外观
高中数学
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从集合与逻辑出发，按侧栏顺序学习不等式、函数、导数、三角函数、向量、数列、几何、概率统计与复数。阅读时同时核对概念、条件和推理方向。
本手册含 342 个学习单元，覆盖此次提供的材料范围。每页依次阅读知识点、考点和坑点，例题的答案与解析默认折叠。
一、集合与逻辑
- 1. 集合的概念与表示
- 2. 集合关系与空集
- 3. 含参集合与分类讨论
- 4. 集合运算、韦恩图与反求问题
- 5. 子集、输出与受限计数
- 6. 新定义中的全称、生成与封闭证明
- 7. 命题、量词与否定
- 8. 充分必要条件与双向证明
- 9. 逻辑条件与含参范围
二、不等式
- 1. 不等关系、建模与运算边界
- 2. 比较大小与分式证明
- 3. 范围求解与共同取值
- 4. 二次式的根、符号与含参分类
- 5. 恒成立、有解与真实区间极值
- 6. 变化的量词、端点与函数比较
- 7. 从解集恢复二次式与整数计数
- 8. 基本不等式、四均值与连续放缩
- 9. 从约束构造定和与定积
- 10. 整体量、二次约束与分层最值
- 11. 最值阈值与方程有解
- 12. 成本、用料与实际总量的最值模型
- 13. 分式、绝对值与分段判号
三、函数
1. 函数基本性质与抽象关系
- 函数的对应、表示与同一性
- 原式定义域与复合输入范围
- 从关系恢复函数：换元、联立与系数
- 函数值与分段规则：逐次输入、逐段筛选
- 求完整值域：换元、倒数与输出反解
- 范围条件反推：参数、覆盖与输入选择
- 单调性的证明、运算与复合方向
- 单调模型与最值：分支、端点和实际图象
- 奇偶性的定义、运算与参数核验
- 奇偶反射：补规则、补图与迁移单调最值
- 轴与中心对称：输入配对、平移与函数值比较
- 抽象函数：合法赋值、恒等关系与单调证明
- 函数不等式：合成输入合法性与等价比较
- 单调与最值求参：跨段顺序、严格边界与共同条件
- 周期与反周期：合法平移、分组求和与公式还原
- 函数的界：是否取得、参数边界与统一上界
- 构造辅助函数：从两点差式找到比较对象
- 内部峰谷与区间：严格转向、值域实现和开端点
- 题设新定义：区间值域配对与局部等式存在
- 按定义比较输出：非减夹值与中点不等式
- 按规则选值与判图：取整、最大最小组合和图象筛选
- 二次函数：配方、图象、距离比较与限定区间
2. 应用模型
- 函数零点、存在性与分支计数
- 二分法、误差保证与停机标准
- 水平线原像、复合零点与根的关系
- 实际函数模型的量、单位与可行域
- 固定行程的消耗、费用与补能时间
- 内外边长、道路分割与面积最值
- 总利润、分段最优与整数方案
- 定价与收入不等式
- 比例幂模型与反求输入
- 对数刻度与实际数量比
- 等比例更新、剩余量与累计量
- 温差冷却、周期与剩余时间
- 函数拟合：求参、残差与外推
- 拟合后的参数、范围与最优方案
- 分段模型的求参与阈值范围
3. 幂函数与综合比较
- 根式与指数幂：从取根约定到逐层运算
- 实数指数与等式：统一底数、共同幂值和交叉取幂
- 根幂式的结构计算：合法范围、已知幂值与倒数组合
- 幂函数的标准形式、过点与定义域
- 幂函数的变化方向、完整值域与图象
- 幂函数的奇偶筛选与跨分支不等式
- 比较隐含量：构造同一函数与补足图象依据
4. 指数与对数
- 指数函数：标准结构、图象方向与过点定底数
- 幂值比较：同底数、同指数与中间值
- 指数不等式：去幂方向、复合输入与量词范围
- 对数的定义、指对互化与合法范围
- 对数运算：积商幂、换底与连乘
- 对数恒等证明中的零值与底数条件
- 对数函数：完整定义域、等价形式与过点求式
- 对数图象：方向、反射与真实定义域
- 对数大小比较：固定对象、有效中间量与乘积上界
- 对数方程与不等式：保留原域、换元还原与参数边界
- 对数复合函数的区间条件：开闭端点与量词
- 用对数判断数量级与位数
四、导数
- 1. 变化率、导数定义与几何意义
- 2. 基本公式、四则与链式求导
- 3. 切点、过点与切线关系
- 4. 导数与单调性：符号、参数和量词
- 5. 极值、驻点与逆向参数
- 6. 全局最值、端点与实际优化
- 7. 零点个数、参数分界与根的关系
- 8. 恒成立、存在性与严格参数边界
- 9. 辅助函数、二次构造与不等式证明
- 10. 函数图像、导函数与二阶变化
- 11. 新定义翻译、抽象恒等式与选点回验
- 12. 双变量约束、降维与可行域还原
