切点、过点与切线关系

约 3507 字大约 12 分钟

“在一点处”与“经过一点”只差几个字，却决定切点是否已知。本章统一用合法切点参数描述直线，再研究角度、平行垂直和公切线。先修：导数几何意义、求导法则。

一、知识点概念与依据

1. 一个切点同时决定斜率和位置

设 $f$ 在 $t$ 有有限导数，切点为 $T=(t,f(t))$ 。由导数的几何意义，切线斜率为 $f^{\prime}(t)$ ；再要求直线经过 $T$ ，得到

y-f(t)=f^{\prime}(t)(x-t),\qquad k=f^{\prime}(t),\quad b=f(t)-tf^{\prime}(t).

先有原定义域和可导点限制，再谈这条有限斜率切线。水平切线 $k=0$ 时即 $y=f(t)$ ；若有竖直切线，则不属于有限 $k$ 模型，应另看局部几何或相应单侧斜率。

题目措辞	切点是否已知	应列条件
在 $P=(p,q)$ 处	已指定 $P$ 为切点	$f(p)=q$ ， $y-q=f^{\prime}(p)(x-p)$
经过 $P=(p,q)$	未指定切点	设 $t$ ，列 $f(t)+f^{\prime}(t)(p-t)=q$
已给直线 $y=kx+b$ 是切线	切点仍可能未知	$f^{\prime}(t)=k$ 且 $f(t)=kt+b$

第二行只是把经过点代入第一条点斜式，没有预设 $t=p$ ，也没有除 $p-t$ ，所以保留经过点恰为切点的情况。只有斜率相同还不能证明候选线就是给定线，位置条件不可少。

2. 切点根数不直接等于切线条数

经过一个点的切线可以没有、只有一条或有多条。即使该点本就在曲线上，也不保证只有该点处的切线。

求出全部合法切点参数后逐一写直线：方程重根只给一个切点；不同切点也可能对应同一条直线，最终按完整方程去重。一般式整倍相乘表示同一条线，应整体比较系数而非只看某一项。解方程若要除 $t,p-t$ 或含参系数，先讨论零支，不能把合法切点约掉。

3. 倾斜角有规范范围，不能跨竖直方向排序

直线倾斜角取 $0\le\alpha<\pi$ ，即 $0^\circ\le\alpha<180^\circ$ 。有限斜率时 $\alpha\ne\pi/2$ ，并有 $k=\tan\alpha$ 。

斜率	倾斜角范围
$k>0$	$0<\alpha<\pi/2$
$k=0$	$\alpha=0$
$k<0$	$\pi/2<\alpha<\pi$
竖直线	$\alpha=\pi/2$ ，无有限斜率

负的反正切主值不是标准倾斜角，须换到规定范围，不能把负斜率改成正数。正切在 $(0,\pi/2)$ 与 $(\pi/2,\pi)$ 分别递增，但两段间有竖直分界，不可跨两段使用“角越大斜率越大”。

4. 平行、垂直与公切都要核完整直线

与 $y=mx+n$ 比较，有限斜率切线写成 $y=kx+b$ ：

关系	条件或例外
方向相同	$k=m$
两条不同直线严格平行	$k=m$ 且 $b\ne n$
重合	$k=m$ 且 $b=n$
两条有限斜率直线垂直	$km=-1$
水平线与竖直线	单独判断垂直，不能硬填有限斜率乘积

“与某线垂直”不意味着切线自己竖直。给定竖直线时也不能用不存在的有限 $m$ 。

两曲线 $y=f(x),y=g(x)$ 的公切线应设独立切点 $t,s$ ，要求

f^{\prime}(t)=g^{\prime}(s)=k,\qquad f(t)-tk=g(s)-sk=b.

