只变解释变量时，响应与误差仍在原尺度；回到原曲线时，中心坐标也要还原。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

固定变换，把曲线写成直线

模型 $\hat y=\hat\alpha+\hat\beta g(x)$ 中，先选定变换 $u=g(x)$，再在 $(u,y)$ 平面拟合直线 $\hat y=\hat\alpha+\hat\beta u$。响应仍是原 $y$。

原模型类型	解释变量变换	定义与参数条件
$\alpha+\beta\ln x$	$u=\ln x$	$x>0$
$\alpha+\beta\sqrt{x}$	$u=\sqrt{x}$	$x\ge0$
$\alpha+\beta\log_q x$	$u=\log_q x$	$x>0,q>0,q\ne1$
$k a^x+b$	$u=a^x$	先固定 $a>0$；$a=1$ 会使解释列恒定

若 $a$ 也是未知参数，$a^{x_i}$ 不是预先已知的一列数据，不能一次套线性公式同时求全部 $k,a,b$；须先给定/另估 $a$，或另作非线性拟合。

逐点计算新列的均值与离差

对每个合法样本求 $u_i=g(x_i)$，再求

$$\bar u=\frac1n\sum u_i,\quad S_{uu}=\sum(u_i-\bar u)^2,\quad S_{uy}=\sum(u_i-\bar u)(y_i-\bar y).$$

当 $S_{uu}>0$，普通含截距OLS给

$$\hat\beta=\frac{S_{uy}}{S_{uu}},\qquad\hat\alpha=\bar y-\hat\beta\bar u.$$

题给中心离差汇总量可直接用，不重复中心化。$S_{uu}=0$ 时无法唯一估斜率：即使原 $x$ 不全同，非一一变换也可能将它们合并，例如 $x=-1,1$ 经 $g(x)=x^2$ 都变成1。

新中心不等于原均值点

$(\bar u,\bar y)$ 位于 $(u,y)$ 直线上，但通常

$$\bar u=\frac1n\sum g(x_i)\ne g(\bar x).$$

仿射变换 $cx+d$ 可以与平均交换，$\ln$、平方根、指数一般不能。若 $\hat\beta\ne0$，要找原曲线上响应为 $\bar y$ 的点，须解 $g(x_*)=\bar u$；存在性和唯一性由定义域、值域及一一对应性决定，可能多个或没有反解。若 $\hat\beta=0$，拟合曲线恒为 $\bar y$，所有合法输入都对应它，不必再要求该方程。

对 $g(x)=\ln x$，对应 $x_*=e^{\bar u}$；对已固定 $0<a<1$ 的 $g(x)=a^x$，对应 $x_*=\ln\bar u/\ln a$。不能把 $\bar u$ 直接当作原横坐标。

预测和比较保持原尺度

求出系数后恢复 $\hat y=\hat\alpha+\hat\beta g(x)$；预测先核 $x_0$ 的定义域，再代 $g(x_0)$，原自变量与响应单位都保留。平方根模型不能代负 $x$。

固定解释变换且保留同一列 $y$ 时，各候选可以用共同原响应尺度的SSE比较。形状仅支持候选类型，不保证所有范围有效；题目有选择规则就按题设，不将某个相关阈值普遍化。

考点

变换后的汇总量优先

1. 确认变换已固定、所有观测合法、响应仍是原值。
2. 用逐点变换后的均值和离差和，核 $S_{uu}>0$。
3. 算斜率、再由新中心算截距，恢复 $g(x)$。
4. 原表全精度与题给近似量若不一致，分列两种口径，不能伪称完全相等；预测最后舍入。
5. 图用于形状、表用于题给统计计算；出现冲突时指出条件，不改图或编造新表。

例题 01 技术革新的两种回归模型

题目

某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费$x$（单位：万元）和增加收益$y$（单位：万元）的数据如下表：

