二项展开与特定项：项序、指数、系数分开求

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二项式定理把“从每个因子选哪一部分”变成组合数。求完整展开、指定项和反求参数，都用同一个通项，但项序、变量指数与系数是三个不同对象。先修：组合数与合法下标。

一、知识梳理

1. 有限二项式定理，从选位置得到系数

对非负整数 $n$ ，有有限展开

(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}C_n^r a^{n-r}b^r, \qquad T_{r+1}=C_n^r a^{n-r}b^r.

其中 $r\in\{0,1,\ldots,n\}$ 。当 $n\ge1$ ，把左边看成 $n$ 个 $(a+b)$ 因子相乘：每个因子各选 $a$ 或 $b$ 。恰选 $r$ 次 $b$ 时，选这些因子位置有 $C_n^r$ 种，余下全选 $a$ ，均产生 $a^{n-r}b^r$ 。每条选择记录唯一属于某个 $r$ 类，合并同类选择再相加，就得到公式。选定位置集合后没有再排位置的步骤，所以用组合数而非排列数。

$n=0$ 单独按空乘积对应的常数多项式 $1$ 处理，不由此要求把任意数值 $0^0$ 解释成普通幂运算。有限展开要求 $n$ 是非负整数，不能直接换成负数、分数或任意实数仍称只有 $n+1$ 个形式项。

2. 形式项、实际项、两种系数

通项按 $a$ 降幂、 $b$ 升幂排列： $r=0$ 是第一项 $a^n$ ， $r=1$ 是第二项， $r=n$ 是最后一项 $b^n$ 。因此第 $j$ 项取 $r=j-1$ ，并核 $1\le j\le n+1$ 。

“项”是整个单项式；“系数”是把所问变量幂提出后的数值因子；“二项式系数”仅是 $C_n^r$ 。代入具体 $a,b$ 后，实际系数还含常数幂和负号。例如第二部分为 $-c$ 时，负号来自 $(-1)^r$ ，不是所有项都负。

形式项有 $n+1$ 个，但代入后可能出现零项或同幂项。零系数不贡献合并后的项；同幂的各路系数要相加，所以合并后的不同项数未必等于 $n+1$ 。

对象	读取位置	保留什么
第 $r+1$ 项	完整通项 $T_{r+1}$	数值因子与变量幂
实际系数	指定变量单项式前	组合数、常数幂和符号，同幂先合并
二项式系数	$C_n^r$	仅组合位置数

3. 真实变量指数，要从两个部分分别算

若 $a=\alpha x^u$ 、 $b=\beta x^v$ ，且在原定义域内相关幂运算与指数律合法，则

T_{r+1}=C_n^r\alpha^{n-r}\beta^r x^{u(n-r)+vr} =C_n^r\alpha^{n-r}\beta^r x^{un+(v-u)r}.

$a,b$ 这两个完整部分的幂指数和为 $(n-r)+r=n$ ，不代表内部变量 $x$ 的指数也为 $n$ 。问 $x^t$ 的项，解 $u(n-r)+vr=t$ ，再核 $r$ 是 $0,\ldots,n$ 中的整数；无合法整数解就是没有该项，不向最近整数取整。

若 $u=v$ ，所有形式项可能同幂，不能把指数方程当作只定位某一个 $r$ ，须合并全部贡献。多个变量要逐个比较指数，只比总次数不够。常数项要求变量指数为零，不是令整个项的数值等于零；关于 $x$ 的整式项要求最终指数是非负整数，合法的负指数或根式项不因此变成整式项。

4. 定义域始终属于原式

$a,b$ 可以是数、变量或含变量的整个式子，但原来的分母不能为零，实偶次根的根内须非负。某个展开项恰为常数，不能据此补上原式不允许的自变量值。

负 $x$ 的实奇次根可以保留根式运算，或代换为真实的根变量后作整数幂运算；不要未经约定套任意实指数幂的法则。若代换 $t=\sqrt{x}$ ，同时记 $t\ge0$ ，若还有分母再排除对应零值；还原时核 $t$ 幂确实对应所问 $x$ 幂。

二、考点与方法

方法 1：正向完整展开，逆向核三种结构

先把 $a,b,n$ 连同负号整体确定，核指数与定义域。求完整展开时逐个代 $r=0,\ldots,n$ ，保留常数幂与符号，再合并同变量幂；只求一个系数时不必全展开。

逆用时把反复出现的复杂式记作 $u$ ，同时核组合数、 $u$ 的逐项幂次、另一部分的常数幂与符号全部吻合，才认成 $(u+b)^n$ 。最后还原代换并保留原定义域。核首尾与一中项可用于检查，却不能代替整条结构匹配。

例题 01 正向展开

题目

二项式 ${\left( x+2\right)}^{3}$ 的展开式为（）

A． ${x}^{3}+6{x}^{2}+6x+8$ B． ${x}^{3}+6{x}^{2}+12x+8$

C． ${x}^{3}+12{x}^{2}+6x+8$ D． ${x}^{3}+12{x}^{2}+12x+8$

答案与解析

解析

这里 $a=x,b=2,n=3$ 。四项依次为

x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8.

