先把集合的成员说清，再把“且、或、不”译成交、并、补；读图、化简和反求参数都用同一套成员判断。本章把离散成员、实数区间和一般集合放在一起比较，不把运算规则拆成互不相通的口令。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 交、并、补分别保留谁

$$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{且}x\in B\},\qquad A\cup B=\{x\mid x\in A\text{或}x\in B\}.$$

“或”包括两边都满足。交集取共同成员，并集收两边全部成员，但同一个对象只算一次。因而交换顺序不改结果，$A\cap A=A\cup A=A$，$A\cap\varnothing=\varnothing$，$A\cup\varnothing=A$。例如 $\{1,2,3,4\}$ 与整数范围 $-2\le x<2$ 的交集是 $\{1\}$；$\{-3,-2,-1\}\cup\{-2,-1,0\}=\{-3,-2,-1,0\}$，不是六个成员。

交集中的每个成员同时在两边，所以 $A\cap B\subseteq A$ 且 $A\cap B\subseteq B$；$A$ 或 $B$ 的每个成员都满足并集的入选条件，所以 $A\subseteq A\cup B$ 且 $B\subseteq A\cup B$。

在本手册的补集语境中，先指定全集 $U$，且要求 $A\subseteq U$：

$$\complement_U A=\{x\mid x\in U\text{且}x\notin A\}.$$

全集内没有成员位于全集之外，故 $\complement_U U=\varnothing$；全集的每个成员都不属于空集，故 $\complement_U\varnothing=U$。

它不是给数变号，也不是不加范围地“反过来”。$A$ 与补集不相交、合起来恰为 $U$，所以在同一个 $U$ 中，$\complement_U(\complement_U A)=A$。例如 $U=\{-2,-1,0,1,2\}$、$A=\{-2,-1,0\}$，补集为 $\{1,2\}$，不是开区间 $(1,2)$，也不能加入 $3$。若 $U=\{x\in\mathbb N\mid x<6\}$，采用含 $0$ 的自然数约定，已知补集 $\{1,2,5\}$ 就还原 $A=\{0,3,4\}$；$4\in A$，$0\in A$，$2,6\notin A$。

原知识段落对并集曾写“不能认为就是所有 A 元素和所有 B 元素组成的集合”，容易误导；应理解为收取两边全部成员，但公共成员不重复计数，而不是排除公共成员。

2. 先求成员，后做运算

读竖线前收集的是 $x$、$y$ 还是完整点 $(x,y)$，再确认输入范围及合法条件。方程找全不同根，重根只取一次；分式保留原分母非零；根号先查被开方数非负；输出按全部允许输入生成，再对输出去重。点集逐点核完整坐标，不能分别交横纵坐标再任意拼点。

• $\{0,2,4\}\cup\{x\in\mathbb R\mid x^2=4\}=\{-2,0,2,4\}$，共 $4$ 个。因 $(x-2)(x+2)=0$，负根不能丢，公共的 $2$ 不能多算。
• $M=\{0,1,2,3\}$，$N=\{3a\mid a\in M\}=\{0,3,6,9\}$，故 $M\cap N=\{0,3\}$。输入在 $M$ 不表示输出也在 $M$。
• $\{x\mid -1<x<4\}\cap\{2k+1\mid k\in\mathbb Z\}=\{1,3\}$。奇整数与实数区间相交仍是离散集合，$-1$ 被开端排除。
• $\{x\mid y=\sqrt{x-1},\ y\in\mathbb R\}=[1,+\infty)$：必要条件 $x\ge1$，反过来每个这样的 $x$ 都能取相应的实数 $y$。它与 $[-1,2]$ 的并集为 $[-1,+\infty)$，不是 $(-1,2]$。原同型选择题另有 $[-1,-2]$、$(-1,-2)$ 两个倒置端点选项，按非空实数区间的规范不能成立，不能猜改为别的数字。

只有一边有限时，求交集可逐个筛这边的成员，不必先列出另一边全部成员；求并集却不能这样省去另一边的所有成员。

3. 区间端点、空档与全集边界

交集中的点要两边都接纳；并集中的点只要一边接纳。例如 $(-\tfrac12,2)\cup[-1,1]=[-1,2)$，$-1$ 来自后一边，$2$ 两边都不取。并集不填平空档，交集也可能是空集或单点。

