纸带计数与速度估计

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先恢复计数点对应的时间，再让位移与时间一一配对。整段平均速度与某点瞬时速度回答的是不同问题。

一、知识点概念与依据

计时点是仪器每周期留下的点，周期 $T_0=1/f$ ；计数点是按固定间隔从计时点中挑选、便于测量的点。两计数点之间还省略 $k$ 个计时点，意味着跨 $k+1$ 个周期：

T=(k+1)T_0=\frac{k+1}{f}.

例如 $f=50\,\mathrm{Hz}$ 、中间省略4点， $T=5T_0=0.10\,\mathrm s$ 。O、A、B、C、D、E有6个计数点，OE跨5段为0.50 s，AC跨2段为0.20 s。两端点之间的时间发生在“段”中，不是点本身各占一个周期。

沿选定正方向取位置 $x$ ，从 $i$ 到 $j$ 的平均速度为

\bar v_{ij}=\frac{x_j-x_i}{t_j-t_i}.

若刻度是相对同一零点的坐标，要末坐标减初坐标；只有初坐标为零时才能直接用末值。纸带单向运动时常报速度大小，但若问方向仍须给运动方向或有向符号。厘米先换成米，再除以秒。

要估计 B 点速度，取前后等时间的 A、C，不能随意取前后等距离点：

v_B\approx\frac{x_C-x_A}{2T}.

对恒加速度直线运动， $v(t)$ 为直线，对称时间段的平均值严格等于中间时刻值；一般变速运动只是局部估计。区间过长不够局部，过短又会放大测长误差，要兼顾两者。不能用 AB 段平均直接当 B 点速度，因为 B 不是 AB 的时间中点。

题目

（8分）某同学在“用打点计时器测速度”的实验中，得到如图所示的纸带，按照打点的先后顺序，纸带上的计数点依次用O、A、B、C、D、E表示，每两个相邻的计数点之间还有4个计时点没画出来。

(1)电火花计时器使用 V的电源（填“交流”或“直流”）。

(2)由图可以知道，纸带做的是（填加速、减速或匀速）直线运动。

(3)小车经过OE段的平均速度是 m/s（结果保留1位小数），小车经过B点时的速度是 m/s（结果保留1位小数）。

答案与解析

条件核对：原题摘录没有明写频率，原解析按课堂常见 $f=50\,\mathrm{Hz}$ 计算。以下数值答案只在这一补充条件下成立，不能把频率当作已写在题干中。若频率未知，第(3)问不能唯一确定数值。

(1)按原资料所指电火花机型填220 V、交流，这是纸面识别；实际器材按铭牌和教师要求，不能自行接电。

(2)由O到E是已给时间顺序，等时段点距逐渐增大，判加速。

(3)在50 Hz条件下， $T=5/50=0.10\,\mathrm s$ 。图中 $x_O=0$ 、 $x_A=3.0\,\mathrm{cm}$ 、 $x_C=16.0\,\mathrm{cm}$ 、 $x_E=40.5\,\mathrm{cm}$ ，所以

\bar v_{OE}=\frac{0.405}{5\times0.10}=0.81\,\mathrm{m/s}\approx0.8\,\mathrm{m/s},

v_B\approx\frac{(16.0-3.0)\times10^{-2}}{2\times0.10}=0.65\,\mathrm{m/s}\approx0.7\,\mathrm{m/s}.

B点用AC局部平均估计，不用OE整段平均，也不把AC位移只除一个T。若将频率保留为 $f$ ，两结果分别为 $(0.405\,\mathrm m)f/25$ 和 $(0.130\,\mathrm m)f/10$ ，其中后者仍是瞬时估计。

本题结论

按原答案的50 Hz条件：(1)220、交流；(2)加速；(3) $0.8\,\mathrm{m/s}$ 、约 $0.7\,\mathrm{m/s}$ 。

恒加速度章的完整原题中， $d_1$ 至 $d_4$ 都从A量起， $T_0=0.02\,\mathrm s$ ，相邻计数间隔 $5T_0$ 。D为CE的时间中点，故

v_D=\frac{d_4-d_2}{10T_0}.

不是用 $d_4+d_2$ 。代入原题 $d_2=3.15\,\mathrm{cm}$ 、 $d_4=9.30\,\mathrm{cm}$ ，得 $v_D=0.3075\,\mathrm{m/s}$ 。AC与CE各历时 $10T_0$ ，相邻等时大段位移差给

a=\frac{(d_4-d_2)-d_2}{(10T_0)^2}=\frac{0.0300}{0.20^2}=0.75\,\mathrm{m/s^2}.

四个相邻小段由累计值相减得到1.20、1.95、2.70、3.45 cm，相邻差0.75 cm，亦可除以 $0.10^2$ 复核。原解析加速度的单位排写有误，正确是 $\mathrm{m/s^2}$ ，不是 $(\mathrm{m/s})^2$ 。完整题干和原图仅在链接处保留，不重复堆题。