气体过程选律与状态图像

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先找真正固定的量，再选择气体关系。相同装置的两次操作可以有完全不同的约束，图像横轴也可能是摄氏温度而不是开尔文。

一、知识点概念与依据

1. 等温不是“仍在同一个房间”

固定量理想气体温度不变时，玻意尔定律为

pV=C,\qquad p_1V_1=p_2V_2.

$p$ 为绝对压强， $V$ 是整份气体体积，常量 $C=nRT$ 取决于气体量和温度，不是所有气体通用的同一个数。无漏气、无充气是固定量的前提。

微观上温度不变使平均平动动能不变，压缩使数密度增加，单位面积单位时间的撞击冲量增加，所以压强上升。也可由 $pV=nRT$ 且 $n,T$ 固定直接得到。

导热容器中缓慢压缩且充分与恒温环境平衡，可近似等温；快速压缩即使处于同一房间，也不能直接认为气体温度不变。实际气体还需满足理想近似，不能无限压到接近液化仍硬套。

2. 三个固定量与一般两态式

确认保持不变	关系	常见约束依据
$n,T$	$p_1V_1=p_2V_2$	恒温热接触、缓慢并达平衡
$n,p$	$V_1/T_1=V_2/T_2$	活塞自由、载重与外压恒定
$n,V$	$p_1/T_1=p_2/T_2$	刚性容器、固定活塞
仅 $n$	$p_1V_1/T_1=p_2V_2/T_2$	初末均可用平衡状态描述

温度比用K。量 $n$ 变化则分别写 $p_iV_i=n_iRT_i$ ，同一个容器不能代替同一份气体。加热不自动等压，压缩不自动等温。有卡环、接触、转向时，原约束可能结束，必须分段重列。

3. 液柱压强与气体体积是不同几何量

静止同种液体在同一水平面处压强相等，以 $p=p_0\pm\rho g\Delta h$ 联系两侧。封闭气体侧液面较高，气体压强较小，取减号；较低则取加号。水银高度不是Pa，若采用cmHg，必须所有压强同用该单位才可直接求比。

均匀管中 $V=SL$ 可用长度比代体积比，但限于同一截面、整份气体只占该段管道。液柱原量保持与额外注入液体是不同几何条件，不能把两种操作的位移关系交换。

4. 读气体图像先认坐标

$p-V$ 图横线等压、竖线等容，等温线满足 $pV$ 不变。固定量气体的 $p-T$ 等容线过原点，而 $p-t$ 的对应延长线约过−273℃，并非0℃。同理等压 $V-T$ 线过原点， $V-t$ 延长线约过−273℃。

由方程可读斜率： $p-T$ 等容线斜率 $nR/V$ ； $V-T$ 等压线斜率 $nR/p$ ； $p-(1/V)$ 等温线斜率 $nRT$ 。比较斜率要保留气体量等前提，不能在不同 $n$ 时只凭斜率给温度排序。

二、考点方法与例题

1. 系统—受力—几何—状态四步

先画气体边界，判量是否固定；活塞或液柱先求绝对压强；再由截面和液面位移求全部体积，温度转K。只有这张状态表完成后才选定律。求完复核方向：等温 $p$ 升则 $V$ 降，等压升温则 $V$ 增；若算出的接触力不允许或超约束范围，须换阶段。

2. 状态图利用已知点建立体积标尺

图中若有已知温压下的摩尔体积，用 $nV_m$ 给出该点体积；沿等容段体积不变，再沿等压段用温度比换算。始终看横轴是 $t$ 还是 $T$ ，不能将127和227直接相除。

例题 01 U形管中的加热与恒温注液

题目

本题是历史教材水银装置的纸面计算，不建议自行取用、加热或注入水银；水银洒漏有暴露与污染风险，相关处置需遵循EPA 水银安全提示及当地专业要求，本页不提供操作步骤。

如图所示，粗细均匀的U形管，左端封闭，右端开口，左端用水银封闭着长L=45cm的理想气体，当温度为27℃时，两管水银面的高度差Δh=10cm，外界大气压为75cmHg。

(1)若对封闭气体缓慢加热，使左、右两管中的水银面相平，求封闭气体的摄氏温度t；（结果保留整数）

(2)若封闭气体的温度不变，从右管的开口端缓慢注入水银，使左、右两管中的水银面相平，求注入水银柱的长度l。

答案与解析

初态左液面高10cm，气体绝对压强 $p_1=75-10=65\,\mathrm{cmHg}$ ， $T_1\approx300\,\mathrm K$ 。

（1）原水银量不变、两臂等截面，达到等高时左液面下降5cm、右液面上升5cm，气柱长 $L_2=45+5=50\,\mathrm{cm}$ ， $p_2=75\,\mathrm{cmHg}$ 。温度、压强、体积都变，应用两态式：

\frac{65\times45}{300}=\frac{75\times50}{T_2},\qquad T_2=\frac{5000}{13}\,\mathrm K\approx384.62\,\mathrm K.

按273近似， $t_2\approx111.62\,{}^\circ\mathrm{C}$ ，取整数为112℃。原解385K是近似数，不是精确等式。

（2）这是从原初态另做的一次恒温操作，不沿用第（1）问的末态。末态等高压强75cmHg，由玻意尔定律

65\times45=75L',\qquad L'=39\,\mathrm{cm}.

左液面比原来上升 $45-39=6$ cm；右侧原本低10cm，现升至新左面，共升16cm。新增水银在两臂所占长度为 $l=6+16=22\,\mathrm{cm}$ 。这一步来自几何和体积关系，不是气体定律直接给注入长度。

本题结论

（1）112℃；（2）22cm。两问独立从同一初态出发，约束不同。

例题 02 压强—摄氏温度图上的两个状态

题目

0.3mol的某种气体的压强和温度的关系图像（p—t图像）如图所示。 $p_{0}$ 表示1个标准大气压，标准状态（0℃，1个标准大气压）下气体的摩尔体积为22.4L∙ $\mathrm{mol}^{-1}$ 。下列说法正确的是（）

A．状态A时气体的体积为5.6L

B．状态A时气体的体积为7.72L

C．状态B时气体的体积为1.2L

D．状态B时气体的体积为8.4L

答案与解析

答案：D。

0℃、 $p_0$ 处，由题给标准摩尔体积得 $V=0.3\times22.4=6.72\,\mathrm L$ 。从该点到A的直线延长约过−273℃，所以是 $p\propto T$ 的等容线， $V_A=6.72\,\mathrm L$ ，A、B均错。

A到B为水平等压段， $T_A=127+273=400\,\mathrm K$ 、 $T_B=227+273=500\,\mathrm K$ ，

V_B=V_A\frac{T_B}{T_A}=6.72\times\frac{500}{400}=8.4\,\mathrm L.

D对；C的1.2L不仅数值不符，也违反等压升温体积应增大的方向。