振幅说明振得多远，频率说明往返多快。先分清系统自己的节奏与外界驱动的节奏，再讨论能量损耗和响应大小。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 阻尼怎样使振幅减小

没有持续补充能量的振动系统，受到摩擦等耗能作用后，最大偏离距离逐渐减小，这种衰减振动称为阻尼振动。位移仍可往返改变正负，但振幅包络下降。阻力通常与运动反向、做负功，

$$\Delta E_{\text{机械}}=W_{\text{阻力}}<0.$$

水平弹簧振子在端点动能为零、弹性势能为$kA^2/2$。损失机械能后，下一端点能达到的势能较小，振幅随之减小。损失的机械能转化为内能或传出为声能等，总能量没有消失。

振幅$A$单位m，周期$T$单位s，频率$f$单位Hz。弱阻尼时峰高可明显下降，峰间距却近似不变，所以“声音变弱”不能直接推出频率变低。一般阻尼会改变振动频率，足够强时系统甚至不再往返而直接回到平衡位置。这些边界与OpenStax 阻尼振动模型一致；本章常规读图按仍在振动的弱阻尼情形处理。

2. 固有、受迫与驱动频率

固有振动没有外界周期驱动，频率由系统参数决定，但并不是不受力，回复弹力或重力分量仍存在。理想弹簧振子$T_0=2\pi\sqrt{m/k}$，小角度单摆$T_0=2\pi\sqrt{l/g}$，固有频率$f_0=1/T_0$。

周期性外力持续作用时形成受迫振动。经过初始暂态并达到稳定状态后，

$$f_{\text{受迫}}=f_{\text{驱}}.$$

它不必等于$f_0$。驱动力每周期输入能量，阻尼每周期消耗能量，两者平均平衡时，即使有阻尼也可维持稳定振幅。刚开始驱动时自由振动成分可能尚未衰减，不能立即把全过程当作单一稳定频率。

3. 共振曲线横轴不是时间

共振指驱动频率接近固有频率时，系统出现较大响应振幅。高中弱阻尼模型常近似用$f_{\text{驱}}=f_0$表示共振条件。共振曲线横轴为驱动频率、纵轴为稳定振幅：任一点的横坐标都是当时的驱动频率，只有峰附近才是共振区域。

相同振幅可对应峰左、峰右两个不同频率。峰左侧提高驱动频率，峰右侧降低驱动频率，才朝峰靠近；是否能达到峰，还取决于可调频率范围。共振振幅受驱动力强度、阻尼等影响，不是“频率相等就无限大”。

在更一般的有限阻尼模型中，位移振幅峰可偏离无阻尼固有频率；这是由OpenStax 给出的稳态振幅表达式可推得的边界。本章原题采用弱阻尼近似，不能把峰值等式当所有真实装置的精确规律。

4. 移动工作点与移动共振峰

同一系统仅改变驱动频率，是沿原共振曲线改变工作点，没有改变固有频率。改变摆长、质量或回复力系数等系统参数，才需重新求$f_0$并判断峰的位置。

例如同地点的小角度单摆

$$f_0=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac gl}.$$

缩短摆长使周期减小、固有频率增大，共振峰向频率较高的右侧移动。不要把周期减小误读为频率减小。

二、考点 方法与例题

1. 三种图像分别读

1. 自由振动的位移—时间图：读同类峰间距$T_0$，取倒数得$f_0$。
2. 稳定受迫振动的位移—时间图：读$T_{\text{驱}}$，取倒数得$f_{\text{驱}}$。不比较峰高来猜频率。
3. 振幅—驱动频率图：由横轴确定工作点，峰给共振位置。先把两条时间图的频率关系求出，再定位峰左或峰右。
4. 需要求摆长时，先把$f$换成$T$再用周期式；注意图轴的Hz与s不能交换。

2. 解释衰减，先说能量去了哪里

从阻力或接触耗散入手，说明机械能转化或传递的去向。要判断频率是否变化，应比较相邻同类峰的时间间隔，而不是只看振幅。若持续驱动，也必须计入外力供能；有阻尼不自动等于振幅一定逐轮降低。

例题 01 钢尺、鼓皮、秋千与周期驱动

题目

（多选）在生活中我们见过很多的与机械振动有关的情形。如图，钢尺的振动为什么会越来越弱？鼓皮的振动为什么会逐渐变弱？荡来荡去的秋千没人推动后，为什么会慢慢停下来。部队过桥时为何不能齐步走？关于这些物理现象下列说法正确的有（     ）

