弦长、点差与中点弦的存在

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作差先给方向，联立再给真实端点；弦可同支也可跨两支。

一、知识点理解概念

1. 弦要有两个不同真实端点

横轴型 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ ， $a,b>0,c^2=a^2+b^2$ ；弦是两不同曲线点 $A,B$ 间的线段，可以同支，也可以跨两支。给中点 $M=(u,v)$ ，不能把一条过 $M$ 的候选直线自动当真实中点弦。纵轴型交换坐标。

2. 根差求长保最高次系数的绝对值

非竖直线 $y=kx+m$ 的端点满足 $\Delta y=k\Delta x$ ，所以 $AB^2=(1+k^2)(\Delta x)^2$ 。消元二次式 $Ax^2+Bx+C=0$ 确有 $A\ne0,\Delta>0$ 时，韦达给

AB=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} =\frac{\sqrt{1+k^2}\sqrt\Delta}{|A|}.

分母必须绝对值，长度非负。若用 $x=my+n$ 的纵根，则为 $\sqrt{1+m^2}|y_1-y_2|$ ；不能不核 $k\ne0$ 就把 $m$ 换为 $1/k$ 。竖直线直接求 $|y_1-y_2|$ 。

3. 先作差，不除未知分量

两端标准式相减，利用坐标和为 $2u,2v$ ：

\frac{u\Delta x}{a^2}-\frac{v\Delta y}{b^2}=0.

这是必要方向条件。只有另核 $v\ne0,\Delta x\ne0$ 才能写斜率 $k=b^2u/(a^2v)$ 。 $M\ne O$ 时法向 $n=(u/a^2,-v/b^2)\ne0$ ，候选线为

n\cdot((x,y)-(u,v))=0.

它给唯一候选方向，但未保证两个实端点。

4. 对称参数把必要方向补成存在证明

取候选线上非零方向 $d=(s,t)$ ，设端点 $M\pm hd$ ，记 $Q(x,y)=x^2/a^2-y^2/b^2$ 。方向条件使交叉项为零，故

Q(M\pm hd)=Q(M)\pm2h\left(\frac{us}{a^2}-\frac{vt}{b^2}\right)+h^2Q(d) =Q(M)+h^2Q(d).

$Q(d)\ne0$ 时必须 $h^2=(1-Q(M))/Q(d)>0$ ，才得两个不同实点并自动以 $M$ 为中点；零给一点，负无实端点。 $Q(d)=0$ 必须回 $Q(M)=1$ 检查，不能除零。

对本双曲线的非中心 $M$ ，还可具体取 $d=(a^2v,b^2u)\ne0$ ，有 $Q(d)=-a^2b^2Q(M)$ 。所以 $Q(M)=0$ 时常数方程变 $0=1$ ，无弦；其它情形存在恰 $Q(M)<0$ 或 $Q(M)>1$ 。这是从充分构造推出的分类，不是只画出候选线。

5. 特殊中点与通径

$M=(u,0),u\ne0$ 时必要方向竖直，实际须 $|u|>a$ ；等号仅顶点，小于无弦。 $M=(0,v),v\ne0$ 时为水平弦，两支端点存在。

$M=O$ 时点差恒零，不能唯一指定方向。过中心线 $hd$ 只有 $Q(d)>0$ 才有 $h=\pm1/\sqrt{Q(d)}$ 两对称端点，必异支；非竖直横轴型对应 $|k|<b/a$ ，渐近方向 $Q(d)=0$ 无点。

通径是过焦点且垂直实轴的弦。横轴型代 $x=c$ 得 $y^2=b^2(c^2/a^2-1)=b^4/a^2$ ，长 $2b^2/a$ ；纵轴型交换坐标同值，不适用于任意焦点弦。

二、考点方法与例题

1. 求线、求长、检存在分步完成

先核曲线与真实两端点，非竖直消元须二次项非零、判别式正；给中点则先作差，再分类除分量，求候选线后联立原曲线，核两点不同、坐标和为两倍中点。若限同支，再核端点坐标符号，不能仅看中点在哪侧。