二项式系数是 $1,3,3,1$ ，实际系数为 $1,6,12,8$ 。A 的 $x$ 项少乘一个 $2$ ；C 的两个中间系数均不符；D 的 $x^2$ 系数不符。

本题结论

B。

例题 02 将重复部分作为整体

题目

化简 ${\left( x+1\right)}^{4}-4{\left( x+1\right)}^{3}+6{\left( x+1\right)}^{2}-4\left( x+1\right)+1$ 的结果为（）

A． $x^{4}$ B． ${\left( x-1\right)}^{4}$ C． ${\left( x+1\right)}^{4}$ D． ${x}^{4}-1$

答案与解析

解析

令 $u=x+1$ 。给式成为

u^4-4u^3+6u^2-4u+1=(u-1)^4.

组合数 $1,4,6,4,1$ 、 $u$ 的降幂与 $(-1)^r$ 符号全部吻合。还原后为 $[(x+1)-1]^4=x^4$ 。B、C 含错误平移，D 多减了 $1$ ，只有 A 正确。

本题结论

A。

方法 2：项序先减一，指定幂先列指数方程

先圈出所问对象。第 $j$ 项令 $r=j-1$ ；问 $x^t$ 先解真实指数等于 $t$ ，再核整数范围。合法 $r$ 回代后，问系数只取数值因子，问项保留变量幂，问位置答第 $r+1$ 项。同幂多路要合并，分母根式要先写原定义域。

例题 03 第三项与它的系数

题目

${\left( 3x-2\right)}^{4}$ 展开式中的第3项为（）

A． $-216$ B． $-216x$ C．216 D． $216{x}^{2}$

答案与解析

解析

第 $3$ 项对应 $r=2$ ，不是 $r=3$ ：

T_3=C_4^2(3x)^2(-2)^2=6\cdot9x^2\cdot4=216x^2.

问的是整个“项”，所以 D 正确。C 只有数值系数，A、B 又有负号或幂次错误；第二部分平方后为正。

本题结论

D，即 $216x^2$ 。

例题 04 分母与根式中的常数项

题目

二项式 ${\left( \frac{1}{x}-\sqrt{x}\right)}^{6}$ 的展开式中常数项为（　　）

A．第 $3$ 项 B．第 $4$ 项 C．第 $5$ 项 D．第 $6$ 项

答案与解析

解析

实数范围须 $x>0$ ：根号要求 $x\ge0$ ，分母又排除零。通项为

T_{r+1}=C_6^r(x^{-1})^{6-r}(-\sqrt{x})^r =(-1)^rC_6^r x^{-6+3r/2}.

指数为零给 $-6+3r/2=0$ ，故 $r=4$ ，是 $0,\ldots,6$ 中的整数。常数项在第 $r+1=5$ 项，其数值为 $(-1)^4C_6^4=15$ 。题目选项问位置，所以选 C；A、B、D 对应指数不为零。这个常数贡献不表示原式在 $x=0$ 有定义。

本题结论

C；常数项为第 $5$ 项，数值 $15$ 。

方法 3：反求参数，指数条件与系数条件分两步

先由项序或指定幂确定 $r$ 与 $n$ 的关系，核 $n$ 是非负整数且 $0\le r\le n$ ，指定第 $j$ 项还须 $n\ge j-1$ 。随后才把合法下标代入系数方程求参数。偶次幂方程的正负分支要先列全，再依据题设正性筛选。所有保留参数须回代原通项和定义域，不能用系数数值巧合代替指数匹配。

例题 05 指定第四项反求指数

题目

若 ${\left( \sqrt[5]{x}-\frac{1}{x}\right)}^{n}$ 的展开式中第4项是常数项，则n的值为（）

A．14 B．16 C．18 D．20

答案与解析

解析

第 $4$ 项固定 $r=3$ ，先要求 $n\ge3$ 。原式定义域为 $x\ne0$ ，实五次根允许负 $x$ 。为避免负数的分数幂约定混淆，令 $t=\sqrt[5]{x}$ ，则 $t\ne0$ 、 $x=t^5$ 。通项为

T_{r+1}=C_n^r t^{n-r}(-t^{-5})^r=(-1)^rC_n^r t^{n-6r}.

第 $4$ 项为 $-C_n^3t^{n-18}$ 。要成为常数项，须 $n-18=0$ ，故 $n=18$ 。这与在正 $x$ 上列 $(n-3)/5-3=0$ 等价；根变量写法也覆盖负 $x$ 。 $18$ 是非负整数且不小于 $3$ ，该项确实存在，常数值为 $-C_{18}^3=-816$ 。四个选项中仅 C 合法。