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外观

垂直关系、二面角与活动点

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同一组垂直平面条件，既可制造面垂线，也可建立二面角平面角，还可帮助构造满足要求的活动点。

一、知识点 理解概念

1. 面面条件先化成可操作的垂直方向

面对“证明垂直、计算二面角、探究活动点”组合题，先从已知两垂直面的交线入手。在其中一面内找到垂交线的线，就得到另一面的垂线；此后可依次建立相交双线垂直、垂足、射影与二面角平面角。

作二面角平面角时，在棱上同一点，从两个指定半平面分别引出垂棱的射线。两条射线要指向题目指定的两侧，不能只找任意截面夹角。若先得到面垂线，再在底面内作垂棱线，可用相交双线判定补出另一条垂棱线。

2. 活动点存在与全部解是不同任务

先检查活动点的允许范围、各平面是否非退化，再构造候选。问存在时，证明一个合法候选满足全部条件即可；问所有位置或唯一性，则还须反推必要条件，不能把只验证一个点的构造说成穷尽。

无论候选来自比例猜测、垂足还是平行方向，都要从原已知重新证明：线的归属、两组垂直、双线交点，以及最后面面垂直判定。代入比例只说明长度关系，不自动说明目标面角为直角。

二、考点 方法与例题

1. 一组面面垂直条件贯穿三个问题

第一问用交线性质与等边中线取双线；第二问用垂足将空间角落在直角三角形；第三问借底面相似构造竖直方向，再反向验证目标面含有垂线。

例题 01 正三角形侧面的综合问题

如图，四棱锥P−ABCDP-ABCD的底ABCDABCD是正方形，△PAD\triangle PAD是正三角形，平面PAD⊥PAD\perp平面ABCDABCD，MM是PDPD的中点．

原资料配图
原资料配图

(1)求证：AM⊥AM\perp平面PCDPCD；

(2)求二面角M−AC−DM-AC-D的余弦值；

(3)在棱PCPC上是否存在点QQ，使平面BDQ⊥BDQ\perp平面MACMAC成立？如果存在，求出PQQC\frac{PQ}{QC}的值；如果不存在，请说明理由．

答案与解析

(1) 证明线面垂直。 已知面 PAD⊥PAD\perp 底面，交线为 ADAD。底面内 CD⊥ADCD\perp AD，故 CD⊥CD\perp 面 PADPAD，从而 CD⊥AMCD\perp AM。等边三角形 PADPAD 中，MM 为 PDPD 中点，故 AM⊥PDAM\perp PD。CD,PDCD,PD 同在面 PCDPCD 内交于 DD，于是 AM⊥AM\perp 面 PCDPCD。

(2) 找指定二面角的平面角。 在面 PADPAD 内，过 MM 作 ME⊥ADME\perp AD、E∈ADE\in AD；在底面内过 EE 作 EF⊥ACEF\perp AC、F∈ACF\in AC，连 MFMF。

过M作底面垂足E，再向棱AC作垂足F
过M作底面垂足E，再向棱AC作垂足F

由面面垂直性质，ME⊥ME\perp 底面，故 ME⊥ACME\perp AC；又 EF⊥ACEF\perp AC，两线在面 MEFMEF 内交于 EE，于是 AC⊥AC\perp 面 MEFMEF，进而 AC⊥MFAC\perp MF。

FF 在棱 ACAC 上，FMFM 进入 MM 所在半平面，FEFE 在底面内进入 DD 所在半平面，所以 ∠MFE\angle MFE 是指定二面角 M−AC−DM-AC-D 的平面角。

角不随整体等比缩放改变，不妨取 AB=2AB=2。等边三角形 PADPAD 的高为 3\sqrt3，MM 为 PDPD 中点，故 ME=3/2ME=\sqrt3/2、AE=3/2AE=3/2。底面正方形中 ADAD 与 ACAC 成 45∘45^\circ，所以

EF=AEsin⁡45∘=324,MF=ME2+EF2=304.EF=AE\sin45^\circ=\frac{3\sqrt2}{4},\qquad MF=\sqrt{ME^2+EF^2}=\frac{\sqrt{30}}4.

于是

cos⁡∠MFE=EFMF=155.\cos\angle MFE=\frac{EF}{MF}=\frac{\sqrt{15}}5.

(3) 构造并验证活动点。 取 ADAD 中点 NN，连 CNCN 交 BDBD 于 GG。等边中线 PN⊥ADPN\perp AD，面面垂直性质给 PN⊥PN\perp 底面。

用底面交点G与PC上的Q构造平行于PN的线
用底面交点G与PC上的Q构造平行于PN的线

底面内 ND∥BCND\parallel BC，N,G,CN,G,C 共线，D,G,BD,G,B 共线，故 △GND∼△GCB\triangle GND\sim\triangle GCB，得 GN/GC=ND/BC=1/2GN/GC=ND/BC=1/2。因此 CG/CN=2/3CG/CN=2/3，且 GG 在线段 CNCN 内。

在棱 PCPC 内取 PQ/QC=1/2PQ/QC=1/2，则 CQ/CP=2/3=CG/CNCQ/CP=2/3=CG/CN。在 △CPN\triangle CPN 中，由对应分边比例得 QG∥PNQG\parallel PN，故 QG⊥QG\perp 底面，特别有 QG⊥ACQG\perp AC。正方形又给 BD⊥ACBD\perp AC；QG,BDQG,BD 在面 BDQBDQ 内交于 GG，所以 AC⊥AC\perp 面 BDQBDQ。

因为 AC⊂AC\subset 面 MACMAC，面面垂直判定给面 BDQ⊥BDQ\perp 面 MACMAC。所取比例为正，QQ 在棱内部，且 QQ 不在底面，面 BDQBDQ 非退化；MM 也不在底面，面 MACMAC 非退化。

所以确实存在，构造所得 PQ/QC=1/2PQ/QC=1/2。此证明完成了题目所需的存在与验证，没有把仅验证一个候选的论证擅自称为“所有位置已穷尽”。

三、坑点 辨析与纠错

1. 求二面角不只要垂直，还要选对半平面

FM,FEFM,FE 都垂直棱 ACAC 还不够，须分别指向 MM 与 DD 所在的半平面。若把一条射线反向，会得到补角，余弦符号也改变。透视图上的开合大小不能代替半平面归属证明。

2. 不能凭两面垂直任意指定高

ME,PNME,PN 之所以垂直底面，是因为它们在面 PADPAD 内且垂直交线 ADAD。若漏任一项，就不能定位垂足。活动点 QQ 的比例也须经相似转为 QG∥PNQG\parallel PN，再走完双线与面面判定，不能只写一个比值便宣布成立。