求长可韦达或直接两点距离；最后同时回核方向、过点、中点与长度。焦点弦另看是否垂直实轴，才可套通径。

例题 01 过焦点且给定倾斜角的弦

过双曲线 ${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$ 的左焦点F1，作倾斜角为 $\frac{\pi }{6}$ 的直线与双曲线交于A，B两点，则 $\left| AB\right|$ ＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

答案与解析

$a=1,b^2=3,c=2$ ，左焦点 $F_1=(-2,0)$ 。倾斜角 $\pi/6$ 给 $k=\tan(\pi/6)=\sqrt3/3$ ，直线 $y=k(x+2)$ 。代曲线并乘 $9$ 得 $9x^2-(x+2)^2=9$ ，即

8x^2-4x-13=0.

二次项 $8\ne0$ ， $\Delta=432>0$ ，根和 $1/2$ 、积 $-13/8$ ，确两不同端点且分居两支。故

AB^2=\left(1+\frac13\right)\left[\left(\frac12\right)^2-4\left(-\frac{13}{8}\right)\right] =\frac43\cdot\frac{27}{4}=9.

长度为 3，选B，A/C/D 均非此正平方根。

上传知识库记载原中间行把因子写成 $[1+(\sqrt3/3)]^2$ ，正确应为 $1+(\sqrt3/3)^2=4/3$ ；紧随下一行实际用了正确因子，原答案3仍成立。这里保留错误原貌作澄清，不机械照错式算，也不声称重新读取原OMML。

例题 02 已知中点求弦长

设 $A,B$ 为双曲线 ${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$ 上的两点，线段 $AB$ 的中点为 $M(2,2)$ ，则 $\left| AB\right|=$ （）

A． $\sqrt{5}$ B． $2\sqrt{5}$ C． $\sqrt{10}$ D． $2\sqrt{10}$

答案与解析

中点给 $x_1+x_2=4,y_1+y_2=4$ ，两端式作差得 $4\Delta x-2\Delta y=0$ ，即 $\Delta y=2\Delta x$ 。

先核可除：若 $\Delta x=0$ ，则 $\Delta y=0$ ，端点相同，不成弦；所以斜率为 $2$ 。过 $M$ 得 $y=2x-2$ ，代曲线化为 $x^2-4x+3=0$ ，根 $1,3$ ，对应端点 $(1,0),(3,4)$ 。

两点都属右支，曲线值分别为 $1$ 、 $9-16/2=1$ ，中点确 $(2,2)$ ，且不同。 $AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5$ ，选 B；A 少一倍，C/D 的平方均非 $20$ 。必要候选在此经检验才是真弦。

例题 03 给定另一中点的候选直线

已知双曲线 $C$ ： $\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$ ，过点 $P\left( 1,1\right)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.若点 $P$ 为线段 $AB$ 的中点，则直线 $l$ 的方程是（）

A． $x-3y+2=0$ B． $3x-y-2=0$

C． $2x-y-1=0$ D． $x-2y+1=0$

答案与解析

两坐标和均 $2$ ，作差给 $(2/3)\Delta x=2\Delta y$ 。若 $\Delta x=0$ 则 $\Delta y=0$ 矛盾，故 $k=1/3$ ，候选线 $y-1=(x-1)/3$ ，即 $x-3y+2=0$ 。

回代并乘 $9$ 得 $3x^2-(x+2)^2=9$ ，即 $2x^2-4x-13=0$ 。 $\Delta=120>0$ ，根为 $1\pm\sqrt{30}/2$ ，和为 $2$ 、积 $-13/2$ 。纵坐标 $(x+2)/3$ 的和也为 $2$ ，确两不同端点以 $P$ 为中点，分居两支仍为合法弦。

所以选 A。B/C/D 的斜率 $3,2,1/2$ 均不满足必要的 $1/3$ ，不是过给点就可接受。