两种实验都涉及半径与运动快慢，但力的比较和周期测量使用不同的控制量。先辨装置读到什么，再把数据代入模型。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

标尺格数如何对应向心力

演示器中挡板对球的压力提供径向约束，球对挡板的反作用经杠杆、弹簧套筒转成标尺露格。在两侧标定一致、稳定转动时，格数比反映径向力大小比，不是直接读速度。

用$F=m\omega^2r$研究某一量，另两量必须保持不变。$m$为球质量（kg），$r$为球到转轴距离（m），$\omega$为角速度（rad/s），$F$单位N。同体积不同材料不一定等质量；研究半径关系还须保持同角速度。

球半径与塔轮半径不是一个量

无滑动皮带满足$\omega_{\text{左}}R_{\text{左}}=\omega_{\text{右}}R_{\text{右}}$。$R$是所选塔轮层与皮带接触的半径，$r$才是球运动半径。球随转臂继承该侧角速度；换塔轮层可改变两侧角速度比，不能从球位置代替塔轮尺寸。

单摆测量链与误差控制

小角度单摆用$T=2\pi\sqrt{l/g}$，平方再解得$g=4\pi^2l/T^2$。有效摆长$l$从悬点到球心，单位m，$T$单位s，$g$单位m/s²。量到球上端应加半径，量到球底端应减半径。

轻而不伸长的线、小而较重的球、约5°以内小摆角、同一竖直平面释放是模型控制；不推球形成圆锥摆，摆线不能无限加长。最低点易观察，测多个全振动总时间$t$，$T=t/n$可降低反应时间误差占比；重复测量，异常摆动先查原因，不盲目平均。

二、考点 方法与例题

方法一：控制两量，用力比反求角速度比

比较质量时控制$r,\omega$；比较$r$时选等质量两球并使塔轮等半径来保持同角速度；比较$\omega$时保持球质量与运动半径。匀速摇柄，检查读数稳定，两侧标定相同才取格数比。若$m,r$相同，则$\omega_1/\omega_2=\sqrt{F_1/F_2}$，不可漏平方根。

例题 01 向心力演示器的塔轮与标尺（原题）

题目

在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示器如图a所示，图b是演示器部分原理示意图：其中皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的2倍，两转臂上黑白格的长度相等。A、B、C为三根固定在转臂上的挡板，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，图a中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系。可供选择的实验球有：质量均为2m的甲球和乙球、质量为m的丙球。

向心力演示器原理与塔轮比例

(1)下列实验与本实验方法相同的是（　　）

A．探究平抛运动的特点

B．探究两个互成角度的力的合成规律

C．探究加速度与力和质量的关系

(2)为探究向心力与圆周运动轨道半径的关系，实验时应选择甲球和 球作为实验球；

(3)在某次实验中，一组同学把甲球和乙球分别放在A、C位置，将皮带处于塔轮的某一层上，匀速转动手柄时，左边标尺露出1个分格，右边标尺露出4个分格，则A、C位置处的小球转动所需的向心力之比为 ，A、C两个挡板角速度之比为 。

答案与解析

（1）C，控制变量法。研究$a$与力、质量的关系同样要固定另一个量；力合成实验的核心是等效替代，平抛实验用分运动比较。

（2）乙球，甲乙质量同为$2m$。这只是等质量条件，真正研究半径还应使两侧角速度相同，例如使用①④同半径层。

（3）两侧标尺露格1∶4，故$F_A:F_C=1:4$。A、C距转轴相同且球等质量，约去共同$2m,r$，

$$\frac{F_A}{F_C}=\frac{\omega_A^2}{\omega_C^2}=\frac14,\qquad \omega_A:\omega_C=1:2.$$

题干①④等半径，②是①的2倍，⑤是④的一半，所以第二层塔轮半径比是4∶1，不是2∶1。第三层尺寸未给，题目也没要求确定皮带在哪层；上述答案由标尺、等质量和等球半径已足够，不能据示意图猜未给尺寸。

方法二：先数时间间隔，再读坐标轴

每次通过最低点都计数，相邻通过相隔$T/2$；只数同方向通过才相隔$T$。起点数0到50是50个半周期间隔，共51次到达，故$T=t/25$。

单摆测重力加速度完整四问已保留原装置图、三项做法和四问，本页不重复题卡。其图纵轴为测得长度$L$，横轴$T^2$；按原解析提出的可能原因，若$L$量到球底端，则$L=l+r$给出

$$L=\frac{g}{4\pi^2}T^2+r.$$

因此斜率$k$单位m/s²，$g=4\pi^2k$，正截距可能为多量的半径$r$。固定半径只改变自由拟合截距，不改变斜率；若强迫过原点则会把长度偏差混入斜率。换成纵轴$T^2$横轴$l$，斜率变成$4\pi^2/g$，换算不可照抄。

三、坑点 辨析与纠错

不能只选等质量就声称控制好了半径实验

等质量但转速不同，向心力变化可能来自两个变量；同半径而质量不同也一样。列出$m,r,\omega$三列，明确每组固定的两列，避免只凭装置“看起来一样”。格数粗读、摩擦与转速不稳都可能造成偏差。

时间与长度的误差分别传入g

由$g\propto l/T^2$，有效摆长低估或周期高估均使直接计算的$g$偏小。操作造成的周期变化应先分析模型条件，不能把全部误差都归因于尺子；倒数斜率或半周期计数错误是处理错误，不会因多测几次自动消失。

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