第一个条件统一方向，第二个统一截距，合起来才是同一条线。两切点可以不同，不能擅令 $t=s$ 。

二、考点方法与例题

方法一：给定切点，先核点再求斜率

核横坐标在原定义域，且给定纵坐标确等于函数值；仅给横坐标就先算高度。
求导并代切点，检查有限可导；保留商、对数、根式条件。
用切点与斜率写点斜式，再展开全部常数项。
将切点代回直线，复核斜率。如果直线还含参数，函数值条件与导数条件联立，解后核回两项。

方法二：只给经过点或给定线，另设切点

在全部合法可导点中设 $t$ ，不直接以经过点横坐标求导。
经过点代入 $y=f(t)+f^{\prime}(t)(x-t)$ ，得到切点方程；已给整条直线则联立斜率和点在线上两式。
解全部根，保留零支。不把只在未知切点成立的两等式当成对任意 $t$ 恒成立的系数比较。
分别写线，逐条核经过给定点、经过切点、斜率等于切点导数；最后去重。

方法三：先把关系转成方程，再核位置与范围

有角度先验 $0\le\alpha<\pi$ 再转斜率；有平行垂直先看是否有限斜率，再列关系。公切线对两曲线分别列切点和导数条件，保留各自定义域，例如对数曲线排非正根。解参后同时回验角度范围、切点合法性、完整直线的截距；除变量前先分0。

例题 01 对数曲线的给定切点

题目

曲线 $y=\ln x$ 在点 $\left( e,1\right)$ 处的切线方程为（）

A． $y=ex-2$ B． $y=\frac{1}{e}x$ C． $y=ex-{e}^{2}+1$ D． $y=\frac{1}{e}x+1$

答案与解析

解析

$e>0$ 且 $\ln e=1$ ，给定点合法。由 $f^{\prime}(x)=1/x$ 得斜率 $1/e$ ，所以 $y-1=(x-e)/e=x/e-1$ ，即 $y=x/e$ ，选B。D多留了常数1；A、C斜率不对。

本题结论

B， $y=x/e$ 。

例题 02 商函数先核定义域

题目

曲线 $y=\frac{x}{2x-1}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为（）

A． $x-y-2=0$ B． $x+y-2=0$ C． $x+4y-5=0$ D． $x-y-5=0$

答案与解析

解析

原式要求 $x\ne1/2$ ， $f(1)=1$ 。商法则给 $f^{\prime}(x)=[(2x-1)-2x]/(2x-1)^2=-1/(2x-1)^2$ ，在1处为 $-1$ 。因此 $y-1=-(x-1)$ ，即 $x+y-2=0$ ，选B。回代点和斜率均符。

本题结论

B， $x+y-2=0$ 。

例题 03 求经过给定点的曲线切线

题目

过点 $\left( 1,4\right)$ 且与曲线 $f\left( x\right)={x}^{3}+x+2$ 相切的直线方程为（）

A． $4x-y=0$ B． $7x-4y+9=0$

C． $4x-y=0$ 或 $7x-4y+9=0$ D． $4x-y=0$ 或 $4x-7y+24=0$

答案与解析

解析

设切点 $(t,t^3+t+2)$ ， $t\in\mathbb R$ ，斜率 $3t^2+1$ 。经过 $(1,4)$ 给

t^3+t+2+(3t^2+1)(1-t)=4 \iff -(t-1)^2(2t+1)=0.

故 $t=1$ 或 $t=-1/2$ ；前者虽是重根，只记一次。 $t=1$ 时切点 $(1,4)$ ，得 $y=4x$ 。 $t=-1/2$ 时高度 $-1/8-1/2+2=11/8$ ，斜率 $7/4$ ，得 $y=7x/4+9/4$ ，即 $7x-4y+9=0$ 。两线都过 $(1,4)$ ，选C。

原解析把第二切点高度写成 $9/8$ ，代入曲线应为 $11/8$ ；原最终直线与正确高度相符，终答无需改变。这不是把经过点直接当唯一切点的问题。

本题结论

C，两条所列直线。

例题 04 由给定切线求函数参数

题目

若直线 $y=2x$ 是曲线 $f\left( x\right)=x\left( {e}^{2x}-a\right)$ 的切线，则 $a=$ （）

A． $-e$ B． $-1$ C．1 D．e

答案与解析

解析

$f^{\prime}(x)=(1+2x)e^{2x}-a$ 。设切点横坐标 $t$ ，须有

te^{2t}=(a+2)t,\qquad(1+2t)e^{2t}=a+2.

