力、重力与弹力

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每个力都要问“谁对谁”，每个模型都要问“省略了什么”。先认出重力与接触弹力的来源、方向和大小，再用状态检验受力是否自洽。

一、知识点概念与依据

1. 力是物体间的作用，不是运动本身

力是一个物体对另一个物体的作用，可以改变运动状态或使物体形变。力是矢量，大小、方向、作用点是其三个要素，单位牛顿（N）。说明一个力还须指出施力物体和受力物体：地球对球的重力、桌面对球的支持力，是两个不同来源的作用。

运动并不需要另一个没有来源的“运动力”。物体向右运动，不能据此加画向右力；静止也不表示没有受力，只可能是多个力合起来恰好平衡。受力图只画其他物体对选定对象的力，不把它对其他物体的反作用画回来。

选若干物体为整体时，内部相互作用不作为整体外力；要计算内部接触力，则隔离相应物体重新画受力图。同样大小和方向的力若作用位置不同，也可能产生不同转动效果。

力的示意图用箭头表达作用点、方向与类别；力的图示还要统一标度，用线段长度表达大小。不同标度图中的箭头长度不能直接比较。同一股力及其两个分量是等效表示，不能把它们当成三股独立作用重复计数。

2. 重力：方向是当地竖直向下

地球附近物体因地球吸引而受到重力，大小 $G=mg$ 。 $G$ 用N，质量 $m$ 用kg，当地 $g$ 用m/s²。质量与重力不是同一物理量：同一物体换地点，质量不因这一变化而改变，重力可因 $g$ 不同而改变。

重力方向沿当地铅垂线竖直向下，不跟着斜面法线或物体速度转动。向上抛的球受向下重力；放在桌面上的球重力仍在，只是可能由支持力平衡。

初步近地面题常忽略地球自转，将重力近似视为地球引力，也将当地竖直近似看作指向地心。严格区分时，自转会影响有效重力大小与方向，不能说“所有地点精确指向地心”，也不能把“重力只是引力的一个分力”当通用定律。该边界可参见NASA关于地球自转与有效重力的说明。

3. 重心是分布重力的等效作用点

物体各部分都受重力。对整体作用效果，可以把这些分布重力等效为作用在一点的一股重力，这一点称为重心。不是只有重心受重力，也不是质量真的挤在一点，更不是“物体上最重的一点”。

近地面重力场近似均匀时，重心与质心重合，由形状和质量分布共同决定。形状规则且质量分布均匀、对称的物体，可由对称性找几何中心；不均匀物体不能仅凭外形判断。均匀圆环的重心可在圆心，即使圆心处没有物质，仍是有效的等效点。

对不规则薄板可用悬挂法：先从一处悬起静止，重心应在悬点下方的铅垂线上，否则重力会使板继续转动；换另一个悬点再画铅垂线，交点确定重心。必须是稳定静止后的铅垂线，不能在任意姿态下随意画线求交。

若容器加水，先说明研究的是容器本身还是“容器＋水”整体。前者在自身形状和质量分布未变时，其重心不会仅因加入另一个物体自动改变；后者的重心会随新增水的质量及位置改变，具体升降规律还取决于器型、壁厚和装水状态。

4. 接触弹力：接触不等于一定挤压

物体因弹性形变而产生恢复原状的作用，形成弹力。接触面彼此挤压、绳被拉紧或弹簧被拉压，才可能产生相应接触弹力。图上挨在一起，并不保证法向压力一定非零。

接触或约束	常用理想模型下的方向	使用边界
光滑点与面接触	沿接触面的法线	不是切线；光滑只排除摩擦
光滑曲面接触	沿接触点切面的法线	取局部法线，不凭整个图猜方向
拉紧的轻绳	沿绳指向绳的另一端	只拉不推，松弛时张力可为零
弹簧	沿轴线，阻碍其拉伸或压缩	拉长向回拉，压缩向外推
一般杆件	按约束与受力确定	不能把任意杆力都规定沿杆

当形变不明显时，可结合平衡或运动状态判断：假设没有该约束，其他力是否会使物体穿入接触面？这一方法只能在可由已知状态确定的简单接触模型中用；多支撑或预紧装置中，移走某支撑后仍能平衡，并不能证明原来它不受力，可能还需要形变资料。

5. 胡克定律使用形变量，不使用弹簧总长

弹簧在题设线性弹性范围内，弹力大小满足

F=kx,\qquad x=|l-l_0|.