取补时，原集合的边界决定“是否被删除”，全集边界决定“是否有资格留下”。对 $U=(-3,3)$、$A=(-2,1]$，$-2$ 在 $U$ 而不在 $A$，留下；$1$ 已在 $A$，删除；$-3,3$ 原本就在 $U$ 外，始终不能出现。因此补集是 $(-3,-2]\cup(1,3)$，而不是两条无界射线。

4. 德摩根律：取反时交并互换

固定同一全集，且 $A,B\subseteq U$，有

$$\complement_U(A\cup B)=(\complement_U A)\cap(\complement_U B),\qquad \complement_U(A\cap B)=(\complement_U A)\cup(\complement_U B).$$

证明。 任取 $x\in U$，不在并集中，当且仅当不在 $A$ 且不在 $B$；不在交集中，当且仅当至少有一个条件失败，即不在 $A$ 或不在 $B$。两边选中完全相同的成员，故相等，空集情形也不例外。

括号指定补的整个对象。以 $U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$、$A=\{-2,-1,0,1\}$、$B=\{-1,1,3\}$ 为例：

表达式	实际结果
$(\complement_U A)\cap B$	$\{3\}$
$(\complement_U A)\cup B$	$\{-3,-1,1,2,3\}$
$\complement_U(A\cap B)$	$\{-3,-2,0,2,3\}$
$\complement_U(A\cup B)$	$\{-3,2\}$

最后一行也可先求两个补集再取交。四式不能只因字母相同就混用。

5. 运算等式怎样转成包含

以下都是双向等价，不要求真包含，允许空集和相等：

$$A\subseteq B \Longleftrightarrow A\cap B=A \Longleftrightarrow A\cup B=B.$$

交集等于 $A$，意味着每个 $A$ 成员都通过 $B$ 的筛选；反过来 $A$ 全在 $B$ 时，交集完整保留 $A$。并集等于 $B$，意味着 $A$ 没有带来 $B$ 外的成员；反过来包含保证并入 $A$ 不增成员。

同一 $U$ 下还等价于

$$A\cap\complement_U B=\varnothing,\qquad (\complement_U A)\cup B=U,\qquad \complement_U B\subseteq\complement_U A.$$

第一式说不存在“在 $A$ 而不在 $B$”的反例。第二式中属于 $A$ 的成员不能由补 $A$ 提供，必须在 $B$；反之包含成立，$U$ 中在 $A$ 的由 $B$ 接纳，不在 $A$ 的由补 $A$ 接纳。第三式中不在 $B$ 就不在 $A$；反向若有 $x\in A$ 却 $x\notin B$，便与补集包含冲突。这说明取补为什么反转包含方向。

端点条件仍要按实际集合检查：$A=[1,2)$、$B=(a,+\infty)$，$A\cup B=B$ 要求 $a<1$，因为 $1\in A$；而 $A=(1,2)$、$B=(-\infty,a)$，$A\cap B=A$ 只要求 $a\ge2$，因 $2\notin A$，$a=2$ 仍能接纳全部 $A$。

6. 韦恩图表达成员区域，不表达大小比例

图外的家庭身份等背景若未给出，也不能擅自作为集合关系的前提。先看标签再看圈的包含、交叠及涂色。互不包含不等于不相交；若两圈有共同部分又各有独有部分，才表示交叠且互不包含。相等集合共用一片区域，例如“至少有两边相等的三角形”和“等腰三角形”（包含等边三角形）是同一集合，可在一个圈上标 $C(D)$。$\{1,2\}$ 则真包含于 $\{1,2,3\}$，前者圈在后者内，后者还须有独有成员 $3$。这些关系由题意证明，不由画图面积测得。

对同一 $U$，每个成员关于 $A,B$ 各有“在、不在”两种判断，恰分四块：

区域	成员条件	表达式
$A$ 独有	在 $A$ 且不在 $B$	$A\cap\complement_U B$
共同	在两边	$A\cap B$
$B$ 独有	在 $B$ 且不在 $A$	$B\cap\complement_U A$
两边外	在 $U$，两边都不在	$\complement_U(A\cup B)$

