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外观

距离差定位与双曲线型构件

约 1561 字大约 5 分钟

真实关系决定模型，单位、半量与边界决定它如何对应实际对象。

一、知识点 理解概念

1. 先有真实关系，再选择双曲线

同一事件同时发出的信号、相同传播速度 v>0v>0，接收时间差 Δt\Delta t 对应路程差绝对值 vΔtv\Delta t；未给先后顺序就保两支。须核两站不同且 0<vΔt<2c0<v\Delta t<2c，否则为退化或无点，不强套真双曲线。

构件截面也不能只凭外观认双曲线，须题已给该模型或有定义证据。物体只截取部分曲线，不能把无限全曲线当实体范围。

2. 同单位坐标与半量

说明原点、焦轴或旋转轴，长度统一单位。焦距、实轴长需先除二；外直径换成外半径才作横向尺寸坐标。定位题由 a,ca,c 算 b2=c2−a2b^2=c^2-a^2，构件题由喉部/顶点、离心率与边界尺寸求参数。

3. 高度是有符号坐标差

尺寸点代曲线后开根，按实际在原点上/下、左/右选符号。喉部两侧的上下底位于相反纵向，不能将两个正根直接相减。实际高度为上坐标减下坐标，最后带单位并回核全部尺寸。

二、考点 方法与例题

1. 列关系、建坐标、解参数、回原对象

先从时间差或已给截面模型列式，再选择同单位坐标并换半量。求参数时核真双曲线条件；代尺寸时保原范围与符号，最后核时间差、完整两支或题定支、截面边界及单位。

例题 01 两接收站的时间差定位

相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上.

A．x2260100−y2229900=1\frac{{x}^{2}}{260100}-\frac{{y}^{2}}{229900}=1 (x≤−510)\left( x\le -510\right) B．x2260100−y2229900=1\frac{{x}^{2}}{260100}-\frac{{y}^{2}}{229900}=1 (x≥510)\left( x\ge 510\right)

C．y=0(x≤−700y=0(x\le -700或x≥700)x\ge 700) D．x2260100−y2229900=1\frac{{x}^{2}}{260100}-\frac{{y}^{2}}{229900}=1

答案与解析

同一次爆炸声同时出发，时间差 3s3\mathrm{s} 与声速 340m/s340\mathrm{m/s} 给路程差绝对值 1020m1020\mathrm m，满足 0<1020<14000<1020<1400，是真双曲线。

取两哨所中点为原点、连线为横轴、米为单位，设 A=(−700,0),B=(700,0)A=(-700,0),B=(700,0)。2c=1400,2a=10202c=1400,2a=1020，所以 c=700,a=510c=700,a=510，

b2=c2−a2=490000−260100=229900.b^2=c^2-a^2=490000-260100=229900.

方程为 x2/260100−y2/229900=1x^2/260100-y^2/229900=1，选 D。题未说哪个先听到，A/B 擅自限制一支；C 的外侧射线对应距离差等于焦距 14001400，不是本题 10201020。反向该两支距离差均为 10201020，除声速即 3s3\mathrm s，与实际条件一致。

例题 02 双曲线型塔筒的轴截面

3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为5\sqrt{5}的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为62cm6\sqrt{2}cm，下底直径为92cm9\sqrt{2}cm，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）

原件配图
原件配图

    

A．272cm\frac{27}{2}cm B．18cm C．2722cm\frac{27\sqrt{2}}{2}cm D．92cm9\sqrt{2}cm

答案与解析

题已给双曲线旋转模型，数据全部按外壁。取喉部中点为原点，竖直旋转轴为纵轴，水平外半径方向为横轴，单位厘米。喉部直径 88 给最小外半径 a=4a=4。

横焦轴双曲线 e=5e=\sqrt5，所以 c2/a2=5c^2/a^2=5，由 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 得 b2=4a2=64b^2=4a^2=64，轴截面为 x2/16−y2/64=1x^2/16-y^2/64=1。

上、下底外半径分别 xA=32,xB=92/2x_A=3\sqrt2,x_B=9\sqrt2/2。代式：

yA2=64(18/16−1)=8,yB2=64(81/216−1)=98.y_A^2=64(18/16-1)=8,\qquad y_B^2=64\left(\frac{81/2}{16}-1\right)=98.

喉部在上下底之间，上底取 yA=22y_A=2\sqrt2，下底取 yB=−72y_B=-7\sqrt2。总高 yA−yB=92 cmy_A-y_B=9\sqrt2\,\mathrm{cm}，选 D。A/B/C 都不等于此有符号坐标差。

回核边界半径分别给原两直径，喉部为 y=0,x=4y=0,x=4；实体仅取 −72≤y≤22-7\sqrt2\le y\le2\sqrt2 的旋转外壁部分，不以全双曲线代表有限塔筒。

塔筒轴截面与边界半径的原解图
塔筒轴截面与边界半径的原解图

三、坑点 辨析与纠错

1. 时间差先给全差，直径先换半径

速度乘时间差给 2a2a 而非 aa；外直径不是横向半径。混半量会把方程分母与实体尺寸一起放错。

2. 不新增先后支，也不丢实体截取范围

没有接收先后条件时保完整两支；构件上下位置明确时开根保相反符号。方程可描述无限曲线，但实物只在题定边界内，单位和原模型条件都须回验。