$l_0$ 是原长， $l$ 是现长， $x$ 是伸长或压缩量的大小，均用m；劲度系数 $k$ 单位N/m，弹力 $F$ 单位N。大小式不直接规定方向，方向要另看弹簧位置和恢复形变趋势。超过弹性限度可能有永久形变，不能继续使用同一个 $k$ 。

实验中先测原长，再悬挂不同重物并等其静止，由二力平衡确定弹力大小 $F=mg$ ，测每次伸长量 $x$ 。 $F-x$ 图近似过原点的直线，斜率为 $k$ ，这是实验规律，不是由定义直接推出。

若横轴为总长 $l$ ，拉伸时的关系为 $F=k(l-l_0)$ ，与 $l$ 轴的交点为 $l_0$ ，而不是写 $F=kl$ 。同一拉伸支路上两状态可用 $k=(F_2-F_1)/(x_2-x_1)$ 消去基准；跨拉伸与压缩时应先统一形变量和力的方向约定，不能混用大小和有向值。

劲度系数越大，同样形变量需要的弹力越大。普通接触面、绳或杆的弹力不能不加判断地套用某根弹簧的 $k$ ，通常要由状态与约束求；多弹簧装置还须分别确定每根弹簧的受力，不能把整体总力直接当作每根的弹力。

以下静止物块的水平摩擦用于平衡弹簧力。静摩擦的实际值由当前平衡需求决定，只有需求不超过最大静摩擦时，静止条件才自洽；这一上限不等于每时每刻的实际值。

二、考点方法与例题

1. 先找施力物体，再分质量与重力

把力写成“谁对谁”，由 $G=mg$ 分开质量和地点因素。能否用质点仍按研究问题判断，不能用球的尺寸小替代旋转模型所需的信息。题干历史背景不参与以下力学判断。

（多选）2000年2月23日，在吉隆坡进行的国际乒联特别大会上决定从2000年10月1日起，使用直径40毫米，重量2.7克的大球，乒乓球改用“大球”，即球的直径由之前的 $38\,\mathrm{mm}$ 改为 $40\,\mathrm{mm}$ ，球的质量也略有增加。大球“笨重”的球体，将使得球速变慢、旋转减缓，增加了比赛的回合，带来了更丰富的技术展现，增添了比赛的观赏性。下列说法中正确的是（　　）

A．乒乓球受到重力的作用，施力物体是地球

B．同一个乒乓球在赤道处的重力大于在北极处的重力

C．乒乓球体积较小，研究问题时均可视为质点

D．在研究乒乓球的旋转对轨迹的影响时，不能将乒乓球视为质点

答案与解析

A正确，乒乓球重力的施力物体是地球。同一球的质量不变，赤道处 $g$ 通常小于北极处，按 $G=mg$ 其重力较小，B错误。C的“均可”过强：研究整体长距离位置时可以忽略某些细节，研究旋转及其对轨迹的影响却必须保留球的尺寸与转动，所以C错误、D正确。

本题结论

选AD。质量与重力分开，模型判断仍取决于所研究内容。

2. 区分“定义可判”与“分布资料才可判”

先确定系统范围，检查是否均匀、对称。重心可处于空腔由定义和反例即可判断；加水后怎样移动则需要质量分布。若资料仅给某特定器型的定性模型，要公开该模型，不把图片当作完整的重心计算数据。

例题 02 重心可否在空处

题目

关于重力和重心，下列说法正确的是（　　）

A．重力的方向总是指向地心

B．重心就是物体上最重的点

C．重力就是地球对物体的吸引力

D．物体的重心可能不在物体上

答案与解析

B错误，重心是等效作用点，不是最重的点。均匀圆环的重心在圆心，那里可以没有物质，D正确。

本题原资料采用区分有效重力与纯地球引力的精确口径：地球自转使有效重力方向不必处处精确指向地心，因此A的“总是”错误；C的精确等同也不成立。若在忽略自转的初步模型中，常把二者近似相同，不能将这个近似与本题严谨口径混用。原详解“重力是引力的一个分力”不是普适解释，此处不沿用。