- 13. 反射、倒数与比例换元：证明两点的位置关系
五、三角函数与解三角形
1. 三角函数
- 角、终边与弧度度量
- 单位圆、三角函数值与诱导变换
- 同角关系与和差角：从定义到求值
- 三角函数图象：周期、对称与分支
- 倍角、辅助角与恒等证明
- 三角曲线的零点、交点与周期距离
- 正弦型函数：五点作图与参数还原
- 三角图象的平移、伸缩与逆变换
- 限定范围中的单调、最值与新定义
- 周期模型：起点、方向与实际时间
2. 解三角形
六、平面向量
- 1. 向量、模与零向量：分清对象和表示
- 2. 相等、相反与共线：长度方向分开检查
- 3. 向量加减：先接路径，再核箭头
- 4. 数乘与共线：参照非零才能比较系数
- 5. 位置向量与分点：系数、方向和长度比
- 6. 平面基底：不共线带来存在与唯一
- 7. 向量坐标：把方向关系写成不除零的等式
- 8. 数量积：结果是数，展开靠分配律
- 9. 组合向量的模与夹角：平方、点积、非零检查
- 10. 向量投影与范围：数量、向量和模分别回答
- 11. 平面几何的向量法：选表示、做运算、回到图形
- 12. 物理中的向量：合力、渡河与恒力做功
七、数列
1. 数列基础
2. 等差数列
3. 等比数列
- 等比定义与基本量：非零条件贯穿全程
- 等比下标性质与中项：乘积规则和正负分支
- 正项等比与对数等差：定义域、还原及求和
- 等比前n项和：错位相减、常数列与非零块和
- 等比求和与反求参数：移位、分支和首项核对
- 等比分块与奇偶配对：零块、项数和负公比
- 等比项与前和的最值：正公比、奇偶子列和取到边界
4. 求和方法与综合
- 裂项相消：系数、下标步长与最后端点
- 错位相减：同幂对齐，首尾单列
- 倒序相加：配对区间、恒等式与奇数中心
- 求和方法选择与分组并项：目标结构、组数和余项
- 等差等比交汇：对象辨认、合法根与混合求和
- 数列新定义：按规则翻译、保留量词、回验全部条件
- 数列不等式：放缩方向、整数边界与参数量词
- 实际数列模型：期间量、期末量与时间编号
八、立体几何与空间向量
1. 几何体与度量
2. 空间位置、角与距离
- 平面确定、空间位置与交线证明
- 平面截切与空间分区
- 空间方向与线面平行
- 平行平面的判定与性质
- 平行条件与分点
- 异面直线所成角
- 射影与直线平面角
- 线面垂直与相交双线
- 两面垂直的判定与性质
- 垂直关系、二面角与活动点
- 二面角与垂棱截面
- 空间距离：垂足、转移与等体积
3. 空间向量与坐标方法
- 空间向量：概念与线性运算
- 空间向量：分点系数与参数
- 空间向量：共线、共面与条件检查
- 位置向量：权重和与共线共面
- 空间向量：证明点共线与共面
- 空间基底：存在、唯一与换基
- 空间数量积：运算、求模与垂直参数
- 空间向量：夹角、投影与正交分解
- 空间直角坐标：定位、位移与对称
- 空间向量坐标：度量与参数
- 方向向量与法向量：从方向到位置
- 向量证平行：方向相同还要位置分离
- 向量证垂直：区分三个目标
- 向量求线线角与线面角
- 向量求二面角：保留指定半平面
- 向量求点线、点面与平行面距离
- 向量求异面直线距离
- 向量方程处理空间存在性
九、解析几何
1. 直线与方程
- 直线倾斜角与斜率
- 两点斜率与线段方向范围
- 由直线方向条件求参数
- 选择直线方程：点斜、斜截与两点式
- 直线截距与坐标轴三角形面积
- 直线一般式、方向参数与定点
- 平面直线的位置、平行与垂直
- 直线交点与交点个数
- 过交点的直线系与三线围成三角形
- 平面距离、中点与等距参数
- 点与直线的中心对称、轴对称
- 反射法、折线最短与光线方向
- 直角坐标建模、线性数量与实际方向
2. 圆与方程
- 真圆条件、点圆位置与参数范围
- 圆的两种方程与几何定位
- 直线与圆的位置关系和参数
- 弦长、中点弦与有关面积
- 部分圆、交点筛选与有限路线
- 圆切线、切点与切线段长度
- 两圆位置、公切线与切点间距
- 圆系参数、归一化与完整性
- 两圆相减、公共弦与真交点
- 圆的定点与动点轨迹
- 圆的中心对称与轴对称
- 圆上点的最值与范围
3. 椭圆
- 椭圆的定义、方程与轨迹
- 椭圆的焦轴辨识与参数
- 椭圆的几何性质与离心率
- 离心率条件下的参数与范围
- 椭圆焦半径与焦点三角形
- 椭圆定义与距离最值
- 点、直线与椭圆的位置关系
- 椭圆弦长、中点弦与轨迹
- 椭圆弦上的面积关系
- 椭圆上的距离最值与线性量范围
- 椭圆中的定点、定值与定直线
- 椭圆中的向量分点与射线参数
