的方向与大小依据。一整周位移为零，所以平均速度为零，但走过的路程非零、平均速率不为零。较长圆弧不能用首尾直线距离代替弧长。

2. 角速度、周期、频率与转速怎样互换

角速度大小 $\omega$ 是半径单位时间转过的弧度角，单位rad/s。匀速转动可用 $\Delta\theta/\Delta t$ ，非匀速时取瞬时极限。周期 $T$ 是转过一周的时间（s）；频率 $f$ 是每秒完成的周期数（Hz）；转速 $n$ 是每单位时间的圈数。

若 $n$ 用r/s，数值上 $n=f=1/T$ ；若给r/min，须先除以60。总圈数不是转速，要先除总时间。角速度也不是每秒圈数，二者相差整周的 $2\pi$ 。

由一周 $2\pi$ rad、一周弧长 $2\pi r$ ，同除 $T$ ：

\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f=2\pi n,\qquad v=\frac{2\pi r}{T}=2\pi rn=\omega r.

$v=\omega r$ 还可由弧长定义 $\Delta s=r\Delta\theta$ 同除 $\Delta t$ 得到。角度必须用弧度，360°对应 $2\pi$ rad，不能把360直接代入。 $r$ 是到轴距离，不是直径。

周期较大说明每周更慢，但不同半径点每周路程也不同，不能仅凭周期比较线速率。匀速或稳定重复转动才能用同一个周期描述全过程；一般改变转速时需按当前阶段处理。

3. 同轴固定与无滑动传动，保留的是不同量

连接方式	先确定的不变量	后续关系
刚性固定、同轴一起转	同 $\omega$ 与 $T$	$v\propto r$
皮带不打滑的轮缘接触点	线速率相同	$\omega\propto1/r$ 、 $T\propto r$
外啮合齿轮的节圆接触	接触处线速率相同	角速率反比半径，转向相反

仅几何上同轴但可相对转动，不保证同角速度；皮带打滑也破坏等线速率关系。刚体轴上点位置不动、 $v=0$ ，但该刚体仍有整体角速度。比较大小之后，另查转向：开放皮带通常同向、交叉皮带反向，不能只背“皮带都同向”。

4. 向心加速度：方向改变也需要加速度

向心加速度 $a_n$ 是指向圆心的径向分量，单位m/s²。匀速圆周运动切向加速度为零，全部加速度就是向心加速度，大小恒定但方向持续改变；非匀速圆周还可有切向分量，不能只取 $a_n$ 当总加速度大小。

取很短时间内两个等大速度矢量，尾端重合，速度变化量为两端连线。速度方向随半径转过同一小角，速度三角形与半径小角三角形相似，故近似有

\frac{|\Delta\boldsymbol v|}{v}\approx\frac{\Delta s}{r}.

乘 $v$ 再除以同一 $\Delta t$ ，当间隔趋零时， $\Delta s/\Delta t\to v$ ，速度变化方向趋向圆心，得到

a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2r.

第二个等式由 $v=\omega r$ 代入得出。质量不在运动学式中，但提供同样加速度所需的力随质量变化，由径向第二定律为 $F_n=ma_n$ 。

5. 比例之前必须写明保持什么不变

固定 $v$ 时 $a_n\propto1/r$ ，固定 $\omega$ 时 $a_n\propto r$ ，两者不矛盾。同比较同轴点、同速率转不同弯道，约束不同，不能只挑看起来方便的式子。

固定半径，转速翻倍使 $\omega,v$ 翻倍， $T$ 减半， $a_n$ 变为四倍；改点的位置但仍随同一转盘时， $\omega,T$ 不变， $v,a_n$ 随 $r$ 变。匀速圆周的加速度矢量不恒定，因此不是匀变速运动，不能把直线恒加速度位移公式套在整段圆周轨迹上。

二、考点方法与例题

1. 从单位与整周关系开始

先把每分钟圈数变成每秒圈数，再求周期和角速度，最后用目标点半径求线速率。多条件选项每一部分都要核，不能前半正确就选。

例题 01 旋转平台的转速与运动学量

题目

某游乐场旋转木马的转盘半径为3m，运行时的转速n=6r/min。关于转盘边缘座椅（视为质点）的运动，下列说法正确的是（　　）

A．座椅的角速度 $\omega=0.2\pi$ rad/s，线速度v=0.3πm/s

B．座椅的角速度 $\omega=\pi$ rad/s，线速度v=3πm/s

C．若转盘转速增大为12r/min，边缘线速度将变为原来的2倍

D．若座椅移至转盘半径1.5m处，角速度将变为原来的 $\frac12$

答案与解析

$n=6/60=0.1\,\mathrm{r/s}$ ，所以 $T=10\,\mathrm s$ 、 $\omega=2\pi n=0.2\pi\,\mathrm{rad/s}$ 。边缘 $r=3\,\mathrm m$ ，得 $v=\omega r=0.6\pi\,\mathrm{m/s}$ 。A角速度虽对，线速率0.3π错误，整项仍错；B两数均错。

转速改12 r/min，角速度翻倍且半径不变，线速率变为 $1.2\pi\,\mathrm{m/s}$ ，C对。移到1.5 m处仍随同一转盘，角速度与周期不变，只是线速率减半，D错。

本题结论

选C。周期10 s，角速度0.2π rad/s，边缘线速率0.6π m/s。

2. 先同轴，再传动，不跨过中间点

给各点标出到轴实际距离，明确谁是真正皮带接触的轮缘。先以同轴或无滑动关系接通两点，再代 $v=\omega r$ ；向心加速度还含平方，须重新算而非复制线速度比。