振动-钢尺鼓皮秋千

A．钢尺振动逐渐减弱，主要是因为桌面的摩擦力消耗了能量

B．鼓皮的振动逐渐减弱，所以鼓皮的振动频率变小

C．秋千逐渐停止运动，是因为空气阻力和转轴的摩擦力导致

D．部队过桥不能齐步走是为了避免共振导致桥梁坍塌

答案与解析

原资料答案：ACD；其中A的“主要”应按原题采用的耗散模型理解，不能据题图确定所有真实钢尺装置的主导损耗。

A：桌面接触摩擦可消耗机械能，但材料内部损耗、空气阻力也可能存在。原资料将接触处摩擦视作主要机制，本题按该模型列入A；若要作真实实验结论，需要测量固定方式和各耗散贡献，题给信息不足以独立证明“主要”。

B错：鼓皮振幅变小只说明声音逐渐变弱，不能由此断言频率变小。C对：空气阻力、转轴摩擦消耗机械能，没人继续供能时秋千逐渐停下。

D按共振风险模型正确：整齐步频构成周期驱动，若接近桥梁某个固有频率，可能引起过大响应。它不是“任何桥在任何步频下必然坍塌”的结论，也不能把所有桥梁振动都解释为共振。本题作课堂模型辨析，不替代具体桥梁的实际通行规定。

本题结论

原资料取ACD；A的主导耗散、D的共振风险均有模型条件。

例题 02 由单摆共振曲线求摆长（多选）

题目

一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，重力加速度$g=10\,\mathrm{m/s^2}$，则（　　）

振动-单摆共振曲线

A．此单摆的摆长约为1m

B．此单摆的摆长约为4m

C．若摆长适当减小，共振曲线的峰将向右移动

D．若摆长适当减小，共振曲线的峰将向左移动

答案与解析

答案：BC。

按题设弱阻尼共振近似，峰处$f_0=0.250\,\mathrm{Hz}$，故$T_0=1/f_0=4\,\mathrm s$。由周期公式反求

$$l=\frac{gT_0^2}{4\pi^2}=\frac{40}{\pi^2}\,\mathrm m\approx4.05\,\mathrm m.$$

所以A错、B对。缩短摆长使$f_0=(1/2\pi)\sqrt{g/l}$增大，峰向右移动，C对、D错。曲线其他点的稳态频率仍等于各自驱动频率，不是整条曲线都以0.250Hz振动。

本题结论

BC。先读峰的频率，再取倒数求周期。

例题 03 两条时间图与一条共振曲线

题目

（多选）某做简谐运动的弹簧振子，自由振动时的振动图像如图甲中的曲线I所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图像如图甲中的曲线II所示，乙图为受迫振动的振幅A与驱动力的频率f的关系图像，关于此受迫振动对应的状态下列说法正确的是（　　）

振动-自由受迫与共振曲线

A．可能是图乙中的$a$点

B．可能是图乙中的$b$点

C．减小驱动力的频率，弹簧振子可能发生共振

D．增大驱动力的频率，弹簧振子可能发生共振

答案与解析

答案：AD。

I是自由振动，II是题目明确的稳定受迫振动。图甲中$T_{\mathrm{II}}>T_{\mathrm I}$，所以$f_{\text{驱}}<f_0$。图乙中只有峰左侧$a$点符合这一频率关系，故A对、B错，不能仅凭$a,b$的振幅相同就认为两者都可。

此时提高驱动频率才朝峰靠近，在可调范围允许时可能共振，D对；降低则继续远离，C错。这里改变的是驱动设置，不是原弹簧振子的固有频率。

本题结论

AD。时间图先定频率关系，再到共振曲线定位。

三、坑点 辨析与纠错

1. 稳定受迫不等于已经共振

受迫频率跟随驱动，固有频率属于系统；二者只在共振附近接近。相同振幅也不能证明频率相同。暂态与稳定态分开，系统参数与驱动设置分开，便不会把三个概念混成一个。

2. 机械能损失不等于总能量消失

衰减要交代能量去向；维持振幅要交代能量来源。弱阻尼下峰间距近似不变，不代表任何阻尼都不影响频率。钢尺图也不能独立证明哪一种耗散“主要”，原题的模型口径与真实装置的实验结论须分开。

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