$x$	4	6	8	10	12
$y$	27	42	55	56	60

为了进一步了解技术革新投入经费$x$对增加收益$y$的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①$\hat{y}=\hat{n}x+\hat{m}$，②$\hat{y}=\hat{d}\sqrt{x}+\hat{c}$．

(1)根据以上数据，计算模型①中$y$与$x$的相关系数$r$（结果精确到0.01）；

(2)若$0.95\le |r|\le 1$，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益$y$关于技术革新投入经费$x$的回归模型，并预测$x=16$时$y$的值（结果精确到0.01）．

附：i）回归直线$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：$\hat{b}=\frac{\sum _{i=1}^{n} \left( {x}_{i}-\overline{x}\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}{\sum _{i=1}^{n} {\left( {x}_{i}-\overline{x}\right)}^{2}}=\frac{\sum _{i=1}^{n} {x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{n} {x}_{i}^{2}-n\overline{x}}$，$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$，$r=\frac{\sum _{i=1}^{n} \left( {x}_{i}-\overline{x}\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}{\sqrt{\sum _{i=1}^{n} {\left( {x}_{i}-\overline{x}\right)}^{2}}\sqrt{\sum _{i=1}^{n} {\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}^{2}}}$

ii）参考数据：设${v}_{i}=\sqrt{{x}_{i}}$，$\sqrt{2936}\approx 54.18$，$\sqrt{29360}\approx 171.35$，$\overline{v}\approx 2.78$，$\sum _{i=1}^{5} {\left( {v}_{i}-\overline{v}\right)}^{2}\approx 1.33$，$\sum _{i=1}^{5} \left( {v}_{i}-\overline{v}\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)\approx 29.91$．

答案与解析

解析

（1）原数据 $\bar x=8,\bar y=48$。直接计算

$$S_{xx}=40,\quad S_{yy}=734,\quad S_{xy}=160,$$

故 $r=160/\sqrt{29360}\approx0.933774\approx0.93$。这个未舍入值也小于0.95，按本题指定规则选择模型②，不把0.95说成普遍标准。

（2）令 $v_i=\sqrt{x_i}$，逐点变换后建立 $\hat y=\hat d v+\hat c$。按题给参考近似数据，

$$\hat d\approx\frac{29.91}{1.33}\approx22.49,\qquad\hat c\approx48-22.49\times2.78\approx-14.52.$$

因此按原给参考数值及舍入路径，$\hat y\approx22.49\sqrt{x}-14.52$，在 $x=16$ 时预测 $22.49\times4-14.52=75.44$ 万元。

参考式和参考数据须分别核对。 原附式的展开分母写成 $\sum x_i^2-n\bar x$，遗漏均值的平方。正确的是

$$S_{xx}=\sum x_i^2-n\bar x^2,$$

其前面的离差平方和式正确，不能沿用漏平方的展开式。

从表中五对观测保留全精度逐点开方，实际得到

量	全精度计算的近似值
$\bar v$	2.7808592286
$S_{vv}$	1.3341097545
$S_{vy}$	29.9694920795
$\hat d$	22.4640378943
$\hat c$	-14.4693270893
$\hat y(16)$	75.3868244880，保留两位为75.39

尤其 $S_{vy}$ 四舍五入到两位是29.97，不是题附29.91；差异不只是最终显示的小数位。故75.44属于使用题给参考量的预期答案，不能声称它与原表全精度OLS结果相同。若据原始观测重新精确拟合，应报告约75.39万元。

平方根模型需 $x\ge0$；原观测范围4至12，16是外推，预测还假定所选趋势继续适用，不保证真实收益。两候选模型使用相同原 $y$ 列，故也可以在原响应尺度比较SSE；但本题明确要求按给定 $|r|$ 规则选择，不能擅自改题。

本题结论

（1）$r\approx0.93$；（2）选②，题附近似量口径75.44万元；原表全精度口径75.39万元

例题 02 观看人次与农产品销量

题目

《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第$18$个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了$10$名网红直播的观看人次${x}_{i}$和农产品销售量${y}_{i}\left( i=1,2,3,\cdots ,10\right)$的数据，得到如图所示的散点图.