- 椭圆模型中的近远距离
4. 双曲线
- 双曲线的定义、分支与轨迹
- 双曲线标准式的正项、半轴与参数
- 双曲线的轴、范围与渐近线
- 渐近线族、离心率与等轴条件
- 焦半径、焦点三角形与准线
- 用焦点距离转换证明最短距离
- 直线交点数、相切与同支判定
- 弦长、点差与中点弦的存在
- 同支条件与斜率定值的合法参数域
- 定点、定直线与全参数恒等证明
- 有向分点、模长与数量积
- 中点、中心对称与面积
- 最值、确界与完整参数范围
- 距离差定位与双曲线型构件
5. 抛物线
- 等距轨迹与非退化的抛物线
- 四种标准式与焦点准线读取
- 几何性质、焦半径与参数辨析
- 定义替换与折线路径最小值
- 直线交点、降次与相切判别
- 抛物线普通弦、中点弦与存在性
- 抛物线焦点弦、通径与端点切线
- 抛物线点处切线、外点切线与切点弦
- 抛物线定值、定点与定直线的全参数证明
- 抛物线向量比例、根积与垂直
- 抛物线最值的可达性与参数完整值域
- 抛物线三角形的底高、根差与面积拆分
- 抛物线截面模型：拱桥水位与天线焦点
十、计数与概率统计
1. 计数与二项式
- 计数对象、分类与分步
- 数位、指数与整点的编码计数
- 受限排列：位置、相邻与定序
- 排列与组合：选组、分职与公式
- 分组与分配：对象身份、接收者标签与隔板
- 邻接涂色与同色分支
- 圆排列：先约定旋转等价，再处理邻接
- 乘积与三项展开：找齐搭配，再合并系数
- 二项展开与特定项：项序、指数、系数分开求
- 系数和与组合恒等式：赋值、递推、带权与配对
- 最大与最小系数：先分对象和符号，再比较
- 二项展开的应用：整除余数与近似误差
2. 概率基础
- 随机试验与样本空间：先说清记录什么
- 事件关系与运算：把整句话翻成样本点条件
- 频率与概率：记录、估计与稳定性
- 有限概率计算：等可能计数、互斥分解与完整取补
- 独立性判断：先核机制，再比较交概率与乘积
- 独立试验组合：模式内相乘，互斥模式间相加
- 游戏机会：从规则到公平性
- 随机模拟：编码、完整轮次与概率估计
3. 条件概率
4. 离散随机变量
- 随机变量：结果、数值与记录规则
- 离散分布列：取值事件与概率约束
- 数学期望：按概率加权与线性性质
- 方差与标准差：平方偏差、变换和求和条件
- 变量变换：同值合并与阈值事件
- 二项分布：重复独立试验的成功次数
- 二项众数：用相邻概率比较峰值
- 超几何分布：固定总体中的不放回抽样
- 两点分布与指示变量
- 有限停止试验：路径、终值与平均费用
- 状态概率递推：条件转移与有限范围筛选
- 方案比较：平均、稳定与达标概率
5. 正态分布
6. 抽样与描述统计
- 统计调查的对象：总体、变量与样本
- 简单随机抽样：实施规则与三种抽中概率
- 分层抽样：分层依据、配额与总体权重
- 频率直方图：高度、面积与人数
- 统计图比较：先认对象、单位和分母
- 集中趋势：总和、位置与频数
- 分组数据的集中趋势估计
- 百分位数：排序、分支与计算约定
- 方差与标准差：先定对象，再量离散
- 频率表的离散程度：精确取值与中点模型
- 线性变换：均值平移与离散缩放
- 总体均值估计：分清记录与层权重
- 群体比较：指标、权重与合并方差
- 调查报告：问题、证据与结论范围
7. 相关分析
- 成对观测：函数、统计关联与因果
- 散点与方向：整体趋势不是逐点规律
- 相关系数：中心化、总和式与抽样衔接
- 相关系数的范围、强弱与证据界限
- 相关系数的变换：配对、平移与缩放
- 删点后的相关与残差：重新计算新样本
- 三列相关系数：界与可达性（拓展）
8. 回归分析
- 回归模型：真实响应与经验预测
- 最小二乘：目标、配方与唯一性
- 回归计算：原始数据、汇总量与精度
- 回归中心、残差正交与样本更新
- 回归单位变换：两轴同时还原
- 残差：方向、反求与残差图
- 拟合效果：平方和分解与决定系数
- 模型选择：诊断、题内规则与预测
- 预测与系数解释：变化不等于因果
- 预测的时间编号、变换与单位
- 解释变量线性化：逐点变换再拟合
- 曲线选型与中心所在的坐标平面
- 响应取对数：回代曲线与平均的区别
9. 独立性检验
- 二分类数据与列联表补全
- 联合频率、条件频率与组间比较
- 等高堆积图：比例还原与人数关系
- 总体独立、零假设与关联边界
- 检验前提与后续抽样：三层条件分开
- 卡方统计量：期望格、偏差与闭式
- 卡方比较与样本容量反求
- 小概率原理与显著性水平
- 临界值、指定水平与结论边界
- 合并分类与后续抽样的模型衔接