功与功率：方向、过程和快慢

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判断功先看力与位移，判断瞬时功率先看力与速度。匀速时总功可以为零，却不表示每一个力都不做功。

一、知识点概念与依据

1. 恒力做功是力与位移的点积

恒力作用于按质点处理的物体，力大小 $F$ ，该过程位移大小 $s$ ，夹角 $\alpha$ ，则

W=\vec F\cdot\vec s=Fs\cos\alpha.

力用N、位移用m、功用J， $1\,\mathrm J=1\,\mathrm{N\cdot m}$ 。把力分解为沿位移分量 $F\cos\alpha$ 和垂直分量，只有沿位移分量在这段位移中做功。功是标量，正负表示能量传递方向，不表示空间方向。

锐角为正功，钝角为负功，垂直为零功。这里位移相对于选定参考系，默认地面惯性系近似；与施力物体之间没有相对滑动，不意味着对地没有位移或该力零功。

2. 变力、曲线和总功怎样处理

变力或曲线运动可分成足够短的小段，对每段用局部力与小位移作点积，再代数相加。不可拿不断变化的力直接乘全程净位移，或拿最后一段方向代表全程。恒力仍可直接用首末净位移；大小恒定、始终反向于运动的阻力，分段负功相加为 $W=-fL$ ，其中 $L$ 是总路程，不是往返净位移。

同一质点所受各力的功作代数和，等于合力功。若匀速直线运动，合力零、总功零，正功和负功仍可各自非零。求“某施力者做的总功”时，还要列全该施力者的各处作用，例如人对车的手推与脚部接触，不能只取最显眼的一项。

支持力和静摩擦是否做功都不能按名称背结论：固定光滑轨道支持力垂直瞬时运动，才零功；移动台阶托人下降时支持力可做负功；静摩擦也可传递能量。

本章以质点为主。若物体变形、明显转动或涉及内部能量，须明确力作用点的运动，不能无条件用任意力乘整体重心位移。

3. 平均功率与瞬时功率

功率描述做功快慢。某力在时间 $\Delta t>0$ 内做功 $W$ ，平均功率 $\bar P=W/\Delta t$ ；瞬时功率为

P=\vec F\cdot\vec v=Fv\cos\alpha.

$v$ 是当时速度大小， $\alpha$ 是力与速度夹角。单位为W， $1\,\mathrm W=1\,\mathrm{J/s}$ 、 $1\,\mathrm{kW}=1000\,\mathrm W$ ；单位W和功的符号 $W$ 不是同一含义。

瞬时式来自极短时间内 $\Delta W\approx\vec F\cdot\Delta\vec s$ ，除以同一 $\Delta t$ 并取极限，位移变化率成为速度。只有力与速度同向时可写 $P=Fv$ ；以竖直向下为正，重力瞬时功率 $P_G=mgv_y$ ，不能把合速率直接乘 $mg$ 。

恒力矢量下， $\bar P=\vec F\cdot\bar{\vec v}$ ，这里平均速度是净位移除时间，不是平均速率。力或方向变化时，一般不能把平均力乘平均速度来求平均功率。两端瞬时功率相等，也不代表过程平均功率等于端点值。

4. 额定功率、实际牵引功率与启动边界

发动机实际牵引功率在牵引力沿运动方向时满足 $P=Fv$ 。功率恒定且 $v>0$ ，速率增大则牵引力减小。额定功率是允许达到的上限，不表示每一时刻实际功率都等于该值。

“恒功率从静止”不能按 $F=P/v$ 在 $v=0$ 处推出实际无限牵引力，启动过程还受牵引能力等约束，恒功率只是适用阶段的理想模型。牵引力功率也不是全部外力的总功率，阻力等仍要另算。

二、考点方法与例题

方法一：列力 → 认接触面 → 与对地位移比较

先选对象和参考系，接着画真实力方向。水平台阶支持力竖直，斜履带支持力垂直斜面，摩擦沿接触面。逐力判正负再求代数和，最后用匀速或动能变化检查总功，不能先用总功零抹去每个单力功。

例题 01 台阶扶梯与斜履带上的人（原题，显然字误校正）

题目

如图所示，图甲是一人站在台阶式自动扶梯上匀速向下运动（不计扶手的影响），图乙是一人站在履带式自动扶梯上匀速向下运动，且两人相对扶梯均静止。下列关于力做功的说法正确的是（　　）

A．甲图中摩擦力对人做正功

B．甲图中支持力对人做负功

C．乙图中摩擦力对人做正功

D．乙图中支持力对人做负功

答案与解析

答案：B。原题“图一”据配图甲、乙及四选项校为“图乙”，未改物理条件。

甲水平踏面上，人对地匀速斜向下且不计扶手作用。重力向下、支持力向上，平衡；水平方向不需要摩擦，摩擦为零。下降时重力正功、支持力负功，A错、B对。

乙斜履带上，重力有沿坡向下分量，静摩擦沿坡向上平衡它，支持力垂直坡面。人实际沿坡向下运动，静摩擦负功，支持力零功，C、D错。

两种情形总功均为零，分别由甲的支持力负功、乙的静摩擦负功抵消重力正功；这与匀速动能不变一致。

本题结论

B；相对扶梯静止不代表对地位移为零。

方法二：先圈力与时间范围，再求功率

问“某点瞬时”，查当时速度方向；问“全程平均”，先求全程总功再除实际总时间。重力功用净高度差而非弧长。途中趋势需分析竖直分速度，不能仅因合速率增大就说重力功率一直增大。

例题 02 四分之一圆弧滑梯上的重力功率（原题）

题目

景区名称及“超级”等称谓按原题材料转述，不作为现实排名、称号或设施状态的独立认证。

高邮市珠湖小镇的超级滑梯可简化成光滑的四分之一圆弧轨道，游客从最高点A（与圆心O等高）由静止滑下，则游客（　　）

A．在B点时重力势能一定为零

B．在A、B两点时重力的瞬时功率相等

C．从A点运动到B点的过程中，重力的平均功率为零

D．从A点运动到B点的过程中，重力的瞬时功率先减小后增大

答案与解析

答案：B。 A点从静止释放， $P_G=0$ ；B点速度水平，与重力垂直， $P_G=0$ ，所以B正确。B点势能是否零取决于零势能面的选择，A不能成立。

全过程下降高度 $R$ ，重力功 $mgR>0$ ，支持力一直垂直轨迹而零功，平均重力功率 $\bar P_G=mgR/t>0$ ，C错误。没有给实际滑行时间，不编造数值。

D把变化顺序颠倒：光滑固定圆弧上重力功率先增后减。可进一步核验其单峰性，而不只凭两个端点为零：设从A沿弧下滑的圆心角为 $\phi\in[0,\pi/2]$ ，下降高度 $R\sin\phi$ ，能量关系给 $v^2=2gR\sin\phi$ ，竖直分速度 $v_y=v\cos\phi$ 。令 $u=\sin\phi$ ，则

P_G^2=2m^2g^3R\,u(1-u^2).

$u$ 从0增至1，函数 $u-u^3$ 的导数为 $1-3u^2$ ，在 $u=1/\sqrt3$ 前正后负，因此功率确实先增后减。此处函数核验为手册补充推导，不是原题新增条件。