多块阴影用并；两圈独有都涂、交叠不涂，表示 $(A\cup B)\setminus(A\cap B)$，其中 $\setminus$ 表示从前者删除后者。没有全集框时，不擅自把未画的圈外也选中。圆的左右位置不代表数值大小，端点仍由代数条件决定。

$B$ 独有还可写 $\complement_B(A\cap B)$、$\complement_{A\cup B}A$，或 $\complement_U((\complement_U B)\cup A)$：各式都只选在 $B$ 而不在 $A$ 的成员。变更补集下标必须一并核范围，不能凭记号相似判等。

7. 必然成立与特殊情况下成立

若 $M\subseteq N\subseteq U$，则 $N\cup\complement_U M=U$ 恒成立：任取 $x\in U$，若在 $M$ 就在 $N$，否则在补 $M$；两边又都没有 $U$ 外成员。

另外三个表达式却各有条件：$M\cup N=U$ 当且仅当 $N=U$；$(\complement_U N)\cup(\complement_U M)=U$ 当且仅当 $M=\varnothing$；$M\cup\complement_U N=U$ 当且仅当 $M=N$。最后一个式子恰漏掉 $N$ 独有的成员。原选择题以第四式为“由题设保证”的答案，不能解释成前三式永远不成立；若 $U=\varnothing$，四式甚至同时等于 $U$。示意图画有间隙也不能把题设 $\subseteq$ 擅改为真包含。

二、考点 方法与例题

1. 确定输入成员，再逐层计算

先求所有集合的实际成员，写出最内层的中间集合，再向外执行。有限集逐个筛，连续范围查每段和端点。多个小问共用输入，但不同运算各自完整执行。

例题 01 列举、混合运算与两种补集组合

题目

已知全集$U=\left\{ x\in {N}^{*}|x<9\right\}$，$A=\left\{ x|{x}^{2}-3x+2=0\right\}$，$B=\left\{ x|1\le x\le 5,x\in Z\right\}$，$C=\left\{ x|2<x<9,x\in Z\right\}$.

(1)列举法表示集合$U$、$A$、$B$、$C$；

(2)求$A\cup \left( B\cap C\right)$；

(3)求$\left( {∁}_{U}A\right)\cap \left( {∁}_{U}B\right)$；$\left( {∁}_{U}B\right)\cup \left( {∁}_{U}C\right)$.

答案与解析

解析

（1）$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，正整数且小于 $9$，所以不含 $0,9$。$(x-1)(x-2)=0$ 给 $A=\{1,2\}$；整数限制给 $B=\{1,2,3,4,5\}$、$C=\{3,4,5,6,7,8\}$。它们都在 $U$ 内。

（2）先求 $B\cap C=\{3,4,5\}$，再并 $A$，得 $\{1,2,3,4,5\}$。

（3）$\complement_U A=\{3,4,5,6,7,8\}$，$\complement_U B=\{6,7,8\}$，$\complement_U C=\{1,2\}$。前两个补集取交，得 $\{6,7,8\}$；后两个补集取并，得 $\{1,2,6,7,8\}$。也可分别用德摩根律核验为补 $A\cup B$、补 $B\cap C$。

本题结论

（1）四集合如上；（2）$\{1,2,3,4,5\}$；（3）$\{6,7,8\}$、$\{1,2,6,7,8\}$。

例题 02 多个性质必须同时通过

题目

已知集合$A=\left\{ -2,-\sqrt{3},0,\sqrt{2},\sqrt[4]{3}\right\},B=\left\{ x\left| x\notin Z\right.\text{且}{x}^{2}\in Z\right\}$，则$A\cap B$的元素的个数为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

答案与解析

解析

从有限集合 $A$ 筛选，无须列全 $B$。$-2,0$ 是整数，第一条件就失败。$-\sqrt3$ 不是整数而平方为 $3$，$\sqrt2$ 不是整数而平方为 $2$，均通过。$\sqrt[4]3$ 的平方为 $\sqrt3$，因 $1<\sqrt3<2$ 不是整数，失败。故交集 $\{-\sqrt3,\sqrt2\}$ 恰有 $2$ 个成员；A 少计，C、D 多计。