例题 02 旋转手绢上不同位置的运动

题目

以下节目或景区称号为原材料背景转述，未独立核验；本题只依给定运动条件分析。

如图甲，2025蛇年春节联欢晚会上，人机共舞节目《秧BOT》中转手绢的环节吸引了无数观众的目光。如图乙，手绢上O、M、N三点共线，M为ON的中点，若手绢绕中心O点匀速转动，则M、N两点的线速度大小之比为（　　）

A．1∶2

B．1∶3

C．1∶4

D．1∶5

答案与解析

M、N随手绢绕O整体转动，同一时间转过相同角度，所以 $\omega_M=\omega_N$ 。M是ON中点， $r_M:r_N=1:2$ 。由 $v=\omega r$ 得 $v_M:v_N=1:2$ ，A对，B/C/D的其他比例均无依据。不能由共同转动推出线速度相同。

本题结论

选A，线速率比1∶2。

例题 03 带轮传动中的不同位置

题目

如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一套轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r。b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。已知c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则以下判断正确的是（　　）

A．a点与b点的线速度大小相等

B．a点与b点的角速度大小相等

C．a点与c点的线速度大小相等

D．a点的向心加速度是d点的4倍

答案与解析

各点半径为 $r_a=r,r_b=r,r_c=2r,r_d=4r$ 。皮带直接连接a、c所在轮缘，不打滑给 $v_a=v_c$ ；左侧b、c、d同轴固定，给 $\omega_b=\omega_c=\omega_d$ 。

由 $v_c=\omega_c(2r)=2v_b$ ，得 $v_a=2v_b$ ，A错、C对。a、b半径相同，故 $\omega_a=2\omega_b$ ，B错。

最后 $\omega_d=\omega_a/2$ 而 $r_d=4r_a$ ，所以

a_{n,d}=\left(\frac{\omega_a}{2}\right)^2(4r_a)=\omega_a^2r_a=a_{n,a}.

D所说4倍错误。这里下标 $a$ 代表点名， $a_n$ 代表加速度，避免用同一个无下标字母混指两种量。

本题结论

选C。a与c的线速率相等，均为b的2倍；a、d向心加速度大小相等。

3. 弧长求速率，再选整体求所需径向力

题给圆弧长而且匀速率，可用 $l/t$ 。后问地面摩擦，受力对象改为人车整体，静摩擦承担其径向合力需求，质量不能只取人；支持与重力在竖直平衡，不另外添加一股“向心力”。

例题 04 转弯时人与车的受力

题目

（8分）一质量为m运动员在水平弯道上训练骑行，可将其运动视为匀速圆周运动，自行车骑行转弯半径为R，在骑行的时间t内走过的圆弧长为l，自行车质量为M，不计空气阻力。

（1）运动员做圆周运动的线速度大小；

（2）地面对自行车摩擦力大小。

答案与解析

匀速率运动在时间 $t$ 内走过圆弧长 $l$ ，因此 $v=l/t$ 。这不是首尾位移除以时间；题给弧长才可直接求速率。

选人和自行车整体，质量为 $m+M$ 。竖直支持力与重力平衡，忽略其他水平作用时，地面静摩擦提供水平向心作用，故

f=(m+M)\frac{v^2}{R}=\frac{(m+M)l^2}{Rt^2}.

所求是维持题设圆周运动所需摩擦；真实接触还须能提供该大小，否则会偏离题设轨迹。题未给最大静摩擦，不据此给实际骑行安全限速。

本题结论

线速率l/t；摩擦力大小(m+M)l²/(Rt²)。

三、坑点辨析与纠错

1. “匀速圆周”不是“加速度矢量恒定”

常见错法：速率不变便说速度不变，或向心加速度大小恒定便说匀变速。

错在何处：速度沿切线、加速度沿半径，它们方向都在变；固定参考系中向左的加速度转到另一点可能向上。

自查：分开看大小与方向。求弧长可用 $vt$ ，求首尾位移须连接首尾点，不用恒矢量加速度公式描述整段圆周运动。

辨析 01 匀速转弯与牛顿第二定律

题目

以下节目或景区称号为原材料背景转述，未独立核验；本题只依给定运动条件分析。

赤峰市喀喇沁旗的美林谷滑雪场被誉为“东方雪源圣地”，为游客们带来前所未有的滑雪体验。如图为游客滑雪的精彩瞬间，游客在匀速率通过圆弧弯道的过程中（　　）

A．速度不变

B．加速度不变

C．所受合力为零

D．所受合力不为零

答案与解析

速度沿切线，速率虽然不变、方向在变，A错误。向心加速度大小 $v^2/r$ 不变，但指向圆心的方向随位置改变，B错误。

$v\ne0,r$ 有限时 $a_n=v^2/r>0$ ，质量非零则合力非零，C错误、D正确。匀速率条件下合力与瞬时速度垂直，改变方向而不改变速率；不能把“无速率变化”说成“无加速度”。

本题结论

选D。速度、加速度方向持续变化，合力不为零。

2. 同轴、轮缘与单位三个前提都要保留

常见错法：同轴就同线速率，皮带连接就各点同速，或把r/min直接当rad/s。

错在何处：固定同轴保留角速度，无滑动轮缘保留接触线速率；单位换算还包括60与2π，半径也不能错用直径。

自查：在每条等式旁写“固定同轴”“轮缘无滑动”或“每秒圈数”，没有满足前提就不用该等式。