本题结论

按原资料的精确区分口径选D；初步近似与严格区分须明确。

例题 03 欹器注水：先说明系统是否包括水

题目

（多选）如图所示的欹（qī）器是古代一种倾斜易覆的盛水器。《荀子·有坐》曾记载“虚则欹，中则正，满则覆”。下列分析正确的是（）

A．未装水时欹器的重心一定在器壁上

B．欹器的重心是其各部分所受重力的等效作用点

C．往欹器注水过程中，欹器重心先降低后升高

D．欹器倾倒的时候，其重力方向偏离竖直方向

答案与解析

空器的重心可能位于空腔，不一定在器壁上，A错误。B符合重心的等效作用点定义。D错误，倾倒改变的是器物姿态，不使当地重力方向偏离竖直向下。

C按原资料的意图，是把器物和水作为整体，并使用所述欹器的特定定性分布模型，得出重心先降低后升高。它不是说空器自身的重心仅因旁边多了水就改变；也不能推广为所有形状容器的通用规律。题目没有给器壁各处质量和水面几何尺寸，不能据这幅照片进一步算出重心坐标。若要求独立推导具体升降过程，还缺器型与质量分布信息。

本题结论

原资料在“器物＋水”的特定欹器模型下选BC；C有系统及分布前提，不是普遍加水规律。

3. 接触力有无，以完整受力是否能成立检验

先列重力及确定的约束力，对候选接触力沿法线或绳方向画出。若本题平衡模型下某一水平分量没有其他力能抵消，则该候选力只能为零；不能为了每根线或每个接触面“都有用”强添力。

例题 04 接触着的斜面或绳未必有力

题目

下面对物体的受力情况描述正确的是（）

A．图甲中，光滑小球和斜面之间可能有弹力作用

B．图乙中，小球静止在光滑的三角槽中，三角槽底面水平，倾斜面对小球无弹力

C．图丙中，小球随车厢（底部光滑）一起向右做匀速直线运动，则车厢左壁对小球有弹力

D．图丁中，小球被两轻绳悬挂而静止，一轻绳处于竖直方向，倾斜轻绳对小球有拉力作用

答案与解析

按原资料对图甲的静止接触模型，重力已由水平面的支持力平衡，若斜面再给非零法向力，会出现无力抵消的水平分量，所以A不成立。题面没有另写甲的运动状态，若脱离这一平衡前提，只凭接触外观不能普遍断言零力；这是原题的表达缺口。

B明确给静止且底面水平，底面支持与重力平衡，单侧倾斜面的法向力若非零，其水平分量也无法抵消，故倾斜面弹力为零，B正确。C随车匀速不需要向右维持力，底部光滑，左壁压力为零，C错误。D竖直绳可以平衡重力，斜绳若有张力，其水平分量无人抵消，故斜绳张力为零，D错误。

本题的结论依赖这些简单、无预紧的理想约束；不是任何多支撑装置都可用“拿掉后仍能平衡”证明原力为零。

本题结论

按题源平衡模型选B。接触只是必要线索，不是非零弹力的充分证据。

4. 形变量、力方向和静止上限依次检查

先算原长与现长之差并统一为m，再用 $F=kx$ 求大小；根据恢复形变判断方向；最后由静止求所需摩擦，检验它是否超过上限。每一步的依据不同，不能把胡克定律直接当摩擦公式。

例题 05 压缩两厘米，不是弹簧长十八厘米

题目

如图所示，粗糙水平面上，轻质弹簧的一端与质量为m = 4 kg的物体A相连，另一端与竖直墙壁相连，已知弹簧原长L = 20 cm、弹簧的劲度系数k = 600 N/m，A与地面间的动摩擦因数μ = 0.4，g取10 m/ $\mathrm{s}^{2}$ ，如图，使弹簧处于压缩状态，弹簧长度为18 cm，A处于静止状态，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是（　　）

A．物块A受到4个力作用

B．弹簧对物块施加的弹力大小为12 N，方向水平向左

C．物块受到摩擦力大小为16 N，方向水平向左

D．物体受到摩擦力大小为12 N，方向水平向左

答案与解析

压缩量 $x=(20-18)\times10^{-2}=0.02\,\mathrm m$ ，所以弹簧力大小 $F=600\times0.02=12\,\mathrm N$ 。弹簧在物块左侧且被压缩，向右推物块，B虽然大小正确，方向却错。

物块受地球的重力、地面的支持力、地面的静摩擦力和弹簧力，共4股真实力，A正确。竖直平衡给 $N=mg=40\,\mathrm N$ ，题设最大静摩擦等于滑动摩擦，故上限 $0.4\times40=16\,\mathrm N$ 。实际只需向左12 N平衡弹簧力，且 $12<16$ ，可维持静止，C错误、D正确。