本题结论

选 B。

例题 03 并集不能填平没有成员的空档

题目

已知集合$M=\left\{ x\left| x-1\ge 0\right.\right\}$，$N=\left\{ x\left| \left| x\right|>2\right.\right\}$，则集合$M\cup N=$（    ）

A．$\left\{ x\left| x\ge 1\right.\right\}$ B．$\left\{ x\left| x>2\right.\right.$或$\left. x<-2\right\}$ C．$\left\{ x\left| x>1\right.\right.$或$\left. x<-2\right\}$ D．$\left\{ x\left| x\ge 1\right.\right.$或$\left. x<-2\right\}$

答案与解析

解析

$M=[1,+\infty)$。$\lvert x\rvert>2$ 表示距 $0$ 大于 $2$，所以 $N=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$。$N$ 的右射线已被 $M$ 覆盖，左射线新增，结果为 $(-\infty,-2)\cup[1,+\infty)$。

$-2$ 两边都不取；$1,2$ 由 $M$ 接纳。A 漏左射线，B 漏 $[1,2]$，C 漏合法端点 $1$，D 完整。

本题结论

选 D。

2. 补集先守全集，再核参数

已知补集可在同一全集中反删还原；有限成员数变了，后续计数应重新开始。例如 $U=\{1,2,3,4,5,7,8\}$、$A=\{1,2,3,5,8\}$，补集是 $\{4,7\}$，它的子集为 $\varnothing,\{4\},\{7\},\{4,7\}$ 共 $4$ 个，不是补集成员数 $2$。含参数时，还要把“被补集合是全集的子集”一起回代检验。

例题 04 两套端点分别负责什么

题目

已知全集$U=\left\{ x\mid -3<x<3\right\}$，集合$A=\left\{ x\mid -2<x\le 1\right\}$，则${∁}_{U}A=$（    ）

A．$\left( -2,1\right]$ B．$\left( -3,-2\right)\cup \left[ 1,3\right)$

C．$\left( -3,-2\right]\cup \left( 1,3\right]$ D．$\left( -3,-2\right]\cup \left( 1,3\right)$

答案与解析

解析

全集限定 $-3<x<3$。不在 $A$ 要求 $x\le-2$ 或 $x>1$，两者合并得到 $(-3,-2]\cup(1,3)$。A 是原集合，B 把 $-2,1$ 的开闭都反错，C 加入全集不收的 $3$，D 正确。交回 $A$ 为空，并回 $A$ 恰为 $U$。

本题结论

选 D。

例题 05 补集条件比列项互异更可靠

题目

已知集合$A=\left\{ 1,2023,{a}^{2}\right\},B=\{2023,a+2\}$，若${∁}_{A}B=\{1\}$，则$a=$（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

答案与解析

解析

下标 $A$ 充当全集，须 $B\subseteq A$。补集含 $1$，所以 $1\notin B$，从而 $a+2\ne1$。又 $a+2\in B$，必等于 $A$ 中的 $1,2023,a^2$ 之一。

等于 $1$ 已排除；若等于 $2023$，则 $a=2021$，此时 $B=\{2023\}$，$A$ 还有不同于 $1,2023$ 的 $2021^2$，补集不只 $1$。余下 $a+2=a^2$，即 $(a-2)(a+1)=0$，得 $a=2,-1$。

$a=-1$ 时实际 $A=B=\{1,2023\}$，补集为空，不成立；$a=2$ 时 $A=\{1,2023,4\}$、$B=\{2023,4\}$，补集恰为 $\{1\}$，成立。原解仅以重复列项排除 $-1$，理由不充分，真正排除依据是原补集条件。选项 $a=1,3,4$ 分别使 $B$ 含 $3,5,6$ 而 $A$ 不含，违反包含。

本题结论

$a=2$，选 B。

3. 从图到条件，再从条件到成员

先确定圈的标签、包含方向、共同区是否涂色；逐块说“在谁而不在谁”，再求真实集合。四幅选图要逐一检查，多个等价表示也须逐一证明，不能只看最像的一项。

例题 06 先证包含方向，再选择原图

题目

下列Venn图能正确表示集合$M=\{0,1,2\}$和$N=\left\{ x\left| {x}^{2}-2x=0\right.\right\}$关系的是（    ）

