斜二测画图与长度面积还原

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直观图保存的是点与线的对应关系，不是一张等比例照片。先分清方向，再讨论长度、角度和面积。

一、知识点理解概念

1. 轴向缩放与保留性质

斜二测画法先规定对应坐标轴，再按轴向搬运点。原水平平面的 $x,y$ 轴互相垂直，图上 $x',y'$ 轴夹 $45^\circ$ 或 $135^\circ$ 。平行 $x$ 轴的长度保持，平行 $y$ 轴的长度减半。空间图再加 $z$ 轴时，平行 $z$ 轴的长度保持；常把 $z'$ 画竖直。这些是画图约定，不代表三条纸面方向仍互相垂直。

设图中两轴的单位方向为 $\mathbf e_{x'},\mathbf e_{y'}$ ，原图中的点 $P(x,y)$ 的像满足

\overrightarrow{O'P'}=x\mathbf e_{x'}+\frac y2\mathbf e_{y'}.

负坐标沿负方向移动。这一规则是可逆的平面线性变换，因而保持共线、平行、同一直线上的比例及中点，非共线三点仍非共线；但一般长度、角度、垂直和等腰外观不保留。

原图中的方向或关系	图上的规则	还原时怎样做
平行 $x$ 轴	长度不变	保留长度
平行 $y$ 轴	长度减半	图长乘 $2$
平行空间 $z$ 轴	长度不变	保留长度
一般斜边	两个或三个方向共同决定	还原端点或轴向分量后再算

2. 水平图形的面积倍率

原矩形底为 $a$ 、高为 $b$ ，其直观图底为 $a$ ，另一边为 $b/2$ ，对底的垂直高却是 $(b/2)\sin45^\circ$ 。所以

S_{\text{直}}=\frac{\sqrt2}{4}S_{\text{原}},\qquad S_{\text{原}}=2\sqrt2S_{\text{直}}.

这不仅适用于矩形：对任意三角形，过纵坐标居中的顶点作水平线，分成共有水平底边的两个小三角形。各小三角形底不变、高缩为 $\sin45^\circ/2$ ，相加后面积仍按同一倍率缩放；有水平边时直接取它作底即可。多边形三角剖分后逐块相加，结论也成立。 $135^\circ$ 的正弦相同，面积倍率不变。

这里始终是按规定画法表示的水平平面。空间中另一倾斜平面的面积，不能直接套这个倍率。

二、考点方法与例题

1. 按坐标轴完成直观图

选便于定位的原轴，画对应斜轴，先定各点的轴向位移，再连接对应边。画空间体时补竖向点和边，并用实线、虚线分别表示可见与遮挡部分。不要直接缩放两点间的一般斜边。

例题 01 等腰梯形的直观图

画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．

答案与解析

取 $AB$ 中点 $O$ 为原点， $AB$ 所在直线为 $x$ 轴，梯形对称轴为 $y$ 轴；设 $E$ 是 $CD$ 的中点。

画 $x',y'$ ，夹角取 $45^\circ$ 。
以 $O'$ 为中点取 $A'B'=AB$ ；沿 $y'$ 取 $O'E'=OE/2$ 。
过 $E'$ 作平行 $x'$ 的线，以 $E'$ 为中点取 $C'D'=CD$ ，再连接 $B'C'$ 、 $D'A'$ 。

两底都沿 $x$ 向，分别保长；中点连线沿 $y$ 向，减半。两腰并不沿 $y$ 向，不能各自减半。右图某条腰恰画成竖直只是所画示意的外观，不是任意等腰梯形都必须具备的结果。

2. 还原长度与面积

先找图中轴向及平行线，将 $y'$ 向位移乘 $2$ ， $x'$ 向保持，在原来的直角坐标系重新定位点。长度用还原后的三角形计算；面积可直接求原底、原高，也可先求直观图的垂直高度，再乘 $2\sqrt2$ 。

例题 02 梯形的对角线

如图所示，梯形 ${A}^{\prime}{B}^{\prime}{C}^{\prime}{D}^{\prime}$ 是平面图形 $ABCD$ 用斜二测画法得到的直观图， ${A}^{\prime}{D}^{\prime}=2{B}^{\prime}{C}^{\prime}=2,{A}^{\prime}{B}^{\prime}=1$ ，则平面图形 $ABCD$ 中对角线 $AC$ 的长度为（）

A． $\sqrt{2}$ B． $\sqrt{3}$ C． $\sqrt{5}$ D．5

答案与解析

图中 $A'B'$ 沿 $y'$ ， $B'C'$ 平行 $x'$ ，故 $AB=2$ ， $BC=1$ ， $AD=2$ ，且原图中 $AB\perp BC$ 。

因此 $AC^2=AB^2+BC^2=4+1=5$ ， $AC=\sqrt5$ ，选 C。四个选项中 $\sqrt2,\sqrt3,5$ 均不满足这个平方关系。注意应还原的是轴向边，不是将图中 $A'C'$ 直接乘 $2$ 。

例题 03 梯形的面积

如图所示，梯形 ${A}^{\prime}{B}^{\prime}{C}^{\prime}{D}^{\prime}$ 是平面图形 $ABCD$ 用斜二测画法得到的直观图， ${A}^{\prime}{D}^{\prime}=4,{A}^{\prime}{B}^{\prime}={B}^{\prime}{C}^{\prime}=2$ ，则平面图形 $ABCD$ 的面积为（）

A．12 B．8 C．6 D．3

答案与解析

图上两底长为 $4,2$ ，腰 $A'B'=2$ 与底夹 $45^\circ$ ，故直观图垂直高为 $2\sin45^\circ=\sqrt2$ ，

S_{\text{直}}=\frac{4+2}{2}\sqrt2=3\sqrt2,\qquad S_{\text{原}}=2\sqrt2\times3\sqrt2=12.

独立还原核对： $AB=4$ ， $AD=4$ ， $BC=2$ ，原图为直角梯形， $S=(4+2)\times4/2=12$ 。选 A，其他三项 $8,6,3$ 均不是原图面积。图腰 $2$ 不是直观图对底的垂直高。

三、坑点辨析与纠错

1. 保留位置关系不等于保留度量

常见错法：把纸面垂直当作空间垂直，把等长、等角或正方形外观直接搬回原图。

错因与检查：绘图按方向采用不同倍率；一般角和长度都会变。图上角度可用于计算图自身的高度，但原图的角必须通过还原或题设关系确定。原图是正方形，像通常不是正方形；像是正方形，原图也未必是正方形。

辨析 04 直观图中的图形性质

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（）

A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形

C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等

答案与解析

B 正确：此变换可逆，非共线三点仍非共线，所以非退化三角形仍是三角形。

A、C 都不是普遍成立的结论。取沿原两轴的矩形，其像的相邻边夹 $45^\circ$ 与 $135^\circ$ ，既不再是矩形，也说明原来相等的四个直角不再全相等。D 也不成立：沿原两轴的正方形边长原来相等，像的两组边却分别按 $1$ 与 $1/2$ 缩放。故选 B。

2. 两次换算不能漏一步

沿 $y'$ 的图长与图中垂直高度不是同一个量：先按夹角取正弦得到图高，再计算图面积，最后才按面积倍率还原。也可一步回原坐标，但两种路线的中间量不能混用。梯形面积例题给出了两种互相核对的解法。