原题配图

(1)利用散点图判断，$\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x$和$\hat{y}=\hat{c}+\hat{d}\ln x$哪一个更适合作为观看人次$x$和销售量$y$的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）

(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{\omega }$	$\sum _{i=1}^{10} {\left( {x}_{i}-\overline{x}\right)}^{2}$	$\sum _{i=1}^{10} {\left( {\omega }_{i}-\overline{\omega }\right)}^{2}$	$\sum _{i=1}^{10} \left( {x}_{i}-\overline{x}\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)$	$\sum _{i=1}^{10} \left( {\omega }_{i}-\overline{\omega }\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)$
$9.4$	$30.3$	$2$	$366$	$6.6$	$439.2$	$66$

其中令${\omega }_{i}=\ln {x}_{i}$，$\overline{\omega }=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10} {\omega }_{i}$.

根据（1）的判断结果及表中数据，求$y$（单位：千件）关于$x$（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为$280$万人时的销售量；

参考数据和公式：$\ln 2\approx 0.69$，$\ln 7\approx 1.95$

附：对于一组数据$\left( {u}_{1},{v}_{1}\right)$、$\left( {u}_{2},{v}_{2}\right)$、$\cdots$、$\left( {u}_{n},{v}_{n}\right)$，其回归线$\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\hat{\beta }=\frac{\sum _{i=1}^{n} \left( {u}_{i}-\overline{u}\right)\left( {v}_{i}-\overline{v}\right)}{\sum _{i=1}^{n} {\left( {u}_{i}-\overline{u}\right)}^{2}}$，$\hat{\alpha }=\overline{v}-\hat{\beta }\overline{u}$.

答案与解析

解析

（1）在题给两种候选中，图示增长放缓，对数型 $\hat y=\hat c+\hat d\ln x$ 更适合描述该形状。第一问只要求选类型，不从图制造精确坐标。

（2）按题给汇总表，令 $\omega=\ln x$。表已给 $S_{\omega\omega}=6.6,S_{\omega y}=66$，故 $\hat d=66/6.6=10$；由 $\bar\omega=2,\bar y=30.3$，得 $\hat c=30.3-10\times2=10.3$。

因此 $\hat y=10.3+10\ln x$，其中 $x$ 为十万次、$y$ 为千件。按题意把280万观看人次换成28个十万次，不能直接代280。

$$\ln28=2\ln2+\ln7\approx2\times0.69+1.95=3.33,$$

所以预测 $\hat y\approx10.3+10\times3.33=43.6$ 千件，即43600件。这里仅对解释变量取对数，响应没有取对数，不对43.6再作指数还原。

原图与统计表并不相容。 图中10个销量点均低于 $y=30$ 的水平线，则其平均也应低于30；表却给 $\bar y=30.3$。二者不能同时是同一组精确数据。上述类型选择依原图趋势，数值答案按题给汇总表计算，不能声称已由原图验证该均值，也不能改画点来凑表。

新坐标中的中心为 $(2,30.3)$；原曲线对应点为 $(e^2,30.3)$，不是把2原样当原 $x$，也不必经过 $(9.4,30.3)$。因为 $\bar\omega=\overline{\ln x}=2\ne\ln9.4$。目标28也超过图中最大观测横坐标约21，是外推，须假定模型仍适用，不能保证实际销量。

本题结论

（1）对数模型；（2）按表 $\hat y=10.3+10\ln x$，预测约43600件

坑点

不是原列的平均换个名字

先变换再平均；原曲线的中心对应输入须反解，不能把 $\bar x,g(\bar x),\overline{g(x)}$ 混成一个数。

合法原数据也可能变成退化新列

不仅检查函数定义域，也检查变换后离差平方和。新列恒定时公式分母0，不能靠原 $x$ 有差异就继续除。

上一页预测的时间编号、变换与单位

下一页曲线选型与中心所在的坐标平面