A．

两个圆分别标 M、N，部分交叠，且各有位于另一圆外的区域

   B．

标 N 的小圆完全位于标 M 的大圆内

  

C．

标 M、N 的两个圆互相分离，没有公共区域

   D．

标 M 的小圆完全位于标 N 的大圆内

答案与解析

解析

$x^2-2x=x(x-2)=0$ 给 $N=\{0,2\}$，它的成员都在 $M$，而 $1\in M\setminus N$，所以 $N\subsetneq M$。

A 图让 $N$ 有成员在 $M$ 外，不符；B 图 $N$ 完整在 $M$ 内且 $M$ 仍有独有部分，正确；C 图不相交，但实际共有 $0,2$；D 图把包含方向颠倒，被 $1$ 反驳。圆面积不表示成员数。

本题结论

选 B。

例题 07 两边独有都涂，共有部分不涂

题目

已知集合$A=\left\{ x\left| 0\le x\le 2\right.\right\}$，$B=\left\{ x\left| x<0\right.\right.$或$\left. x>1\right\}$，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）

标 A、B 的两个圆交叠，两圆各自独有部分涂灰，公共部分留白

A．$\left\{ x\left| x\le 1\right.\right.$或$\left. x>2\right\}$ B．$\left\{ x\left| x<0\right.\right.$或$\left. 1<x<2\right\}$

C．$\left\{ x\left| 1\le x<2\right.\right\}$ D．$\left\{ x\left| 1<x\le 2\right.\right\}$

答案与解析

解析

图中两边独有区域涂色、交叠留白，故求 $(A\cup B)\setminus(A\cap B)$。先用并集作全集，不能直接假定圈外也选中。

$A=[0,2]$，$B=(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$，二者并集恰为 $\mathbb R$：负数在 $B$，$[0,1]$ 在 $A$，大于 $1$ 在 $B$。交集为 $(1,2]$，因此删掉它后为 $(-\infty,1]\cup(2,+\infty)$。

$0,1$ 只在 $A$，保留；$2$ 两边都在，删除。A 正确；B、C 混入共同成员并漏独有成员，D 恰为未涂的交集。

本题结论

选 A。

例题 08 同一阴影可以有不同补集下标

题目

已知全集$U=\left\{ -2,-1,0,1,2,3,4\right\}$，集合$A=\left\{ x\in Z\left| {x}^{2}-x<6\right.\right\}$，$B=\left\{ -2,0,1,3\right\}$，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①$\left\{ -1,2\right\}$②${∁}_{\left( A\cup B\right)}B$③$A\cap \left( {∁}_{U}B\right)$④$\left( {∁}_{U}A\right)\cap \left( {∁}_{U}B\right)$，正确的有几个？（   ）

矩形标全集 U，圆 A、B 交叠，仅 A 圆内且 B 圆外部分涂灰

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

答案与解析

解析

阴影是 $A$ 独有。$x^2-x<6$ 化为 $(x-3)(x+2)<0$，两根之间因子异号，得 $-2<x<3$；取整数得到 $A=\{-1,0,1,2\}$。

四块分别为：$A$ 独有 $\{-1,2\}$，共同 $\{0,1\}$，$B$ 独有 $\{-2,3\}$，$U$ 内两边外 $\{4\}$，恰覆盖 $U$。

①正确。②从 $A\cup B=\{-2,-1,0,1,2,3\}$ 删去 $B$，得 $\{-1,2\}$，正确，这个全集不含 $4$。③从 $\complement_U B=\{-1,2,4\}$ 再交 $A$，仍得 $\{-1,2\}$，正确。④两个补集取交得到 $\{4\}$，选中两边外而不是 $A$ 独有，错误。共三个正确。

本题结论

选 C。

另一类只涂 $B$ 独有的数值图，若 $U=\mathbb R$、$A=(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$、$B=[-4,2]$，目标为 $B\cap\complement_U A=[-3,2]$。$-4$ 虽在 $B$ 却也在 $A$，排除；$-3,2$ 在 $B$ 而不在 $A$，均保留。只写 $A\cap B=[-4,-3)$ 就选反了区域，也不能误删严格边界取反后的 $-3$。