第二式乘 $t$ 后减第一式，得 $2t^2e^{2t}=0$ 。因为指数始终正，所以 $t=0$ ，再代得 $a+2=1$ ，即 $a=-1$ ，选B。核回 $f(0)=0,f^{\prime}(0)=2$ ，正是给定直线。

原解写“对比系数”，实际应解释为两等式消元； $t$ 是待求切点而不是恒等变量。若预先除 $t$ ，反而丢掉唯一合法解。

本题结论

B， $a=-1$ 。

例题 05 切点值与斜率分别确定两个参数

题目

已知函数 $f(x)=(x-a)(x-2)(x-3)(x-4)$ ，若 $f(x)$ 的图象在 $x=2$ 处的切线方程为 $y=6x+b$ ，则 $a+b=$ （）

A． $-11$ B． $-12$ C． $-13$ D． $-14$

答案与解析

解析

因含因子 $x-2$ ， $f(2)=0$ 。给定线过 $(2,0)$ ，所以 $0=12+b$ ，得 $b=-12$ 。

令 $G(x)=(x-a)(x-3)(x-4)$ ， $f=(x-2)G$ ，于是 $f^{\prime}(2)=G(2)=2(2-a)$ 。斜率为6给 $2(2-a)=6$ ，得 $a=-1$ 。因此 $a+b=-13$ ，选C。两项条件分别确定高度与方向，无需展开整个四次式。

本题结论

C， $a+b=-13$ 。

例题 06 垂直关系不等于竖直切线

题目

若曲线 $y={x}^{2}-a\ln x$ 在点 $P\left( 1,1\right)$ 处的切线与直线 $y=x-2$ 垂直，则实数a的值为（）

A．1 B． $\sqrt{5}$ C．2 D．3

答案与解析

解析

$x>0$ ，且 $f(1)=1$ 与 $a$ 无关。给定直线斜率1，与之垂直的有限斜率为 $-1$ 。 $f^{\prime}(x)=2x-a/x$ ，故 $2-a=-1$ ，得 $a=3$ ，选D。此时切线 $y-1=-(x-1)$ ，与已给线确实垂直。

本题结论

D， $a=3$ 。

例题 07 公切线的两个切点独立求

题目

若直线 $x+y+a=0$ 是曲线 $f\left( x\right)={x}^{3}+bx-14$ 与曲线 $g\left( x\right)={x}^{2}-3\ln x$ 的公切线，则 $a-b=$ （）

A．26 B．23 C．15 D．11

答案与解析

解析

给定线 $y=-x-a$ 斜率 $-1$ 。对 $g$ ，定义域 $x>0$ ，

2s-3/s=-1\iff(2s+3)(s-1)=0.

负根 $-3/2$ 不合法，只留 $s=1$ ，高度1，因此 $a=-2$ ，公切线为 $y=-x+2$ 。

对 $f$ 另设切点 $t$ 。导数条件给 $b=-1-3t^2$ ，点在线上给 $t^3+bt-14=-t+2$ ；消元得 $-2t^3-16=0$ ，故 $t=-2,b=-13$ 。核 $f(-2)=4$ 在该直线上， $f^{\prime}(-2)=-1$ ； $g(1)=1,g^{\prime}(1)=-1$ ，两处切线确同一条。 $a-b=11$ ，选D。

本题结论

D， $a-b=11$ 。

A． ${45}^{\circ}$ B． ${60}^{\circ}$ C． ${135}^{\circ}$ D． ${120}^{\circ}$

答案与解析

解析

对 $x\ne0,h\ne0,x+h\ne0$ ，正确差商为

9\frac{1/(x+h)-1/x}{h} =9\frac{x-(x+h)}{x(x+h)h}=-\frac9{x(x+h)}\longrightarrow-\frac9{x^2}.

所以 $f^{\prime}(3)=-1$ ，切点 $(3,3)$ 也在曲线上。由 $\tan\alpha=-1$ 及 $0\le\alpha<\pi$ ，得 $\alpha=3\pi/4=135^\circ$ ，选C，不能取 $-45^\circ$ 。

原解析中间式写成 $-9/[(x+h)h]$ ，漏了 $x$ 又未正确约掉增量；角度范围又写成上界含 $180^\circ$ 。正确差商与右端开区间如上，原终答135度仍正确。

本题结论

C， $135^\circ$ ；原中间差商与角度上界另行纠正。