4. 运算反求：包含、整数个数、长度分开判断

运算等于原来一边时，先用双向等价转成包含，再查空集和端点。恰含几个整数时，先固定合法整数候选；区间长度却取实际右界减左界，不能把两者互换。

若要求的整数数少于全部候选，须枚举哪些入选、哪些排除，每组条件取交、不同组合取并；不能只限制最大候选而不核其余。含参二次范围先比较两根次序，最高次系数含参时还要先判降次。

两个有界区间相交，左界是两个左界较大者 $L$，右界是两个右界较小者 $R$。$L<R$ 才有正长度；$L=R$ 还须两边都取该点才是单点；$L>R$ 为空，不能称为负长度。端点来源随参数切换，要分支并回代；无界范围不能把无穷当实数端点代入差。

例题 09 三种条件归结为同一包含关系

题目

在①$B\cap {∁}_{R}A=\varnothing$；②${∁}_{R}B\cup A=R$；③${∁}_{R}A\subseteq {∁}_{R}B$这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．

问题：已知集合$A=\{x\in R\left| \left( x-1\right)\left( x+2\right)>0\right.\}$，$B=\left\{ x\in R\left| y=\sqrt{x+a},y\in R\right.\right\}$．

(1)当$a=1$时，求$A\cap {∁}_{R}B$；

(2)若________，求实数$a$的取值范围．

答案与解析

解析

（1）$(x-1)(x+2)>0$ 要两因子同号，所以 $A=(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$。$a=1$ 时，根号要求 $x+1\ge0$，且每个这样的 $x$ 都有合法 $y$，故 $B=[-1,+\infty)$。补 $B$ 为 $(-\infty,-1)$，与 $A$ 相交得 $(-\infty,-2)$。

（2）三种补充条件逐一说明：①不存在 $B$ 中而 $A$ 外的成员，即 $B\subseteq A$；②属于 $B$ 的成员不能由补 $B$ 提供，必须由 $A$ 提供，反之如此就覆盖实数全集；③对同一实数全集取补反转包含，也等价于 $B\subseteq A$。

一般 $B=[-a,+\infty)$。若 $-a\le1$，$B$ 含 $1$ 而 $A$ 不含，不成立；若 $-a>1$，每个 $B$ 成员都大于 $1$，确实在 $A$。故必要且充分为 $-a>1$，乘以负数反向得 $a<-1$。三种任选条件都得相同答案。

本题结论

（1）$(-\infty,-2)$；（2）$a<-1$。

例题 10 恰有三个整数，不等于只含三个元素

题目

设集合$A=\left\{ x\mid \left( x-2\right)\left( x-a\right)\le 0\right\},B=\{x\mid 3<x<7\}$，若$A\cap B$中恰含有3个整数，则实数$a$的取值范围是（    ）

A．$\left( 5,6\right]$ B．$\left[ 6,+\infty \right)$ C．$\left[ 6,7\right)$ D．$\left( 6,7\right]$

答案与解析

解析

$B=(3,7)$ 的整数只有 $4,5,6$，因此要求三者全在 $A$。$3,7$ 原本不在 $B$，参数再大也不会产生第四个整数候选。

$a<2$ 时 $A=[a,2]$；$a=2$ 时 $(x-2)^2\le0$ 只给 $\{2\}$，都不含三个候选。$a>2$ 时两根之间乘积不正，$A=[2,a]$。下界已允许 $4,5,6$，全入选当且仅当 $a\ge6$。

$a=6$ 允许零乘积，保留；$a\ge7$ 也不会多出整数，因为仍受固定 $B$ 限制。A 含不合格 $a=5.5$ 且漏大参数，C 错加上界，D 漏 $a=6$ 与大于 $7$ 的参数。合格交集也含 $4.5$ 等非整数，题目不是要求只有三个成员。

本题结论

$a\in[6,+\infty)$，选 B。

例题 11 完整处理包含小问与截短后的长度

题目

已知集合$A=\left\{ x|x<-3\right.$或$\left. x>7\right\}$，$B=\left\{ x|m+1\le x\le 2m-1\right\}$．

(1)若$\left( {∁}_{R}A\right)\cup B={∁}_{R}A$，求实数m的取值范围；

(2)若$\left( {∁}_{R}A\right)\cap B=\left\{ x|a\le x\le b\right\}$，且$b-a\ge 1$，求实数m的取值范围．

答案与解析

解析

记 $C=\complement_{\mathbb R}A=[-3,7]$。

（1）$C\cup B=C$ 等价于 $B\subseteq C$。$m<2$ 时左界 $m+1>2m-1$，$B$ 为空，成立。$m\ge2$ 时非空，要求 $m+1\ge-3$ 且 $2m-1\le7$，和本支相交为 $2\le m\le4$。合并 $m\le4$。$m=2$ 是单点 $\{3\}$，不是空集。

（2）长度至少 $1$，先有 $B$ 非空，$m\ge2$。此时左界 $m+1\ge3>-3$，交集左端一定为 $m+1$，右端比较 $2m-1$ 与 $7$。

• $2\le m\le4$：交集 $[m+1,2m-1]$，长 $m-2\ge1$，得 $3\le m\le4$。
• $4<m\le6$：交集 $[m+1,7]$，长 $6-m\ge1$，得 $4<m\le5$。
• $m>6$：左界超过 $7$，交集为空，不合要求。

合并 $3\le m\le5$。回代 $m=3,4,5$，交集依次 $[4,5],[5,7],[6,7]$，长 $1,2,1$；$m=2,6$ 只得单点，长 $0$。

原解析勘误： 第二支写“$C\cap B=B=[m+1,7]$”，中间等号错误。该支 $B$ 右界 $2m-1>7$，交集已截短，不再等于 $B$；最终参数答案不变。

本题结论

（1）$m\le4$；（2）$3\le m\le5$。

三、坑点 辨析与纠错

1. 把操作对象、范围和结论强度分开检查

• 输入未求清就套运算。 先核根号、分母、整数限制、负根及不同输出，再交并补；一种合法来源不能代替全部来源。
• “开闭翻转”越出全集。 不属于 $A$ 还须属于 $U$，有限全集中的两个数不能写成连续区间。
• 漏补集下标或括号。 补一个整体，与只补其中一个字母并非一事；换下标可能多出圈外成员。
• 拿例子证明恒等式。 一个合法反例能否定必然性，几个算对的例子却不能证明任意集合恒成立。用任意成员分支论证。
• 端点和基数混淆。 交集取端点须双方允许，长度不受开闭端点数量影响但非空性受影响；整数个数须实际筛整数。

2. 原式缺分组时，不能悄悄改成答案需要的题

交并混写，括号不明确时应说明分组差异。本例保留上传知识库中的题干写法，分别核算两种分组；不声称本次另查了源 DOCX 或扫描本。

辨析 01 原解分组与另一分组得到不同结果

题目

已知集合$A=\left\{ x\left| a<x<2a-1\right.\right\},$集合$B=\left\{ y\left| y>0\right.\right\}$，集合$C=\left\{ x\left| x\ge 1\right.\right\}$，若$({C}_{R}B)\cup C\cap A=\varnothing$，则实数$a$的取值范围是 .

答案与解析

解析

$B$ 虽用字母 $y$，仍收实数，$B=(0,+\infty)$，所以 $\complement_{\mathbb R}B=(-\infty,0]$，$C=[1,+\infty)$。

按原详解意图，先并再交：

$$\bigl((\complement_{\mathbb R}B)\cup C\bigr)\cap A=\varnothing.$$

$a\le1$ 时 $a\ge2a-1$，开范围 $a<x<2a-1$ 为空，成立，$a=1$ 不是单点。$a>1$ 时 $A$ 非空，例如中点 $(3a-1)/2$ 距两端均为 $(a-1)/2>0$；且所有 $A$ 成员大于 $1$，均在 $C$ 中，相交仍为非空 $A$，不成立。所以原解意图下为 $a\le1$。

若先交再并：

$$(\complement_{\mathbb R}B)\cup(C\cap A)=\varnothing.$$

左边恒含 $0$，无论 $a$ 为何都不为空，因此无解。原题省略分组实质影响答案，使用题应先明确括号，不凭参考答案逆补。

本题结论

原解意图“先并再交”：$a\le1$；另一分组：无解。

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